雷賓賓，董東風(fēng)

（長沙通信職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南長沙 410015）

在運動競賽方法中，淘汰賽方法在很多體育項目的各級各類競賽中被廣泛運用。不管是采用手工編排還是計算機編排，我們都能完成淘汰賽的編排任務(wù)。然而，我們發(fā)現(xiàn)，在很多運動競賽方法的相關(guān)教材、手冊中，對于淘汰賽方法的論述卻很不完善，導(dǎo)致實際編排結(jié)果有多“版本”現(xiàn)象。主要表現(xiàn)在以下兩個方面的問題：

一是查表法問題：淘汰賽種子及輪空位置的編排都是采用查表法（計算數(shù)學(xué)平方根，一定要帶著表格），給出種子位置表及輪空位置表，有些提供的表格數(shù)據(jù)還不全，甚至出現(xiàn)多個“版本”。至于表是怎么得來的，都描述不清楚，只是給出建立在手工編排基礎(chǔ)上的“跟種子”原理理論，并沒有給出計算方法。采用這種理論教學(xué)讓學(xué)生很難掌握，以至于在實際手工編排運用中，特別是在無表對照的情況下，編排結(jié)果有多“版本”現(xiàn)象。

二是框圖法問題：淘汰賽輪次編排通常都是采用手工畫輪次框圖的直觀辦法（參見圖1單淘汰賽比賽輪次表），在表示“進級”上都是假定某位勝出，沒有進級隊編碼。如果只是像單淘汰賽那樣連續(xù)地畫下去，有無編碼也無所謂，總是能找到進級隊的位置。但是，如果是像雙淘汰賽或附加賽，再采用連續(xù)性框圖畫法恐怕會很復(fù)雜也很難表示[1]，所以采用分組畫法，例如雙淘汰賽就是采用分勝組和敗組的畫法，但是，當(dāng)參賽隊很多的時候，能畫出框圖還并不一定能找到進級隊的位置（當(dāng)然還有畫錯的），因為，這種“兩級”分組還不夠完善，沒能完整解決編排算法問題。所以，我們在實踐中可以找到多個“版本”的雙淘汰賽框圖。

當(dāng)然，我們的比賽并沒有因上述問題而無法舉行。我們只是想通過對淘汰賽方法的描述，讓大家對該方法有一個完整的了解，使我們以后的淘汰賽編排更加規(guī)范，減少錯誤，避“黑編”之嫌。同時，為計算機編排提供算法理論，提高計算機編排的自動化程度。也可以為淘汰法的分類提供依據(jù)。

圖1 單淘汰賽比賽輪次表

1 單淘汰賽編排方法

要進行淘汰賽輪次編排需要的第一個參數(shù)就是參賽隊（人）數(shù)，參賽隊數(shù)與位置數(shù)滿足關(guān)系式：2n≥N（N表示參賽隊數(shù)；2n表示位置數(shù)；n表示比賽輪次數(shù)＝1，2，3，...），也就是說，淘汰賽的位置數(shù)必須是2的冪次方，比賽場次為（2n－1）－（2n－N）＝N－1（參見圖1）。如果是參賽隊數(shù)小于位置數(shù)，只允許在第一輪出現(xiàn)2n－N個空位，遇到空位的一方輪空，使以后各輪不再出現(xiàn)空位。當(dāng)確定了參賽隊數(shù)后，淘汰賽的位置數(shù)、比賽輪次數(shù)、比賽場次數(shù)以及賽程也都確定了。剩下的還需要確定第二個參數(shù)“種子號碼”，這個參數(shù)實際要解決兩個問題，第一個問題：如何把參賽隊分配到位置當(dāng)中去，以此確定參賽隊的賽程，常見的辦法有兩種，第一種辦法就是采用“跟種子原理”排位；第二種辦法就是采用抽簽定位（不在此討論）。第二個問題：在參賽隊數(shù)小于位置數(shù)時，要確定哪些位置是空位（2n－N個）。

我們可以先假定有2n個種子號碼（因為最多只有2n個種子），與循環(huán)賽及積分編排賽不同，淘汰賽種子號碼與位置號碼不是依序相對應(yīng)的。循環(huán)賽及積分編排賽1號位置就排1號種子，2號位置就排2號種子，依此類推。而淘汰賽卻不是這樣。但是，淘汰賽種子號碼與輪空是相對應(yīng)的，也就是說，1號種子編在哪個位置，其對手的位置將是第一個空位，2號種子編在哪個位置，其對手的位置將是第二個空位，依此類推。如果我們知道了2n個種子的位置編排，我們就找到了位置號碼與種子號碼的對應(yīng)關(guān)系，同時，也就解決了輪空問題。如果說沒有種子隊，或者有種子隊但不能區(qū)分種子序號大小，那就只有抽簽定位，可以分種子簽和非種子簽。而空位的確定還是按照“假想”種子位置的對手位置來確定。那么，如何編排2n個種子的位置呢，這就是“跟種子原理”，其算法我們可以根據(jù)“淘汰賽種子位置表”推算如下（參見表1）：

表1 淘汰賽種子位置表

當(dāng)n＝1時，只有21＝2個位置，最多兩個種子隊，只能1號位置排1號種子（奇數(shù)），2號位置排2號種子（偶數(shù)）。我們以此確定為“根種子”（不是跟種子），因為，所有種子的位置編排都是從這兩個種子推算而來。

