陸建山，王昌明，宋高順，張愛軍

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院精儀系，江蘇 南京210094)

0 引言

全球定位系統(tǒng)(Global Position System，GPS)是一個(gè)具有代表性的無(wú)線電衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)，其在測(cè)繪、通信、交通、軍事等各領(lǐng)域均得到了成功的應(yīng)用。只要持有一種能夠接收、跟蹤、變換和測(cè)量的GPS 信號(hào)接收機(jī)，就可以全天候和全球性地測(cè)量運(yùn)動(dòng)載體的七維狀態(tài)參數(shù)和三維姿態(tài)參數(shù)［1］，但其在工作過程中卻極易受到工作環(huán)境、信號(hào)傳播過程、星歷變化等多種因素的影響。因此，如何進(jìn)一步提高GPS 單點(diǎn)定位精度，成了GPS 技術(shù)的一個(gè)熱點(diǎn)問題。文獻(xiàn)［2-3］分別采用Kalman 濾波算法對(duì)靜態(tài)、動(dòng)態(tài)GPS 定位信號(hào)進(jìn)行了誤差處理分析;文獻(xiàn)［4］建立了適合GPS 誤差一階差分序列的AR 模型，并有效實(shí)現(xiàn)了誤差序列的一步預(yù)測(cè)。這些方法均能得到較高的定位精度，但幾乎都不能很好地跟隨定位過程中狀態(tài)的變化，如噪聲的突變或載體運(yùn)動(dòng)的機(jī)動(dòng)性。

交互式多模型(Interacting Multiple Models，IMM)是一種軟切換算法［5］，最初由H.A.PBlom 在1984年提出，目前在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。以往的狀態(tài)估計(jì)器設(shè)計(jì)一般是基于一個(gè)參數(shù)固定的系統(tǒng)模型［6］，如若工作狀態(tài)變化，往往會(huì)引起模型的不匹配而引入較大誤差。而IMM 算法使用2 個(gè)或更多的模型來(lái)描述工作過程中可能的狀態(tài)，最后通過有效的加權(quán)融合進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)，這就很好地克服了單模型不準(zhǔn)確的問題?；谏鲜鰞?yōu)點(diǎn)，近期，IMM 算法在組合導(dǎo)航領(lǐng)域也得到了很好的應(yīng)用［7-9］。本文擬將IMM 算法應(yīng)用于GPS 靜態(tài)、動(dòng)態(tài)定位，分別通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行誤差分析。

1 基于Kalman 的交互式多模型算法

IMM 算法是一個(gè)循環(huán)遞推的過程，在每個(gè)循環(huán)中，基于各個(gè)模型的濾波器并行工作，模型之間的轉(zhuǎn)換通過Markov 鏈進(jìn)行，通過加權(quán)融合各濾波器的輸出得到最終的組合狀態(tài)估計(jì)。本文濾波算法(IMMKF)融合交互式多模型和Kalman 濾波算法，其一個(gè)循環(huán)主要有以下四步:輸入交互、Kalman 濾波計(jì)算、模型概率更新計(jì)算、狀態(tài)與協(xié)方差的融合估計(jì)，現(xiàn)給出IMMKF 算法從k-1 到k 時(shí)刻遞推過程。

1)輸入交互

在無(wú)約束條件下，模型之間的轉(zhuǎn)換按照一階Markov 鏈進(jìn)行［10］。交互計(jì)算后，濾波器i 在k 時(shí)刻的輸入狀態(tài)和誤差協(xié)方差初值分別為0i(k-1)、P0i(k-1):

其中，πji為Markov 轉(zhuǎn)移概率，

2)Kalman 濾波計(jì)算

其中，Φi為模型i 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣;Γi為噪聲驅(qū)動(dòng)陣;Qi為系統(tǒng)噪聲協(xié)方差，Hi為量測(cè)陣;Ri為觀測(cè)噪聲協(xié)方差。

3)模型概率更新計(jì)算

若模型i 在k 時(shí)刻的濾波殘差為零均值的高斯白噪聲，則其似然函數(shù)Λi(k)為

其中，εi為模型i 的濾波殘差，Si為殘差的協(xié)方差陣。

因此，模型的概率更新為

4)狀態(tài)與協(xié)方差的融合估計(jì)

最后通過對(duì)各模型濾波器的輸出進(jìn)行加權(quán)融合，得到IMMKF 最終的狀態(tài)估計(jì)(k)與協(xié)方差P(k).

