劉敬花，胡桂川

LIU Jing-hua，HU Gui-chuan

（重慶科技學(xué)院 機(jī)械與動力工程學(xué)院，重慶 401331）

0 引言

接觸問題出現(xiàn)在固體力學(xué)的許多領(lǐng)域中，并在機(jī)械工程和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。盡管接觸與碰撞現(xiàn)象普遍存在，但接觸力學(xué)至今還未能被充分認(rèn)識。從工程的觀點(diǎn)來看，接觸動力學(xué)的理解和建模對產(chǎn)品設(shè)計(jì)以及提高產(chǎn)品性能和安全性非常重要。接觸的處理非常麻煩卻又非常重要，其算法不僅復(fù)雜，且計(jì)算時(shí)間也相當(dāng)驚人。除了變形和波的傳播外，接觸的單向性導(dǎo)致的不等式約束乃為數(shù)學(xué)上難以處理的根本原因。

接觸問題出現(xiàn)在固體力學(xué)的許多領(lǐng)域中，并在機(jī)械工程和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。盡管接觸與碰撞現(xiàn)象普遍存在，但接觸力學(xué)至今還未能被充分認(rèn)識。從工程的觀點(diǎn)來看，接觸動力學(xué)的理解和建模對產(chǎn)品設(shè)計(jì)以及提高產(chǎn)品性能和安全性非常重要。接觸的處理非常麻煩卻又非常重要，其算法不僅復(fù)雜，且計(jì)算時(shí)間也相當(dāng)驚人。除了變形和波的傳播外，接觸的單向性導(dǎo)致的不等式約束乃為數(shù)學(xué)上難以處理的根本原因。

長期以來，力學(xué)家和數(shù)學(xué)家一種致力于求解接觸問題，研究過程可分為相互重疊的3個(gè)階段[1]。第一階段中只涉及剛體，用牛頓定律和歐拉定律來建立微分方程，摩擦用庫侖定律描述；第二階段以赫茲開創(chuàng)性論文[2]為標(biāo)志，開始討論彈性體的靜態(tài)接觸，描述如何計(jì)算接觸區(qū)域和接觸力，試圖確定彈性體接觸問題的解析解[3,4]，這些解析解雖然只局限于幾何形體非常簡單的接觸問題，但這些研究非常重要，一方面是由于許多接觸的物體可用簡單的幾何形體來進(jìn)行近似

描述，另一方面是這些解析解可以用來檢驗(yàn)數(shù)值計(jì)算程序；第三階段是以數(shù)值計(jì)算為本，借助于計(jì)算機(jī)以及接觸問題的近似處理，對復(fù)雜的幾何形體和復(fù)雜的材料本構(gòu)關(guān)系其接觸過程進(jìn)行數(shù)值模擬。

1 接觸問題分析與數(shù)值求解

接觸問題的特點(diǎn)是具有單側(cè)邊界條件和未知接觸區(qū)域。接觸區(qū)域與加載方式、荷載、接觸面性質(zhì)等密切相關(guān)，屬于邊界待定問題；材料的非穿透和接觸力的不受拉即單側(cè)邊界條件是物體間的相對位置的約束條件。接觸間的摩擦用庫侖摩擦定律描述。接觸問題的本質(zhì)是非線性問題。

1.1 接觸分析

在接觸過程的計(jì)算中，根本性問題是如何滿足非穿透性條件，不考慮物體自身的接觸，物體間相互接觸可用圖1所示。

物體i（i=1,2,...,n）分別具有內(nèi)部區(qū)域?i和邊界

。在體力和面力的作用下，物體在空間中運(yùn)動。在任意時(shí)刻每個(gè)物體的邊界由給定位移的邊界 、給定應(yīng)力的邊界 、接觸邊界 三個(gè)部分組成，即

非穿透性條件是指任意時(shí)刻任意物體內(nèi)點(diǎn)不可能同時(shí)屬于另一物體，即任意兩區(qū)域的交集為空集：

圖1 物體接觸幾何關(guān)系圖

對于邊界條件則有：

如圖1所示，假設(shè)兩個(gè)即將發(fā)生接觸的物體上有最小距離的兩個(gè)點(diǎn)P1和P2，物體具有光滑的外表面，物體上任意一點(diǎn)P可由該點(diǎn)在表面上的單位法向矢量和單位切向矢量，建立局部坐標(biāo)系。若接觸物體表面向外凸，則存在具有最小距離的兩個(gè)最鄰近點(diǎn)P1和P2。他們的局部坐標(biāo)系坐標(biāo)軸間有關(guān)系：

他們間的相對位移 與切向單位矢量正交，即：（5）

由最近點(diǎn)的相對距離g可以確定物體間最短的法向相對距離gN

若gN＞0，則物體沒有接觸；gN=0，則物體相互接觸；gN＜0，則物體相互滲透。

1.2 接觸問題的數(shù)值解

數(shù)學(xué)上對施加無穿透約束的方法有拉格朗日乘子法、罰函數(shù)法和直接約束法。利用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行接觸問題的求解流程如圖2所示。

