杜燕飛， 肖 鵬

(陜西科技大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引 言

關(guān)于微分方程的周期、概周期、漸進(jìn)概周期、偽概周期解的存在唯一性研究[1-3]是目前微分方程定性理論中最吸引人的課題之一，其在數(shù)學(xué)以及物理學(xué)、生物數(shù)學(xué)、控制理論等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用. 時(shí)滯微分方程[4-6]一直受到廣泛關(guān)注，其研究有著重要的理論意義，并且在控制理論和人口問題等領(lǐng)域有諸多實(shí)際應(yīng)用價(jià)值. 本文研究了以下具有無窮時(shí)滯的抽象泛函微分方程Cauchy問題的概周期解的存在性及唯一性：

x′(t)=Ax(t)+f(t,x(t),xt)t∈[σ，σ+α]

(1)

xσ=φ∈B

(2)

其中函數(shù)f:[σ，σ+α]×X×B→X，X是Banach空間，B是(-∞,0]→X的函數(shù)組成的空間；xt屬于相空間[7]B，定義為:xt(θ)=x(t+θ)，θ∈(-∞,0].

本文中，約定如下記號(hào)：C(R,X)表示所有R→X的有界連續(xù)函數(shù)f賦上確界范數(shù)的空間，即‖f‖=supt∈R|f(t)|；A∶D(A)?X→X在X上生成線性算子半群(T(t))t≥0，且存在常數(shù)M，c>0,使得，?t≥0,‖T(t)‖≤Me-ct.

1 基本定義及引理

定義1 稱連續(xù)函數(shù)f∶R→X為概周期函數(shù)，若?ε>0，存在lε>0，使得每一個(gè)長為lε的區(qū)間上都存在一個(gè)τ使得

‖f(t+τ)-f(t)‖<ε

成立,記為f∈AP(X),稱τ為f的ε-平移向量.

定義2 函數(shù)f∶R×X×P→X，如果?ε>0，緊集K1?X和K2?P，?lε>0，對(duì)于任意R中長度為lε的區(qū)間上都存在一個(gè)τ,使得

‖f(t+τ,x,φ)-f(t,x,φ)‖<ε(t∈R,x∈X,φ∈P)

成立，則稱f(t,x,φ)關(guān)于t∈R是一致概周期的，即f(t,x,φ)是t的概周期函數(shù)，且對(duì)(x,φ)∈X×P是一致的, 記為f∈AP(R×X×P,X).

引理1[7]若u(t)∈AP(X)，則函數(shù)t→ut∈AP(B).

引理2[1]AP(X)是Banach空間.

定義3 相空間[7]B表示(-∞,0]→X的函數(shù)向量空間，賦半范‖·‖B，使得下列命題成立：

(H1) 若x:(-∞,σ+α)→X，(α>0),在[σ，σ+α]上連續(xù)，且xσ∈B，則?t∈[σ，σ+α]，下列條件成立：

(1)xt∈B； (2)‖x(t)‖≤H‖xt‖B(H為常數(shù))； (3) ‖xt‖B≤K(t-σ)sup{‖x(s):σ≤s≤t‖}+M(t-σ)‖xσ‖B.

(H2)空間B是完備的.

引理3[7]對(duì)于任意連續(xù)函數(shù)φ:(-∞,0]→X，存在常數(shù)k>0，使得‖φ‖B≤k·supθ≤0‖φ(θ)‖.

2 主要結(jié)果

引理4 若f(t,x,φ)∈AP(R×X×B,X)，x(t)∈AP(X),φ∈AP(B). 設(shè)f(t,x,φ)滿足

‖f(t,x,φ)-f(t,y,ψ)‖≤Lf(‖x-y‖+‖φ-ψ‖B)

?t∈R,x,y∈X,φ,ψ∈B成立，其中Lf>0為常數(shù)，則復(fù)合函數(shù)g(t)=f(t,x(t),φ(t))∈AP(X).

證明：

‖g(t+τ)-g(t)‖=‖f(t+τ,x(t+τ),φ(t+τ))-f(t,x(t),φ(t))‖

≤‖f(t+τ,x(t+τ),φ(t+τ))-f(t,x(t+τ),φ(t+τ))‖+‖f(t,x(t+τ),φ(t+τ))

-f(t,x(t),φ(t))‖≤ε+Lf‖x(t+τ)-x(t)‖+‖φ(t+τ)-φ(t)‖B)

由x(t)∈AP(X)，φ∈AP(B)，上式≤(1+2Lf)ε,所以，f(t,x(t),φ(t))∈AP(X).

定理1 若g(t)∈AP(X)，則抽象泛函微分方程的Cauchy問題

x′(t)=Ax(t)+g(t)t∈[σ，σ+α]

(3)

xσ=φ∈B

(4)

有唯一的概周期mild解.

由于g(t)∈AP(X)，令τ為g(t)的ε-平移向量，則

定理2 若f(t,x,φ)∈AP(R×X×B,X)，且

‖f(t,x,φ)-f(t,y,ψ)‖≤Lf(‖x-y‖+‖φ-ψ‖B)

?t∈R,x,y∈X,φ,ψ∈B成立，其中(1+k)MLf/c<1，則時(shí)滯抽象泛函微分方程的Cauchy問題

x′(t)=Ax(t)+f(t,x(t),xt)t∈[σ，σ+α]
xσ=φ∈B

有唯一的概周期解.

f(s,v(s),vs)ds∈AP(X),因此G是把AP(X)映射到自身的變換.下面證明G是壓縮映射.

≤[(1+k)MLf/c]‖v1-v2‖≤‖v1-v2‖

參考文獻(xiàn)

[1] Chuanyi Zhang. Almost Periodic Type Function and Ergodicity[M]. Science Press (Kluwer Academic Publishers), 2002:87-194.

[2] C. Zhang. Pseudo almost periodic solutions of some differential equations 2[J]. J. Math. Anal. Appl., 1995, 192(2):543-561.

[3] 杜燕飛, 肖 鵬. 熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的概周期解[J]. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 32(6):14-17.

[4] Y. Hino, S. Murakami. Almost automorphic solutions of abstract functional differential equations[J]. J. Math. Anal. Appl., 2003, 286:741-752.

[5] 王良龍, 王志成. 一類無窮時(shí)滯泛函微分方程解的漸近性態(tài)[J]. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 25(4):1-6.

[6] G. M. N′Guérékata. Existence and uniqueness of almost automorphic mild solutions to some semilinear abstract differential equations[J]. Semigroup Forum, 2004, 69(1):80-86.

[7] Hino, S.Murakami, T.Naito. Functional-Differential Equations with Infinite Delay[M]. Lecture Notesin Mathematics, 1991:50-110.