趙小軍 李 琳 程志光 魯君偉 盧鐵兵 劉蘭榮 范亞娜

(1.華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 保定 071003 2.保定天威集團技術(shù)中心 保定 071056 3.格里菲斯大學(xué)格里菲斯工程學(xué)院 布里斯班 4111)

1 引言

變壓器繞組中直流或準直流電流的出現(xiàn)是導(dǎo)致變壓器直流偏磁的直接原因。繞組中存在的直流電流會使變壓器鐵心中存在相應(yīng)的直流磁動勢和直流磁通[1]，直流磁通與交流磁通相疊加，造成鐵心的迅速飽和，從而對變壓器和電網(wǎng)運行性能產(chǎn)生嚴重的危害。變壓器繞組中直流或準直流電流出現(xiàn)的原因，主要有以下幾個方面[2-3]：①太陽黑子活動時產(chǎn)生的太陽風(fēng)暴；②高壓直流輸電采用的單極大地回線和雙極不平衡回線運行方式；③交直流輸電線路并行運行。

有多種計算方法用于直流偏磁問題的研究。磁路法[4-6]模型簡單便于實現(xiàn)，主要用于勵磁電流的諧波分析和簡單的磁場分析；電磁場有限元法[7-9]用于直流偏磁磁場的準確計算及損耗特性的分析[10-11]。上述用于研究直流偏磁問題的各種數(shù)值方法均采用無偏磁磁化曲線進行計算，即認為直流偏磁條件下材料的磁化特性并沒有發(fā)生變化。然而相關(guān)的實驗研究[12-14]表明，直流偏磁條件下鐵磁材料的交流磁滯回線與無偏磁情況相比，發(fā)生了明顯的改變。因此可知直流偏磁磁化曲線也必然與無偏磁磁化曲線不同。獲得準確的直流偏磁磁化曲線，深入分析鐵磁材料在直流偏磁條件下的磁化特性，將使基于各種數(shù)值方法的計算結(jié)果更加準確，從而有助于直流偏磁問題的研究和解決。

要獲得鐵磁材料的直流偏磁磁化特性，直流磁通的準確計算十分關(guān)鍵。本文以疊片鐵心模擬變壓器鐵心的實際工作狀態(tài)，利用改進迭代法準確預(yù)測鐵心中的直流磁通，對疊片鐵心的直流偏磁磁化特性進行了詳盡地分析。從工程實用的角度出發(fā)，提出模擬直流偏磁磁滯特性的數(shù)值方法，并研究了直流偏置量對鐵心損耗的影響。

2 直流磁通的計算

2.1 簡單迭代法存在的問題

直流偏置量的施加使鐵心中存在相應(yīng)的直流磁通，而直流磁通最直接地反映了疊片鐵心真實的直流偏置水平。深入研究直流偏磁下疊片鐵心的磁化特性和損耗特性，要求準確求解鐵心中的直流磁通。受目前實驗條件的限制，疊片鐵心中的直流磁通和直流磁通密度難以由實驗測量直接得到。

簡單迭代法[15-16]是目前計算直流磁通時普遍采用的方法。該方法基于無偏磁下的i?? 基本磁化曲線對直流磁通進行計算，將計算的勵磁電流與測量值作比較，當(dāng)Epeak（勵磁電流峰值的計算值與測量值間的誤差）和Edc（勵磁電流直流分量的計算值與測量值間的誤差）均小于5%時，即認為此時的直流磁通為直流偏磁條件下的直流磁通。然而這種方法在應(yīng)用過程中存在著如下問題：當(dāng)外加交流電壓較低時，勵磁電流峰值誤差 Epeak和直流分量誤差Edc不能同時控制在5%以內(nèi)，尤其當(dāng)交流電壓較高時，此時勵磁電流的負峰值出現(xiàn)，勵磁電流峰值誤差和直流分量誤差均大于10%。在這種誤差標準下計算得到的直流磁通，顯然是不夠準確的，由此得到的直流偏磁下的磁滯回線和基本磁化曲線也將與實際的曲線存在較大的誤差。造成簡單迭代法計算誤差的原因主要有兩點：一是簡單迭代法未考慮磁滯效應(yīng)，導(dǎo)致由此計算出的勵磁電流與實際的勵磁電流之間存在誤差。二是簡單迭代法采用的無偏磁下的基本磁化曲線對偏磁下的直流磁通進行預(yù)測，但直流偏磁條件下的磁化曲線與無偏磁條件下的磁化曲線在局部存在著較大的差異。

