張子陽(yáng)，謝壽生，錢征文，龍 門，彭靖波

（1.空軍工程大學(xué) 工程學(xué)院，西安 710038；2.空軍工程大學(xué) 電訊工程學(xué)院，西安 710077）

建立航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子的有限元模型對(duì)于分析結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性、提高裝配水平具有十分重要的意義［1］。某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子采用的拉桿結(jié)構(gòu)增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的剛度，但拉桿轉(zhuǎn)子的接觸面會(huì)使轉(zhuǎn)子局部剛度降低，而高壓轉(zhuǎn)子盤與盤之間的聯(lián)接采用的是過(guò)盈聯(lián)接的方式，處于彈性或彈塑性接觸狀態(tài)。因此，復(fù)雜的接觸情況使得拉桿轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)變化復(fù)雜，如何在有限元建模過(guò)程中考慮這些因素的影響是進(jìn)一步提高模型精度需要解決的問題［2，3］。

基于梁模型的高壓轉(zhuǎn)子整體有限元建模方法，不僅沒有考慮接觸部位縱向纖維的不連續(xù)性，而且忽視了橫向擠壓與松弛的可能性，因而夸大了接觸處的剛度。文獻(xiàn)［4］提出了刻畫熱套連接處性狀的力學(xué)模型，開始對(duì)整體轉(zhuǎn)子進(jìn)行修正。文獻(xiàn)［5］分析了拉桿轉(zhuǎn)子的受力情況，然后考慮接觸面接觸剛度對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性的影響，將拉桿和接觸面等效為一個(gè)鉸鏈和一個(gè)抗彎彈簧，對(duì)傳統(tǒng)的有限元方法進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)［6］利用ANSYS分析非線性接觸的模塊，對(duì)拉桿與圓盤以及圓盤之間的接觸行為進(jìn)行研究，在一定程度上反映了拉桿結(jié)構(gòu)的接觸狀態(tài)。

本文對(duì)盤與盤、拉桿與盤之間的接觸力學(xué)模型進(jìn)行研究，對(duì)復(fù)雜接觸部位的有限元模型進(jìn)行重構(gòu)，提出將彈簧剛度矩陣的修正和有限元模型剛度矩陣的修正融合的方法，構(gòu)建了考慮復(fù)雜接觸的有限元?jiǎng)偠日w優(yōu)化模型，并且運(yùn)用拉直算子將優(yōu)化模型中需要修正的參數(shù)分離出來(lái)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果進(jìn)行了修正。最后對(duì)某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子拉桿結(jié)構(gòu)運(yùn)用本文提出的方法進(jìn)行了算法驗(yàn)證，并且基于MAC對(duì)算法的有效性進(jìn)行了檢驗(yàn)。

1 拉桿結(jié)構(gòu)接觸狀態(tài)的力學(xué)模型

根據(jù)對(duì)拉桿結(jié)構(gòu)的受力分析，該結(jié)構(gòu)主要包含兩個(gè)影響有限元分析結(jié)果的接觸方式：盤與盤之間的接觸以及盤與拉桿之間的接觸。

由于采用熱套工藝，并且盤與盤之間是過(guò)盈聯(lián)接的方式，裝配后的盤面摩擦力能夠使相鄰盤面的橫向位移保持一致，但不能使兩個(gè)接觸面的轉(zhuǎn)角相等。這將造成相鄰兩個(gè)擠壓面上一部分松弛，而另一部分受到再擠壓作用。因此，盤與盤之間的接觸可以用一組沿?cái)D壓面均布的抗壓彈簧和鉸接頭來(lái)表示，如圖1所示。

拉桿通過(guò)螺母和圓盤發(fā)生的擠壓作用與圓盤間的擠壓作用相類似，可用鉸接頭和抗彎彈簧來(lái)表征，因此該接觸單元沒有質(zhì)量，只有等效抗彎剛度。

高壓轉(zhuǎn)子的軸和拉桿均采用有限元的梁模型表示。

圖1 盤與盤之間接觸的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical modal of contact between wheel disks

圖2 拉桿與盤之間接觸的力學(xué)模型Fig.2 Mechanical modal of contact between rod and wheel disks

2 彈簧剛度和有限元?jiǎng)偠鹊娜诤闲拚?/h2>

2.1 修正參數(shù)的選擇

根據(jù)受力分析可以確定，拉桿結(jié)構(gòu)中的復(fù)雜接觸是對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性影響顯著而且建模誤差集中的部位。為提高有限元建模精度，對(duì)這些局部的建模進(jìn)行重構(gòu)。但是在ANSYS模態(tài)計(jì)算中僅使用面接觸單元的原始參數(shù)是不能對(duì)這種復(fù)雜接觸進(jìn)行完全描述的，因此需要根據(jù)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)，結(jié)合靈敏度分析，對(duì)參數(shù)進(jìn)行修正。