2 試驗(yàn)與分析

2.1 GPS 靜態(tài)單點(diǎn)定位

為驗(yàn)證算法在GPS 單點(diǎn)定位應(yīng)用中的可行性，首先在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下，進(jìn)行了GPS 靜態(tài)單點(diǎn)定位的試驗(yàn)。試驗(yàn)中，采用JAVAD 公司的JGG100 型GPS OEM 板采樣4 516 s 的靜態(tài)數(shù)據(jù)，該OEM 板單點(diǎn)定位精度為:＜5 m.采樣過程中，GPS 天線置于室外某一待測(cè)點(diǎn)保持不變。由于天線所在位置的真實(shí)坐標(biāo)未知，在算法處理中采用坐標(biāo)均值作為真實(shí)值進(jìn)行運(yùn)算。

對(duì)于GPS 靜態(tài)單點(diǎn)定位，采用勻速運(yùn)動(dòng)(CV)模型進(jìn)行分析。選取待測(cè)點(diǎn)的位置和速度信息作為狀態(tài)變量位置信息作為觀測(cè)量Zi=［x，y，z］T，其離散化的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

其中:Wi(k-1)為模型i 的系統(tǒng)噪聲;Vi(k)為觀測(cè)噪聲;Hi=［I303×3］3×6;T 為采樣周期。

針對(duì)靜態(tài)單點(diǎn)定位的特殊性，在進(jìn)行多模型建立時(shí)，主要考慮待測(cè)點(diǎn)環(huán)境噪聲變化的多樣性?？紤]兩種情況，兩模型均采用CV 模型，其中模型1 為噪聲較大情況，模型2 為噪聲較小情況，Q1=100Q2，R1=100R2.對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差處理，結(jié)果如圖1所示。

圖1 GPS 靜態(tài)單點(diǎn)定位坐標(biāo)誤差曲線Fig.1 Coordinate errors of GPS static point positioning

圖2 GPS 靜態(tài)單點(diǎn)定位模型概率圖Fig.2 Model probabilities of GPS static point positioning

從誤差曲線圖中，首先可以看出，原始數(shù)據(jù)的誤差較大，且在采樣過程中，誤差情況出現(xiàn)了較大的改變。分析其原因，其誤差主要源于GPS 接收機(jī)、衛(wèi)星的高動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)特性、信號(hào)的傳播過程及其多路徑效應(yīng)等;而誤差的波動(dòng)則主要是受到了周圍環(huán)境及可視定位衛(wèi)星間的切換等因素影響。經(jīng)IMMKF 濾波后，除初始階段外，原始較大的誤差基本被控制在了1.5 m 之內(nèi)，且未再出現(xiàn)原始誤差中抖動(dòng)的情況。從模型概率變化圖中，可以看出在整個(gè)采樣過程中，大部分的時(shí)間均是模型2(噪聲較小情況)占優(yōu)，但在0～15 s、1 193～1 548 s 之間以及1 966 s、2 490 s左右模型概率出現(xiàn)較大改變，這些變化對(duì)照誤差曲線圖也可很清晰地看出，這段時(shí)間內(nèi)誤差較大，故此時(shí)模型1(噪聲較大情況)的概率增大，模型1 成為適配模型。因此，結(jié)合兩圖可以很清楚地看到變?cè)肼暷Ｐ偷腎MMKF 算法能夠很好地跟隨環(huán)境噪聲的變化。