要得到準確的直流磁通和直流磁通密度，首先要在迭代法中考慮磁滯效應(yīng)。其次要對迭代法中使用的基本磁化曲線不斷進行修正。對于磁滯的模擬，可以考慮目前已有的磁滯模型，如J-A 磁滯模型[17]和Preisach 磁滯模型等，但這些方法都需要與各種優(yōu)化算法[2]相結(jié)合，不僅需要較大的數(shù)據(jù)量和計算量，而且算法實現(xiàn)較為復(fù)雜，從滿足工程精度的角度出發(fā)，可以采用易于實現(xiàn)且能夠達到足夠精度的方法。

2.2 改進迭代法

在無偏磁條件下，由于磁滯效應(yīng)，在勵磁電流的前半個周期內(nèi)，前1/4 周期與后1/4 周期的波形并不對稱。考慮到勵磁電流與磁通、感應(yīng)電動勢之間的關(guān)系，可以將勵磁電流i 分為兩部分，一部分與磁通? 同相位，一部分與感應(yīng)電動勢e 同相位[18]。于是，在i?? 關(guān)系中可以引入以下函數(shù)（其中?′為磁通? 的導(dǎo)數(shù)）： 式中，函數(shù)f1是僅基于中間磁化曲線（i?? 磁滯回線的中點軌跡）獲得的i?? 關(guān)系[19]，稱之為無損耗函數(shù)。函數(shù) f2對應(yīng)的是磁滯損耗，稱之為損耗函 數(shù)[19]。

在直流偏磁條件下，同樣引入如式（1）所示的i?? 關(guān)系。則f1對應(yīng)于直流偏磁下的中間磁化曲線（i?? 直流偏磁磁滯回線的中點軌跡），由于中間磁化曲線過磁滯回線的頂點，當(dāng)磁滯回線足夠密集時，可以將各磁滯回線頂點的連線近似作為中間磁化曲線。對損耗函數(shù)f2作如下定義：在基于i?? 關(guān)系的直流偏磁磁滯回線中，交流磁通?ac為零時對應(yīng)的勵磁電流有兩個值，將二者的絕對值取平均并記為Iob[19]，則損耗函數(shù)與磁通存在如下關(guān)系：

式中 ?—總磁通；

?m—交流磁通?ac的幅值；

?dc—直流磁通。

基于以上分析，采用新的迭代法對疊片鐵心中的直流磁通和直流磁通密度進行計算，步驟如下：

（1）在某一直流偏磁條件下，基于無偏磁下的基本磁化曲線，利用簡單迭代法獲得不同交流激勵下的直流磁通?dc。

（2）計算直流偏磁條件下的交流磁通?ac。對測量得到的端口感應(yīng)電動勢e 進行積分得到相應(yīng)的交流磁通?ac（N 為線圈匝數(shù)）

將步驟（1）中計算的直流磁通?dc與交流磁通?ac相疊加得到總磁通?，又由測量得到的勵磁電流i，可得到基于 i?? 關(guān)系的直流偏磁磁滯回線，連接各條回線的頂點，得到修正的直流偏磁基本磁化曲線，相對于步驟（1）中無偏磁下的基本磁化曲線，該曲線更加接近于實際的直流偏磁基本磁化曲線。