抗壓彈簧和抗彎彈簧的剛度值反映了接觸的動(dòng)態(tài)特性，經(jīng)過(guò)模型結(jié)構(gòu)調(diào)整后，初始估計(jì)的彈簧剛度值需要根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步修正，因此選為需要修正的參數(shù)。

模型剛度陣的修正屬于矩陣型修正方法，而彈簧剛度的修正屬于元素型的修正方法［7］。由于拉桿轉(zhuǎn)子的剛度變化復(fù)雜，這兩個(gè)剛度的修正結(jié)果必然相互影響，且修正后的剛度陣改變了原矩陣的帶狀和稀疏性，因此本文將兩種修正方法進(jìn)行融合，建立統(tǒng)一的優(yōu)化模型，并運(yùn)用拉直算子將需要修正的參數(shù)分離出來(lái)單獨(dú)進(jìn)行修正。

2.2 融合修正模型的建立

通過(guò)對(duì)拉桿結(jié)構(gòu)的理論分析給出初始的有限元模型，其質(zhì)量矩陣為Ma，剛度矩陣為Ka，并且Ma∈Rn×n與Ka∈Rn×n均為實(shí)對(duì)稱矩陣。

假設(shè)通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到前s階的精確模態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確地反映了結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，記為：

一方面，運(yùn)用 Smith［8，9］提出的元素型修正方法，建立特征頻率誤差和彈簧剛度的關(guān)系式，通過(guò)求解使特征頻率誤差最小的剛度修正因子建立彈簧剛度的迭代計(jì)算式。第i階特征頻率ωi的誤差Δωi對(duì)抗壓彈簧和抗彎彈簧剛度的修正量Δg的1階Taylor展式為：

寫出矩陣形式為：

定義δ=Aα－b為方程的誤差。

另一方面，運(yùn)用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)對(duì)模型剛度陣進(jìn)行修正時(shí)，需要滿足的特征方程及正交性條件為：

當(dāng)方程（5）有解時(shí)，滿足方程（5）的矩陣K有無(wú)窮多個(gè)，而修正的目標(biāo)就是這無(wú)窮多個(gè)K中找出最符合實(shí)際結(jié)構(gòu)的剛度Ka的矩陣，即矩陣應(yīng)滿足：

因此，通過(guò)引入系數(shù)λ建立統(tǒng)一的優(yōu)化模型為：

2.3 基于拉直算法的模型優(yōu)化求解

運(yùn)用拉直算法［10］對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。該方法能夠?qū)⑿枰拚齾?shù)分離出來(lái)直接對(duì)其修正。在保證計(jì)算模型的帶狀稀疏特性基礎(chǔ)上，將實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)融于修正模型。

令剛度修正矩陣為ΔK，首先對(duì)特征向量φ進(jìn)行歸一化，令ΔKφi=1。滿足式（5）的條件下，可得：

進(jìn)行拉直運(yùn)算可得：

對(duì)式（9）左端變量進(jìn)行調(diào)整：

（1）把對(duì)角線上的變量按對(duì)角線方向依次放在列向量vec（ΔK）的最前端；

（2）把下三角陣中非對(duì)角線上的變量按對(duì)角線方向依次放在列向量vec（ΔK）的中間部分；

（3）把上三角陣上非對(duì)角線上的變量按對(duì)角線方向依次放在列向量vec（ΔK）的最后部分。

記調(diào)整后ΦT?I為E，而調(diào)整后的vec（ΔK）仍用原符號(hào)表示，式（9）表示為：

對(duì)vec（ΔK）進(jìn)行半拉直變換：

令F=E×V則：

在svec（ΔK）中僅有前qK個(gè)變量為所求變量。因此，刪除多余變量，取svec（ΔK）的前qk列組成新矩陣Y，得到：

對(duì)彈簧剛度修正的拉直算法中，取α中的前qK個(gè)變量，滿足δ=0的最優(yōu)解可以通過(guò)使下述函數(shù)最小化得到：

其中μ為比例因子。

拉直后的優(yōu)化模型為：

建立彈簧剛度修正的迭代方程為：

運(yùn)用梯度法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解即可得到優(yōu)化后的剛度矩陣和適宜的彈簧剛度。

2.4 基于MAC的模型修正檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)修正后的有限元模型的準(zhǔn)確性，采用模態(tài)確認(rèn)標(biāo)準(zhǔn) MAC（modal assurance criterion）［11］對(duì)修正后的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。

因此，彈簧剛度和有限元?jiǎng)偠鹊娜诤闲拚^(guò)程如圖3所示。

圖3 剛度融合修正過(guò)程Fig.3 Fusion stiffness modification of spring and FE modal

3 算例

為驗(yàn)證本文提出的有限元修正算法的有效性，在拉桿轉(zhuǎn)子力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子的拉桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模分析。

