宋明玉

(長江大學物理科學與技術(shù)學院,湖北荊州434023)

量子態(tài)的重構(gòu)是量子光學及相關領域的核心問題。在原子-腔QED框架中,對于腔場量子態(tài)的測量人們已提出很多有效方案。同時,對于量子信息處理與量子計算的物理實現(xiàn),囚禁離子系統(tǒng)正成為人們越來越關注的理想物理系統(tǒng)。最近人們提出很多方案,利用激光激發(fā)離子來實現(xiàn)囚禁離子振動非經(jīng)典態(tài),如Fock態(tài)[1],壓縮相干態(tài)[2],貓態(tài)[3]和奇偶相干態(tài)[4]。在原子-腔QED系統(tǒng)中,腔場量子態(tài)的重構(gòu)方案一般是通過對原子態(tài)測量來實現(xiàn)準概率分布函數(shù),如Wigner函數(shù)的重構(gòu),從而提供一種新的量子態(tài)表象[5]。

最近,囚禁離子振動量子態(tài)的重構(gòu)已在實驗上得以實現(xiàn),但該方案涉及復雜的數(shù)據(jù)分析。文獻 [5]提出了在腔QED和離子阱中直接測量Wigner函數(shù)的方案,該方案適用于在低激發(fā)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)囚禁離子振動態(tài)的Wigner函數(shù)的直接測量。另一方面,在實際的實驗中,離子阱不可能是完全孤立的,因此必須要考慮相應的耗散效應。

1 模 型

筆者研究在考慮系統(tǒng)耗散的情況下 (真實條件)振動態(tài)的重構(gòu)問題。雖然不可能重構(gòu) Wigner函數(shù),但仍然可能恢復初始態(tài)的全部信息。事實上,文獻 [6]已經(jīng)指出重構(gòu)方案本身也顯示量子系統(tǒng)的相干損失。與先前的方案不同的是,筆者的方案在色散時出現(xiàn)耗散的情況下仍然有效。

考慮N個質(zhì)量為m的超冷離子囚禁在一個線型阱中,離子在阱中沿z方向排成一條鏈做集體振動,通過2束拉曼光調(diào)諧離子振動的第q階上下邊帶。因為離子已經(jīng)被冷卻,每個離子僅僅在阱的軸線上相應平衡位置zj0(j=1,2,…,N)做小的振蕩[7]。旋波近似下,哈密頓量描述為:

式中,{a,br}和{a+,b+r}分別是頻率為ν的質(zhì)心振動模以及頻率為νr的其他振動模的湮滅和產(chǎn)生算符;和σ表示第j個離子的上升、下降以及反轉(zhuǎn)算符;ω和λ是躍遷頻率和特征離子內(nèi)部躍遷的偶極矩陣zj0元;H.c.表示 E+(z,t)的厄米共軛;E+(z,t)是激光的正頻部分:

式中,El表示驅(qū)動激光場的幅度;Φl表示激光的相位;kl(l=1,2)表示波矢;δ表示驅(qū)動場對應離子躍遷頻率的失諧量。在Lamb-Dicke極限下,筆者選擇合適的激光相位、幅度參數(shù)以滿足如下條件:

式中,Ψl=λEl對應激光的 Rabi頻率。

假設與角動量J的x、y、z分量有關的算符如下:

其中 ,|ψm(α)〉 =D(α)|ψm(0)〉,D(α)=exp(αa+-α*a)。

角動量的x分量J x能被寫作:

從而:

如果相互作用時間t滿足t=π/(2χ),就得到:

這正是Wigner函數(shù) (有一個相因子π)[5,9]。

2 耗散條件下Wigner函數(shù)的重構(gòu)

在色散近似及相互作用繪景下,特征離子動力學行為的主方程[10]為:

式中,ρ為系統(tǒng)的密度矩陣元。下面筆者將用超算符技術(shù)[11]來求解該方程。定義超算符:

其中 ,[K,L]ρ=(Γρ+ρΓ+)Kρ。對于初態(tài) |ψm(α)〉,可以得到[12]:

為了獲得系統(tǒng)的密度矩陣元,利用用上面定義的超算符來操作:

因為f是對離子內(nèi)態(tài)的超算符,它只對離子的內(nèi)態(tài)躍遷產(chǎn)生影響。而K是相應于離子的外部自由度的算符,它僅僅對離子的振動態(tài)產(chǎn)生影響。因此不難得到:

式中,C.C.表示復共軛。

因此:

根據(jù)式(6)、(8)、(10)計算〈Jx〉得到:

對式(11)中第2個求和指數(shù)做修正M=m+k,得到:

對式(12)的第2個求和符號從M=0開始,得到:

通過選擇參數(shù)條件t=τ/χ和γ=Aχ,有:

如果條件τ=3π/4和 A=exp(-3Aπ/2)能得到滿足,則μ=0。此時,在方程(14)中僅僅保留的項是M=0的項。從而獲得 Wigner函數(shù):

通過數(shù)值方法很容易得到A=0.27。也就是說,僅僅用一個參數(shù)γ(在這里為γ=0.27χ)就能得到離子振動態(tài)全部信息。

3 實 例

如果離子的振動態(tài)處在2個幅度相等位相相反的相干態(tài)(|α〉和|-α〉)的迭加,其密度矩陣描述為:

式中,φ為相因子;N為歸一化系數(shù)。

在耗散條件下,薛定諤貓態(tài)是極其脆弱的,因此這里以實現(xiàn)其Wigner函數(shù)的重構(gòu)正好能來驗證筆者的方法是可行的。

選擇合適的相互作用時間來滿足條件θ=-π,按照式(18)改寫式(14):

在式(16)中,選擇條件 A=0.1,μ是時間τ的函數(shù)(隨τ的增大而減小)。在τ=0時,μ=1,很快隨著τ的增加,使得 μ≠1。設置參數(shù)s,讓 μ=(1+s)/(1-s),對應于τ=1.69,即 A=0.1,可以得到以s為參數(shù)的Wigner函數(shù):

圖1(a)數(shù)值模擬了滿足條件α=3和φ=0初始時刻τ=0(s=0)的離子振動薛定諤貓態(tài) (18)的Wigner函數(shù)分布,在圖1(b)中,通過設置參數(shù)s=-0.18(對應于τ=1.69和A=0.1),數(shù)值模擬了同樣態(tài)的分布。結(jié)果表明,重構(gòu)準概率分布不再表現(xiàn)出負值,這反映了退相干過程。衰減參數(shù)越大,表現(xiàn)越明顯。

4 結(jié) 語

提出了一種囚禁離子振動態(tài)的Wigner函數(shù)重構(gòu)的一種預備方案,不同于以往方案的是,筆者的方案在耗散條件下的色散區(qū)仍然有效。該方案可以使用超級算子解決真實實驗條件下 (包含耗散)的色散相互作用。結(jié)果證明,在非理想條件下,運用S-參數(shù)化的準概率分布函數(shù)可以實現(xiàn)甚至包括耗散情況下的振動量子態(tài)的全面重構(gòu)。

圖1 滿足條件α=3和φ=0的離子振動薛定諤貓態(tài)(18)的Wigner函數(shù)分布

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