高 陽(yáng)，呂 碩，高 凱，任成東

GAO Yang，LV Shuo，GAO Kai，REN Cheng-dong

（北方民族大學(xué) 化學(xué)與化學(xué)工程學(xué)院，銀川 750021）

0 引言

動(dòng)平衡是旋轉(zhuǎn)類(lèi)產(chǎn)品生產(chǎn)、制造過(guò)程中必須解決的一個(gè)基本的共性問(wèn)題，其優(yōu)劣程度直接決定產(chǎn)品的工作性能、使用壽命，對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量產(chǎn)生巨大的影響[1]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非正常振動(dòng)已成為引發(fā)事故的主要原因之一，因此轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問(wèn)題顯得尤為重要[2,3]。動(dòng)平衡機(jī)實(shí)驗(yàn)機(jī)轉(zhuǎn)子的固有頻率是影響動(dòng)平衡機(jī)性能的重要參數(shù)，也是動(dòng)平衡機(jī)支撐、驅(qū)動(dòng)和傳感器選型、設(shè)計(jì)的關(guān)鍵依據(jù)。因此，建立精確的轉(zhuǎn)子-支撐系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并用ANSYS有限元對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行模態(tài)分析，研究設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)其影響，對(duì)動(dòng)平衡實(shí)驗(yàn)機(jī)的設(shè)計(jì)改進(jìn)有重要意義。

1 動(dòng)平衡實(shí)驗(yàn)機(jī)工作原理

動(dòng)平衡機(jī)的工作原理如圖1所示。將待平衡的試件安放在框形擺架的支撐輪上，擺架的左端固結(jié)在工字型板簧中，右臂彈簧支撐。電機(jī)通過(guò)皮帶帶動(dòng)試件旋轉(zhuǎn)，當(dāng)試件有不平衡的質(zhì)量存在時(shí)，則產(chǎn)生離心慣性力使擺架繞工字型板簧上下周期性地振動(dòng)，通過(guò)傳感器可得振幅的大小。對(duì)于試件的不平衡量（或平衡量）的大小和方位的測(cè)量主要由差速器和補(bǔ)償盤(pán)組成，差速器安裝在擺架的右端，它的左端為轉(zhuǎn)動(dòng)輸入端通過(guò)聯(lián)軸器與試件聯(lián)接，右端為輸出端與補(bǔ)償盤(pán)相聯(lián)接。由于差速器是由齒數(shù)和模數(shù)相同的三個(gè)圓錐齒輪和一個(gè)蝸輪組成的周轉(zhuǎn)輪系，當(dāng)蝸桿不動(dòng)時(shí)為定軸輪系，這時(shí)補(bǔ)償盤(pán)的轉(zhuǎn)速與試件轉(zhuǎn)速大小相等方向相反；當(dāng)試件與蝸桿都轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為差動(dòng)輪系，渦輪轉(zhuǎn)速與試件同向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)補(bǔ)償盤(pán)減速，反之則加速。這樣可以改變補(bǔ)償盤(pán)與試件圓盤(pán)之間的相位角。

圖1 動(dòng)平衡實(shí)驗(yàn)機(jī)工作原理

2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模分析

轉(zhuǎn)子材料的不均勻、制造誤差、結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱(chēng)等諸因素導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生離心慣性力組成一個(gè)空間力系，使轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡。當(dāng)試件上有不平衡質(zhì)量存在時(shí)，試件以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)后產(chǎn)生離心慣性力 F＝mrω2，它可以分成垂直分力Fy和水平分力Fx，由于平衡機(jī)的工字型板簧和擺架在水平方向（繞y軸）抗彎剛度很大，所以水平分力Fx對(duì)擺架的振動(dòng)影響很小可忽略不計(jì)。而在垂直方向上（繞x軸）的抗彎剛度小，因此在垂直分力產(chǎn)生的力矩的作用下，使擺架產(chǎn)生周期性的上下振動(dòng)。因此，動(dòng)平衡機(jī)可簡(jiǎn)化為自由度為2的線性受迫振動(dòng)系統(tǒng)。設(shè)轉(zhuǎn)子質(zhì)量為M，對(duì)過(guò)質(zhì)心且垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，不平衡量的質(zhì)量分別為m1、m2，板簧和彈簧勁度系數(shù)分別為k1、 k2，轉(zhuǎn)子與不平衡量的相對(duì)位置如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子-支撐振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)初始狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)水平，過(guò)質(zhì)心建立坐標(biāo)系。在運(yùn)動(dòng)的某一時(shí)刻，轉(zhuǎn)子質(zhì)心沿y軸方向的位移為y，轉(zhuǎn)角為θ，板簧相對(duì)于初始位置的伸長(zhǎng)量分別為y1、y2?？傻棉D(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)微分方程：