2.2 GPS 動(dòng)態(tài)定位

不同于靜態(tài)定位，GPS 動(dòng)態(tài)定位的運(yùn)動(dòng)過程較為復(fù)雜，其涉及到載體的機(jī)動(dòng)過程，但載體的運(yùn)動(dòng)主要有以下幾種情況:勻速、加速以及轉(zhuǎn)彎，且一般以勻速居多。本文中，在二維平面內(nèi)，不失一般性地假設(shè)了載體的一組運(yùn)動(dòng)過程:0～100 s 載體從靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，100～300 s 為勻速運(yùn)動(dòng)過程，緊接著100 s 進(jìn)行轉(zhuǎn)彎，最后又勻速運(yùn)動(dòng)了200 s，其理論運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。仿真中，緯度方向精度取為8 m，經(jīng)度方向經(jīng)度取為10 m，且假設(shè)兩方向的量測(cè)不相關(guān)。

對(duì)于GPS 動(dòng)態(tài)定位，同樣可以采用CV 模型進(jìn)行分析，但CV 模型不能匹配整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的狀態(tài)，故此時(shí)另選勻加速(CA)模型為模型2.此處的運(yùn)動(dòng)為二維平面運(yùn)動(dòng)，其狀態(tài)量、觀測(cè)量分別為Xi=運(yùn)動(dòng)模型方程同GPS靜態(tài)單點(diǎn)定位所述，但Φ1=02×2］2×6.進(jìn)行仿真分析時(shí)，分別采用單模型(CV模型)Kalman 濾波、IMMKF 濾波，并將濾波結(jié)果與原始誤差進(jìn)行對(duì)比分析，誤差曲線如圖4所示。

從誤差曲線中可以看出，單模型濾波、IMMKF濾波均取得了一定的效果。細(xì)觀單模型誤差曲線圖，其濾波曲線較平滑，抖動(dòng)小，但在經(jīng)、緯度方向均存在兩個(gè)明顯的誤差較大處，對(duì)照軌跡圖可看出，這兩處分別是載體初始加速階段和轉(zhuǎn)彎處，而在其余的兩勻速運(yùn)動(dòng)階段誤差均很小，說(shuō)明CV 模型能夠很好地切合勻速運(yùn)動(dòng)，但對(duì)非勻速階段其效果不太理想，因?yàn)镃V 模型是一種勻速運(yùn)動(dòng)模型，而機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎其實(shí)也是一種加速運(yùn)動(dòng)，因此對(duì)于初始加速階段及轉(zhuǎn)彎處，CV 模型不再適合。再對(duì)比交互式多模型誤差曲線圖，可看出IMMKF 將CV、CA 兩模型進(jìn)行了有效的融合，其誤差較初始誤差有了很大的改善，且消除了誤差在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)的波動(dòng)問題。對(duì)于加速及機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎過程中，單模型濾波不能匹配的情況，IMMKF 充分發(fā)揮了多模型的優(yōu)勢(shì)，此時(shí)將CA 模型取為適配模型，結(jié)合圖4可看出，經(jīng)過IMMKF 濾波，這兩個(gè)過程并沒有出現(xiàn)單模型濾波中較大誤差的情況。因此，整個(gè)過程中IMMKF 均能取得較好的濾波效果，有效地控制誤差的大幅波動(dòng)。

圖3 載體運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.3 Curve of vehicle trajectory

圖4 動(dòng)態(tài)定位誤差曲線圖Fig.4 Errors of dynamic point positioning

3 結(jié)論

本文將機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的交互式多模型算法引入到GPS 定位中，并結(jié)合Kalman 濾波算法詳細(xì)闡述了IMMKF 算法的計(jì)算流程。文中對(duì)靜態(tài)定位、動(dòng)態(tài)定位兩種情況從不同角度分析了IMMKF 的可行性。

