姚支聰, 王桃正

(西北大學數(shù)學系, 陜西 西安 710127)

0 引 言

在均勻介質(zhì)中，對軟介質(zhì)表面障礙時間調(diào)和聲波散射問題歸結(jié)為Helmholtz方程的Dirichlet外問題[1，2],可以利用單層位勢理論將問題轉(zhuǎn)化為第一類積分方程，應用正則化方法進行求解[4].本文應用改進的Tikhonov正則化方法求解聲波散射問題，并給出了數(shù)值例子，結(jié)果表明該方法有效，簡單，且具有較高的精度.

1 第一類積分方程

考慮在均勻介質(zhì)中傳播的聲波，此波碰到一個障礙發(fā)生散射，設入射波為ui,散射波為us，我們需要求散射us，此聲波碰到一個無窮長的柱體，柱體截面D?R2，Γ=?D，母線平行于Z軸，設入射波是平面波，us=eikx·α,x∈R2,k>0 是波數(shù)，α是單位向量，記總體場為u=ui+us,總體場滿足Dirchlet邊界條件，控制方程為Helmoltz方程.正散射問題是求解u∈C2(?R2∩(R2D))滿足

(1)

(1)式稱為Sommerfeld輻射條件，在所有x/|x|方向一致成立，由Rellich′s和Freholm選擇定理[1]，輻射條件保證了問題解的存在唯一性.由:

Δu+k2u=0 inR2

(2)

u=0 on ?D

(3)

(sφ)(x)=f(x)

(4)

定理1[2]設k2不是D內(nèi)負Laplace算子的Dirichlet特征值，則算子s∶C(Γ)?L2(Γ)→L2(Γ)是單射的且有稠密的值域.

利用Tikhonov正則化方法求解第一類算子(4)就是求解如下極小問題:

其中α>0為正則參數(shù)，由文獻[2]知，上述極小化問題的解存在并且唯一.

若Γ是解析的,則M1、M2也是解析的，由J0、Y0的級數(shù)表示則有:

C=0.577 21表示Euler常數(shù).

2 改進的Tikhonov正則化方法

對于第一類算子方程

kx=y

(5)

求解的問題，其中k∶x→y是線性有界算子，x,y是Hilbert空間，通常情況下，當k為緊算子時，方程(1)的解是不適定的[8,9]，Tikhonov正則化常用的數(shù)值方法,但是其正則解的漸進收斂階不夠高[9,10]，研究算子方程的正則化方法就是研究正則化算子的方法，以及相應正則化參數(shù)的選取方法，使得正則逼近解收斂于精確解并且具有最好的收斂率.

對于算子方程(5)，考慮定義的迭代的Tikhonov正則化方法:

(6)

當m=1時就是通常的Tikhonov正則化方法，迭代的正則化方法保證了誤差估計總可達到階數(shù)最優(yōu).本文求解聲波散射問題取m=2，對于第一類積分方程(4)，則有

離散(6)式可得到線性方程組

(X*X+αA*A)2μ=(2αA*A+X*X)X*b

(7)

改進的Tikhonov正則化方法，第一類算子方程(4)的正則化求解公式為:

(8)

這里σ=4，則式(8)離散化的線性方程組為

(X*X)2ψ+αIψ=(X*X)2X*b

(9)

(10)

求解線性方程組(9)得到ψ，帶入式(10)得到遠場模式.

下面給出數(shù)值例子以比較兩種方法，設Γ的參數(shù)方程表示:

x(t)=(cost+0.65cos2t-0.65,1.5sint),0≤t≤2π

入射方向取d=(0,1),n=64，應用迭代的方法得到的結(jié)果如表1、表2所示.

表1 應用迭代Tikhonov的正則化方法求得的遠場模式數(shù)值解

表2 應用改進的Tikhonov的正則化方法求得的遠場模式數(shù)值解

參考文獻

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