1）解方程組4所對(duì)應(yīng)的齊次方程組，可得y與θ的固有角頻率p1、p2均為方程p4－（A1＋A2）p2＋A1A2－B1B2＝0的兩正根：

3 轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析

1）轉(zhuǎn)子模態(tài)前處理

根據(jù)轉(zhuǎn)子試件的結(jié)構(gòu)和精度要求，將其單元類(lèi)型定義為Solid45單元。轉(zhuǎn)子的材料為45，彈性模量200GPa，泊松比0.269，密度7810kg/m3。在建模的過(guò)程中將一些倒角等不影響分析結(jié)果的特征進(jìn)行了簡(jiǎn)化和忽略[4]。將在Solidworks中創(chuàng)建好的實(shí)體模型保存為.x_t文件格式，利用ANSYS Connection for Parasolid接口將其導(dǎo)入到ANSYS中，使用利用Meshtool工具對(duì)其進(jìn)行自由網(wǎng)格劃分。盡量使劃分的網(wǎng)格的粗細(xì)能夠既滿足分析的精度，又不至使模型太大，占用太多的計(jì)算機(jī)資源和求解時(shí)間。

在完成了有限元幾何模型的建立和網(wǎng)格劃分之后，便可以定義轉(zhuǎn)子的邊界條件和求解分析選項(xiàng)，對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行考慮預(yù)應(yīng)力影響的模態(tài)分析。根據(jù)轉(zhuǎn)子的工作條件，需要先進(jìn)行有預(yù)應(yīng)力的靜力分析，然后在通過(guò)指定具體的分析選項(xiàng)進(jìn)行有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析，求解轉(zhuǎn)子的前幾階固有頻率和相應(yīng)的模態(tài)振型。滾輪近似為理想鉸鏈約束，軸相對(duì)于擺架只能繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此限制了x、y、z方向上移動(dòng)和繞x、y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)轉(zhuǎn)子試件左端皮帶對(duì)軸主要產(chǎn)生的是預(yù)應(yīng)力。其離心載荷是由于旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的，因此需要在分析時(shí)指定轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度。

2）轉(zhuǎn)子靜力分析

由于對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)的分析需要考慮離心力引起的應(yīng)力對(duì)模態(tài)的影響，所以需要先對(duì)其進(jìn)行靜力分析，求解出離心力產(chǎn)生的應(yīng)力，及其對(duì)剛度陣的影響，將結(jié)果寫(xiě)入數(shù)據(jù)庫(kù)文件。

圖3 變形后的總位移與未變形輪廓的比較

圖4 轉(zhuǎn)子Von mises等效應(yīng)力分布

3）轉(zhuǎn)子模態(tài)分析

對(duì)于轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析，模態(tài)提取方法為分塊蘭索斯法。它具有求解精度高、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，適合對(duì)稱(chēng)特征值求解問(wèn)題[5]。由于低階模態(tài)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的影響較大，越是低階影響越大，故進(jìn)行結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析計(jì)算時(shí)通常取前5～10階即可[6,7]。本文提取轉(zhuǎn)子的前10階模態(tài)，模態(tài)擴(kuò)展階數(shù)為10，并將ANSYS的Incl prestress effects（預(yù)應(yīng)力效應(yīng)）開(kāi)啟，在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)ANSYS程序?qū)?huì)把前面靜力分析中求解得到的離心力產(chǎn)生的應(yīng)力對(duì)剛度的影響考慮進(jìn)去。

通過(guò)計(jì)算，提取轉(zhuǎn)子前10階固有頻率和相應(yīng)振型，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)子固有頻率及振型結(jié)果分析

由表1可以看出轉(zhuǎn)子的前10階固有頻率在568.95～1995.8Hz之間，隨著階數(shù)增大，固有頻率從小到大分布，且有些頻率值很接近，這是由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)和約束都是對(duì)稱(chēng)的，會(huì)出現(xiàn)振型和頻率相接近但相位不同的情況。根據(jù)這些固有頻率可以計(jì)算轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)時(shí)的各階臨界速度?？刂妻D(zhuǎn)子工作時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度低于各階臨界速度一定的裕量，可使轉(zhuǎn)子在工作過(guò)程中不會(huì)發(fā)生共振，保證包括轉(zhuǎn)子在內(nèi)的所有零、部件的安全穩(wěn)定運(yùn)行。

4 結(jié)論

在對(duì)動(dòng)平衡實(shí)驗(yàn)機(jī)工作原理、轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡的力學(xué)條件分析和動(dòng)力學(xué)建模的基礎(chǔ)上，利用有限元ANSYS軟件，對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行了模態(tài)分析。研究了轉(zhuǎn)子在有預(yù)應(yīng)力影響下的前10階固有頻率和振型。通過(guò)動(dòng)平衡機(jī)轉(zhuǎn)子模態(tài)分析，通過(guò)轉(zhuǎn)子的振型圖和動(dòng)態(tài)顯示，直觀地分析了轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)特性，為更詳細(xì)的動(dòng)力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)；為轉(zhuǎn)子的振動(dòng)控制、工作可靠性和使用壽命提供了理論依據(jù)；還為轉(zhuǎn)子和擺架的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)了提供科學(xué)的參考數(shù)據(jù)，對(duì)后續(xù)整機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)改進(jìn)設(shè)計(jì)，故障診斷提供重要的理論依據(jù)。

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