1)靜態(tài)情形，以誤差曲線結(jié)合模型概率圖，清晰地展示出了誤差變化及模型匹配的過程，并說(shuō)明了變?cè)肼暤亩嗄Ｐ退惴軌蚝芎玫剡m應(yīng)周圍環(huán)境噪聲的變化;

2)動(dòng)態(tài)情形，通過IMMKF 與單模型濾波后誤差的對(duì)比，體現(xiàn)了IMMKF 的優(yōu)越性，并證明了通過將不同模型間有效的融合，IMMKF 能克服單模型在狀態(tài)過程中由于模型單一而帶來(lái)的模型不匹配的局限性。

References)

［1］ 劉基余.GPS 衛(wèi)星導(dǎo)航定位原理與方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.LIU Ji-yu.GPS satellite navigation principles and methods［M］.Beijing:Science Press，2007.(in Chinese)

［2］ 杜曉輝，任章.基于卡爾曼濾波的GPS 靜態(tài)定位精度分析［J］.全球定位系統(tǒng)，2008:47-51.DU Xiao-hui，REN Zhang.Precision analyze based Kalman filter for GPS static point positioning［J］.GNSS World of China，2008:47-51.(in Chinese)

［3］ 劉嬋媛，陳國(guó)光.基于GPS 的卡爾曼濾波技術(shù)研究［J］.弾箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2006，26(4):110-112.LIU Chan-yuan，CHEN Guo-guang.The researching of Kalman filtering based on GPS［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2006，26(4):110-112.(in Chinese)

［4］ 劉娣，薄煜明，鄒衛(wèi)軍.基于時(shí)間序列的GPS 誤差建模及單點(diǎn)定位精度研究［J］.兵工學(xué)報(bào)，2009，30(6):825-828.LIU Di，BO Yu-ming，ZOU Wei-jun.GPS error modeling based on time series and research on the accuracy of point positioning［J］.Acta Armamentarii，2009，30(6):825-828.(in Chinese)

［5］ 楊飛，巴宏欣，奚和平，等.一種機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的IMM 模型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法［J］.解放軍理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，6(5):428-431.YANG Fei，BA Hong-xin，XI He-ping，et al.IMM optimized model design method for maneuvering target tracking［J］.Journal of PLA University of Science and Technology，2005，6(5):428-431.(in Chinese)

［6］ 陸可，肖建.IMM 算法實(shí)現(xiàn)非線性狀態(tài)估計(jì)的研究與仿真［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2008，25(5):77-80.LU Ke，XIAO Jian.Research and simulation of IMM algorithm in nonlinear state estimation［J］.Computer Simulation，2008，25(5):77-80.(in Chinese)

［7］ Huang Dongliang，Henry Leung.EM-IMM based land-vehicle navigation with GPS/INS［C］∥2004 IEEE Intelligent Transportation Systems Conference，Washington DC:IEEE，2004:624-629.

［8］ 臧榮春，崔平遠(yuǎn)，崔祜濤，等.基于IMM-UKF 的組合導(dǎo)航算法［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，24(4):634-638.ZANG Rong-chun，CUI Ping-yuan，CUI Hu-tao，et al.Integrated navigation algorithm based on IMM-UKF［J］.Control Theory ＆Applications，2007，24(4):634-638.(in Chinese)

［9］ Dah-jing，Chien-hao Tseng.Fuzzy adaptive interacting multiple model unscented Kalman filter for integrated navigation［C］∥18th IEEE International Conference on Control Applications Part of 2009 IEEE Multi-conference on Systems and Control，Saint Petersburg:IEEE，2009:1684-1689.

［10］ 趙琳，王小旭，丁繼成，等.組合導(dǎo)航系統(tǒng)非線性濾波算法綜述［J］.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，17(1):46-58.ZHAO Lin，WANG Xiao-xu，DING Ji-cheng，et al.Overview of nonlinear filter methods applied in integrated navigation system［J］.Journal of Chinese Inertial Technology，2009，17(1):46-58.(in Chinese)