（3）由步驟（2）中得到的修正后的直流偏磁基本磁化曲線可以確定函數(shù)f1，由步驟（2）中得到的各直流偏磁磁滯回線，可以確定相應(yīng)的Iob和函數(shù)f2。結(jié)合式（2）對直流磁通?dc進行調(diào)整并計算相應(yīng)的勵磁電流，當(dāng)Epeak和Edc均在5%以內(nèi)且同時達到最小時，即可確定為修正后的直流磁通。

3 直流偏磁實驗與改進迭代法的驗證

3.1 疊片鐵心的直流偏磁實驗

基于保定天威集團制造的產(chǎn)品級疊片鐵心，進行了不同偏磁條件下的直流偏磁實驗。疊片鐵心模型如圖1 所示，鐵心上繞有兩組線圈，分別為勵磁線圈和測量線圈，在勵磁線圈兩端施加交流電壓，直流偏置量則以直流電流的形式施加。實驗電路圖及實驗設(shè)備說明可參考相關(guān)文獻[8]。

圖1 疊片鐵心模型 Fig.1 The laminated core model

為定量研究疊片鐵心的直流偏磁特性，需要選定直流電流的基準值。在本實驗中，選擇無偏磁條件下鐵心內(nèi)額定磁通密度（1.7T）對應(yīng)的勵磁電流峰值作為直流偏置量的基準值。在針對疊片進行的實際測量中，得到的直流偏置量基準值I0為1.68A。

疊片鐵心中磁通密度B 和磁通?，勵磁電流i和磁場強度H 之間存在如下關(guān)系：

式中 S—疊片鐵心的有效截面積；

L—疊片鐵心的等效磁路長度；

N—勵磁線圈匝數(shù)。

由于疊片鐵心中存在的以上關(guān)系，在研究i??關(guān)系的同時，可以得到基于B-H 關(guān)系的疊片鐵心磁化特性。

在直流偏磁實驗中，直流偏置電流Idc按照基準值的不同比例依次施加，分別為25% I0，50% I0，75% I0和100% I0，相應(yīng)的直流偏置磁場強度Hdc分別為107A/m、213A/m、320A/m、427A/m。當(dāng)直流偏置量固定時，逐步增加交流電壓，獲得不同交流激勵下的勵磁電流波形數(shù)據(jù)。不失一般性，本文針對Hdc=107A/m 和Hdc=213A/m 兩種直流偏磁情況進行了詳細分析。

3.2 利用改進迭代法計算直流磁通

在不同偏磁條件下，將改進迭代法與簡單迭代法的計算結(jié)果進行比較，以驗證改進迭代法的有效性。由表1、表2 可以看出，在交流磁通密度Bac較大和較小時，簡單迭代法的計算誤差均較大，在利用了改進迭代法后，可將Epeak和Edc同時控制在5%以內(nèi)，計算誤差明顯減小，此時計算得到的直流磁通密度更加準確。圖 2 給出了 Hdc=107A/m，Bac=1.7454T 時，兩種迭代法計算的勵磁電流與實測勵磁電流的比較。圖3 為基于改進迭代法計算得到的磁滯回線與測量曲線的比較。

表1 Hdc=107A/m 時計算結(jié)果的比較 Tab.1 Comparison of the calculated results (Hdc=107A/m)

表2 Hdc=213A/m 時計算結(jié)果的比較 Tab.2 Comparison of the calculated results (Hdc=213A/m)

圖2 勵磁電流計算結(jié)果與測量結(jié)果的比較 Fig.2 Comparison between calculated and measured magnetizing currents

圖3 偏磁條件下磁滯回線計算值與實驗值的比較 Fig.3 Comparison between the calculated and measured DC-biasing hysteresis loops

在滿足工程精度的要求下，可將簡單迭代法和改進迭代法結(jié)合使用。以簡單迭代法為主，當(dāng)Epeak和Edc均大于5%時，使用改進迭代法對直流磁通進行修正；在實際計算中，無偏磁磁化曲線經(jīng)過一次修正后即可得到較為準確的直流偏磁磁化曲線。上述方案可以在保證工程精度的前提下有效地減少計算量。