對(duì)盤與盤之間以及盤與拉桿之間的接觸進(jìn)行了重構(gòu)，有限元模型的接觸面采用面接觸單元（CONTA174），重構(gòu)后的矩陣形式與原來(lái)的矩陣形式相比，在ANSYS建模過(guò)程中由于包含了接觸單元，矩陣的規(guī)模擴(kuò)大了，而且和接觸單元相關(guān)的單元的參數(shù)也發(fā)生了變化。按裝配工藝進(jìn)行正常預(yù)緊，接觸部位的有限元模型如圖3所示。

以本實(shí)驗(yàn)室研制的高壓轉(zhuǎn)子裝配檢測(cè)儀為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，獲取高壓轉(zhuǎn)子拉桿結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)。其中，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中的高壓轉(zhuǎn)子拉桿結(jié)構(gòu)參數(shù)與仿真模型的參數(shù)是一致的。

通過(guò)求解初始有限元模型，可以得到修正前的模態(tài)參數(shù)。與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，前4階特征頻率如表1所示。

圖4 某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)拉桿結(jié)構(gòu)中接觸部位的有限元模型Fig.4 Contact surface in FE modal of high pressure spool

表1 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果與修正前頻率對(duì)比HzTab.1 Frequency comparison between EMA and modal before updated Hz

運(yùn)用本文提出的優(yōu)化剛度修正方法，結(jié)合實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到的模態(tài)參數(shù)，對(duì)初始有限元模型進(jìn)行修正。圖5以1號(hào)螺栓位置的4個(gè)接觸單元的剛度值為代表，給出了修正前后的單元?jiǎng)偠鹊娜≈岛托拚^(guò)程中參數(shù)的變化過(guò)程。修正后的頻率與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表2所示。

圖5 接觸單元?jiǎng)偠戎档淖兓^(guò)程Fig.5 Evolutions of stiffness in contact element

表2 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果與修正后頻率對(duì)比HzTab.2 Frequency comparison between EMA and modal after updated Hz

表3 模型修正前后MAC的對(duì)比Tab.3 MAC comparisons before and after modal updating

計(jì)算修正前后的MAC，對(duì)修正后的有限元模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn)，模型修正前后MAC的對(duì)比如表3所示，圖6、7表示了修正前后的模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果的模態(tài)相關(guān)性。

圖6 修正前模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪B(tài)相關(guān)性Fig.6 MAC between modal before updated and EMA

圖7 修正后模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪B(tài)相關(guān)性Fig.7 MAC between modal after updated and EMA

4 結(jié)論

通過(guò)與航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子拉桿結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明修正后的基于復(fù)雜接觸的有限元模型真實(shí)反映了拉桿聯(lián)接的圓盤之間的接觸狀態(tài)。

本文提出的方法從拉桿結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型出發(fā)，在明確的物理模型基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果，運(yùn)用拉直算子對(duì)挑選過(guò)的參數(shù)進(jìn)行修正，保證了修正后的質(zhì)量陣與剛度陣之間的關(guān)聯(lián)性，避免了虛元與負(fù)剛度值的出現(xiàn)。

［1］章圣聰，王艾倫.盤式拉桿轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28（4）：117 －120.

［2］ Bin X，Nan C.Frictional contact analysis and experiment study of complex mechanism with pinned connections［J］.Finite Elem.Anal.Des，2010，47（2）：142 －150.

［3］Alkatan F，Stephan P，Daidie A.Equivalent axial stiffness of various components in bolted joints subjected to axial loading［J］.Finite Elements in Analysis and Design，2007，43（8）：589－598.

［4］夏松波，武新華，汪光明.熱套轉(zhuǎn)子力學(xué)模型研究［J］.航空學(xué)報(bào)，1987，8（9）：449 －455.

［5］汪光明，饒柱石，夏松波.拉桿轉(zhuǎn)子力學(xué)模型的研究［J］.航空學(xué)報(bào)，1993，14（8）：419 －423.

［6］高 銳，袁 奇，高 進(jìn).燃?xì)廨啓C(jī)拉桿轉(zhuǎn)子有限元模型研究及臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算［J］.熱能動(dòng)力工程，2009，，24（3）：305－308.

［7］袁永新，蔣家尚.一種利用模態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)修正剛度矩陣的新方法［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28（11）：34－37.

［8］ Smith M J，Hutton S G.Frequency modification using Newton’s method and inverse iteration eigenvector updating［J］.AIAA Journal，1992，30（7）：1886 －1891.

［9］李 輝，丁 樺.結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型修正方法研究進(jìn)展［J］.力學(xué)進(jìn)展，2005，35（2）：170 －180.

［10］周星德，林小國(guó)，徐艷紅.有限元模型修正的虛擬拉直算法［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2008，21（2）：152－156.

［11］Ewins D J.Modal testing：theory and practice［M］.Research Studies Press，2000.