一些商品化的有限元分析軟件提供了求解接觸的專門分析工具。采用的方法有：

1）間隙單元 基于拉格朗日乘子或罰函數(shù)的接觸界面單元；

2）非線性彈簧 基于罰函數(shù)方法，通過子程序施加非線性彈簧；

3）接觸迭代法 直接約束的接觸算法，是一種通用算法。對大面積接觸，以及無法預(yù)知接觸發(fā)生區(qū)域的接觸問題，根據(jù)物體的運(yùn)動約束和相互作用自動探測接觸區(qū)域，施加接觸約束。

圖2 接觸算法流程圖

2 測試樹的接觸分析

圖3 測試樹的結(jié)構(gòu)圖

如圖3所示的測試樹是石油鉆井過程中，測量井下參數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵設(shè)備，各個(gè)零部件間通過螺紋進(jìn)行連接，測試樹上端與采油樹間通過螺紋連接。在設(shè)計(jì)工況下，流道內(nèi)流動的介質(zhì)為105MPa的泥漿，在NC50接頭處連接的是鉆柱，鉆柱的重量為300噸。因此，測試樹是在惡劣工況下、安全性要求非常高的設(shè)備。對螺紋連接區(qū)域的強(qiáng)度、測試樹的整體結(jié)構(gòu)是否滿足現(xiàn)場的要求，是測試樹設(shè)計(jì)過程中必須要解決的技術(shù)難題。利用有限元理論，研究測試樹在設(shè)計(jì)工況下各個(gè)螺紋連接區(qū)域的應(yīng)力、變形及其分布規(guī)律，提出優(yōu)化方案具有非常深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義。

2.1 測試樹有限元分析模型建立

圖4 測試樹的三維實(shí)體裝配圖

測試樹的所有零件均為回轉(zhuǎn)體類零件，各個(gè)零件間通過螺紋進(jìn)行連接。在進(jìn)行有限元分析時(shí)，采用四節(jié)點(diǎn)的軸對稱單元對回轉(zhuǎn)體零件進(jìn)行離散化，零件間的螺紋連接處忽略螺紋的升角，螺紋連接采用接觸單一進(jìn)行模擬。有限元分析模型如圖5所示。

2.2 邊界條件

測試樹在工作過程中，其上端通過螺紋與采油樹連接、下端與套管通過螺紋連接。進(jìn)行測試樹有限元分析的邊界條件為：

1）約束條件 采油樹斷面約束；

2）載荷 作用在測試樹的 載荷主要有測試樹內(nèi)部通道內(nèi)泥漿的壓力、鉆杠的重量和測試樹的重量。

1）泥漿的壓力：105MPa；

2）鉆柱的重量：按套管的最大最大重量300噸進(jìn)行計(jì)算；

3）材料 測試樹零件的材料為理想彈塑性材料。

圖5 測試樹的有限元分析模型圖

2.3 分析結(jié)果

對建立的模型，利用有限元分析求解器進(jìn)行計(jì)算，獲得給定邊界條件下測試樹的應(yīng)力、變形及其分布規(guī)律。

從分析結(jié)果中可以得到下面結(jié)論：

1）測試樹的最大變相為1.42mm，其變形較大，主要原因是測試樹下接頭最小段的壁厚較??；

2）測試樹的最大集中應(yīng)力出現(xiàn)在螺紋連接區(qū)域，最大綜合應(yīng)力為556MPa，在閥體與旋轉(zhuǎn)軸、下接頭與套管的螺紋連接區(qū)域，測試樹零件處于危險(xiǎn)狀態(tài)，應(yīng)通過采用高強(qiáng)度的材料或改進(jìn)結(jié)構(gòu)的方法提高測試樹的可靠性；

3）在各螺紋連接區(qū)域，螺紋的應(yīng)力不均勻，在兩端應(yīng)力高、中間應(yīng)力低，可以通過調(diào)整螺紋的連接長度實(shí)現(xiàn)螺紋應(yīng)力的優(yōu)化。

4）在旋轉(zhuǎn)軸和下接頭中，由于結(jié)構(gòu)特征的突變，出現(xiàn)了應(yīng)力集中，可以在兩個(gè)突變特征間增加園角特征，降低集中應(yīng)力。

通過有限元分析，為旋轉(zhuǎn)測試樹的結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了方向和理論依據(jù)。

圖6 測試樹的綜合應(yīng)力分布

3 結(jié)論

1）研究了地面旋轉(zhuǎn)測試樹的多柔性體接觸狀況下的接觸分析，開展了旋轉(zhuǎn)測試樹在套管載荷作用的彈塑性有限元分析。

2）采用有限元分析方法，進(jìn)行了多柔性體接觸仿真分析。分析結(jié)果表明，螺紋接觸區(qū)域的應(yīng)力分布呈非均勻變化，嚙合螺紋的兩端應(yīng)力很高，中間部分應(yīng)力較低，最大等效應(yīng)力均出現(xiàn)在外螺紋接頭根部及內(nèi)螺紋端部，即位于內(nèi)、外螺紋連接的最后嚙合處；而螺紋接觸應(yīng)力的分布呈兩頭大、中間小的趨勢。

3）通過地面旋轉(zhuǎn)測試樹的多柔性體接觸分析，獲得各個(gè)零件的應(yīng)力、變形及其分布規(guī)律，為裝配各個(gè)零件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

4）本研究暫限于柔性回轉(zhuǎn)體的軸對稱四面體單元分析，但該多柔性體接觸分析方法可以推廣到三維多柔性體的接觸分析問題中。

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