4 直流偏磁下的磁滯回線和基本磁化曲線

由第3 節(jié)中的直流偏磁實驗和計算結(jié)果可知，利用改進迭代法計算得到的直流磁通更加準確。將最終計算得到的直流磁通?dc與由式（3）得到交流磁通?ac相疊加，即可得到基于i??關(guān)系的直流偏磁磁滯回線。由于直流磁通?dc是比較準確的，而交流磁通?ac和勵磁電流i 均是基于測量結(jié)果得到的，因此可以認為此時的直流偏磁磁滯回線與實際的直流偏磁磁滯回線十分接近。

為了研究直流偏磁條件下疊片鐵心磁滯回線和基本磁化曲線的特性，圖 4 給出了直流磁場強度Hdc=107A/m 時的直流偏磁磁滯回線族。由圖4 可知，與無偏磁條件下的磁滯回線不同，直流偏磁條件下的各磁滯回線在第一、三象限不再對稱。這是無偏磁下的各磁滯回線沿B＞0 和H＞0 方向同時移動的結(jié)果（與Bdc＞0 相對應(yīng)）。

圖4 Hdc=107A/m 時的直流偏磁磁滯回線 Fig.4 DC-biasing hysteresis loops (Hdc=107A/m)

將圖4 中各磁滯回線的頂點相連接，得到直流偏磁條件下的基本磁化曲線。圖5 和圖6 對無偏磁條件下和有偏磁條件下的基本磁化曲線進行了比較。為了更好地觀察偏磁條件下基本磁化曲線的變化，在圖5 中，對磁場強度H 采用了對數(shù)坐標。由圖可知，直流偏磁條件下的基本磁化曲線與無偏磁下的基本磁化曲線存在著明顯的差異。在磁場強度H＞0 的線性區(qū)域，當(dāng)磁場強度相同時，偏磁下的磁化曲線對應(yīng)的磁感應(yīng)強度值大于無偏磁曲線對應(yīng)的磁感應(yīng)強度值，這主要是由直流磁通造成的。在非線性飽和區(qū)，由于直流磁通的迅速減小，兩條曲線的走向趨于一致。圖6 則比較了磁場強度H＜0 時的各條基本磁化曲線?？梢钥闯鲈诖艌鰪姸刃∮诹銜r，有無偏磁條件下的基本磁化曲線也同樣存在著差異。在磁場強度接近于零的區(qū)域，偏磁下的磁化曲線不再通過原點，且隨著直流偏置量的增大而被不斷抬高。而在非線性區(qū)域，偏磁下的磁化曲線則很快進入飽和區(qū)。

圖5 H＞0 時有無偏磁條件下基本磁化曲線的比較 Fig.5 Comparison between the normal magnetizing curves with DC bias and without DC bias (H＞0)

圖6 H＜0 時有無偏磁條件下基本磁化曲線的比較 Fig.6 Comparison between the normal magnetizing curves with DC bias and without DC bias (H＜0)

以上有無偏磁條件下基本磁化曲線的差異，正是基于無偏磁基本磁化曲線的簡單迭代法計算直流磁通時，在磁場強度接近于零的正負區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生較大誤差的原因。

由直流偏置磁場的性質(zhì)可知，若將施加于疊片鐵心的直流偏置量反向，則直流磁通反向，新的直流偏磁下的磁滯回線和基本磁化曲線將分別與原來的曲線關(guān)于原點對稱。

5 直流偏磁磁滯回線的準確模擬與鐵損的計算

直流偏磁磁滯回線的準確模擬對于疊片鐵心磁化特性和損耗特性的研究具有重要的意義。因此在得到直流偏磁磁滯回線的同時，還需要考慮對其進行基于數(shù)學(xué)或物理模型的準確模擬。

第2 節(jié)的改進迭代法中提出了基于中間磁化曲線和損耗函數(shù)的i?? 磁滯模型。但式（2）中所采用的損耗函數(shù)僅是考慮直流偏磁條件下磁滯損耗的一種簡化方法。此時的損耗函數(shù)雖然容易確定，但從圖3 可以看出，由此得到的磁滯回線與測量曲線仍有一定的誤差，因此還不能滿足準確模擬直流偏磁磁滯回線的要求。為實現(xiàn)對直流偏磁條件下的i?? 磁滯回線的準確擬合，可對損耗函數(shù)作如下定義[20]：

式中，a1、a2、a3為相關(guān)系數(shù)，磁通? 定義如下：

根據(jù)式（1），總的勵磁電流i 可以表達為如下形式：

為引入直流磁通的影響，當(dāng)交流磁通為零時存在如下關(guān)系：

式中的Iob與式（2）中的意義相同。將N 組測量數(shù)據(jù)代入到式（8），得

利用最小二乘法，將式（10）中各式整理后平方相加，對a2和a3求導(dǎo)，再與式（9）聯(lián)立，可以解得損耗函數(shù)中的各項系數(shù)。將各項系數(shù)代入到式（8），即可得到損耗函數(shù)f2。函數(shù)f1則與中間磁化曲線相對應(yīng)。將二者相加即為直流偏磁條件下勵磁電流i的解析表達式。由式（4）和式（5）所示的疊片鐵心中磁通密度與磁通，勵磁電流與磁場強度間的關(guān)系，可以得到直流偏磁下的B-H 磁滯回線。

為驗證該方法的有效性，對偏磁條件下的磁滯回線進行擬合。圖7 為擬合曲線與測量曲線的比較，圖8 為相應(yīng)的勵磁電流計算值與測量值的比較。由圖可知，擬合得到的磁滯回線與實際測量得到的磁滯回線吻合較好。

圖7 直流偏磁磁滯回線擬合結(jié)果與測量結(jié)果的比較 Fig.7 Comparison between fitted and measured DC-biasing hysteresis loop

根據(jù)以上方法求出的i?? 關(guān)系，可以計算直流偏磁條件下的疊片鐵心損耗。

式中，f 為頻率。

由于式（8）中的勵磁電流i 由無損耗函數(shù)f1和損耗函數(shù)f2構(gòu)成，f1對應(yīng)的鐵心損耗為零，因此可以直接對損耗函數(shù)f2進行積分得到直流偏磁條件下疊片鐵心的損耗[21]

圖8 勵磁電流計算值與測量值的比較 Fig.8 The comparison between calculated and measured magnetizing current

表3 比較了不同偏磁條件下疊片鐵損的計算值與測量值。其中Pc為損耗的計算值，Pm為損耗的測量值?？梢钥闯觯叩恼`差很小，這進一步說明了利用以上方法對直流偏磁磁滯回線進行擬合的準確性。同時可以發(fā)現(xiàn)，有偏磁下的疊片鐵損大于無偏磁下的鐵損，且損耗值隨直流偏置量的增大而增大。

表3 不同偏磁條件下鐵損計算值與測量值的比較 Tab.3 Comparison between the calculated and measured core loss under different DC bias condition

6 結(jié)論

直流偏磁條件下，鐵心中直流磁通的計算和疊片鐵心磁滯特性的模擬是研究變壓器直流偏磁問題的關(guān)鍵。改進迭代法引入損耗函數(shù)，將其與無損耗函數(shù)相加模擬直流偏磁磁滯效應(yīng)，通過不斷修正磁化曲線對直流磁通進行準確地預(yù)測。勵磁電流計算結(jié)果與測量結(jié)果的誤差小于5%，證明該方法的準確性和有效性。基于疊片鐵心的直流偏磁實驗，得到了非對稱的直流偏磁磁化曲線；分析了不同偏置量對直流偏磁磁化特性的影響，并對直流偏磁磁滯回線進行準確的擬合。測量與計算結(jié)果表明，在交流激勵一定時，直流偏置量的增大將導(dǎo)致鐵損的增加。

在直流偏磁條件下，疊片鐵心的磁化特性和損耗特性均發(fā)生了明顯的變化，基于直流偏磁磁化曲線的數(shù)值計算在直流偏磁問題的研究中十分必要。

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