當(dāng)n＝2時，22＝4個位置，22上半?yún)^(qū)2個位置正好與21的2個位置奇偶相對應(yīng)，即22上半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼等于21奇數(shù)位置上的種子號碼“乘2減1”，這里為1×2－1＝1；22上半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼等于21偶數(shù)位置上的種子號碼乘2，這里為2×2＝4。也就是“橫向?qū)?yīng)”，用21對應(yīng)22上半?yún)^(qū)。22下半?yún)^(qū)2個位置正好與22上半?yún)^(qū)2個位置奇偶相對應(yīng)。即22下半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼等于22上半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼加2，這里為1＋2＝3；22下半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼等于22上半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼減2，這里為4－2＝2。也就是“縱向?qū)?yīng)”，用22上半?yún)^(qū)對應(yīng)22下半?yún)^(qū)。由此得到22的4個位置的種子編排為1432。

當(dāng)n＝3時，23＝8。23上半?yún)^(qū)4個位置正好與22的4個位置奇偶相對應(yīng)，即23上半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼等于22奇數(shù)位置上的種子號碼“乘2減1”，這里為1×2－1＝1和3×2－1＝5；23上半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼等于22偶數(shù)位置上的種子號碼乘2，這里為4×2＝8和2×2＝4。也就是“橫向?qū)?yīng)”，由此得到23上半?yún)^(qū)4個位置的種子編排為1854。23下半?yún)^(qū)4個位置正好與23上半?yún)^(qū)4個位置奇偶相對應(yīng)，即23下半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼等于23上半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼加2，這里為1＋2＝3和5＋2＝7；23下半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼等于23上半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼減2，這里為8－2＝6和4－2＝2。也就是“縱向?qū)?yīng)”，由此得到23下半?yún)^(qū)4個位置的種子編排為3672。合起來就得到23全區(qū)8個位置的種子編排為18543672。

以此類推，可以得到給定2n個種子的位置編排：

2n+1上半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼＝2n奇數(shù)位置上的種子號碼×2－1；

2n+1上半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼＝2n偶數(shù)位置上的種子號碼×2（橫向）。

2n下半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼＝2n上半?yún)^(qū)奇數(shù)位置上的種子號碼＋2；

2n下半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼＝2n上半?yún)^(qū)偶數(shù)位置上的種子號碼－2（縱向）。

這個算法的特點：每次推算都必須從“根種子”開始；奇偶對應(yīng)，都與2有關(guān)；先橫向?qū)?yīng),上半?yún)^(qū)用乘法；再縱向?qū)?yīng)，下半?yún)^(qū)用加減法。

空位的確定其實就是依據(jù)種子號碼的大小來優(yōu)先確定的。比如有8個位置的淘汰賽，當(dāng)只能確定一個種子時，依據(jù)“根種子原理”，這個種子排在1號位置；能確定兩個種子時，第2號種子就排在8號位置。那么，當(dāng)只有7隊參賽時，2號位置就為空位；當(dāng)只有6隊參賽時，第二個空位就是7號位置。換句話說，可以把空位置可以看作是大于參賽隊數(shù)的種子號碼，這樣，如果某位置上依據(jù)根種子原理排位的種子號碼大于參賽隊數(shù)，那么，就可判定該位置為空位。

對于多場淘汰賽來說，其編排實質(zhì)就是單淘汰賽，只是在決定勝負的時候不是以一場來決定，而是要進行多場比賽，這就好比是一場比賽是由多“局”來決定勝負一樣，如排球等項目。

2 交叉淘汰賽位置編排方法

所謂交叉淘汰賽，實際就是淘汰賽，只是在位置編排上采用交叉排位。例如，同組前四名交叉淘汰，1234位置號碼對應(yīng)的前四名（種子號碼）是1423；又如，兩組前兩名交叉淘汰，1234位置號碼對應(yīng)的兩組前兩名（種子號碼）1A2B2A1B。勝隊爭冠亞軍，負隊爭三四名。

假設(shè)我們把分組看成是有序的（我們在循環(huán)賽種子分組時就有采用按組序蛇形分組），我們按“名次”＋“組序”組合排序，可以得到象1A、1B、2A、2B這樣的序列，我們可以把這個序列看成是種子序列1234，然后，我們采用根種子位置編排方法來排位，可以看到，排位的結(jié)果與交叉排位是相同的。這就證明交叉排位實際就是遵循著“跟種子原理”。

3 單淘汰附加賽

單淘汰賽只能判別前兩名。在單淘汰賽失敗的隊，可以有附加賽，以判別所有隊名次。由于沒有附加賽計算方法，所以，我們可以把單淘汰賽附加賽分解成多個單淘汰賽組，而每個單淘汰賽組我們都有計算方法，這樣，我們就能計算單淘汰附加賽了。

按單淘汰賽失敗輪次進行分組，把每輪淘汰的隊數(shù)再組成單淘汰賽組，直到只淘汰一個隊時不再分組，單淘汰賽有n輪就分n－1組，在n－1組中，每個組又按輪次淘汰分組，依此類推，共可分2n／2個組。每個組的組別就是“名次修正值”，名次修正值＝淘汰時所在組的名次修正值＋淘汰時該輪所淘汰的隊數(shù)，每個組都有一個唯一的名次修正值（參見圖2單淘汰附加賽比賽輪次表）。

圖2 單淘汰附加賽比賽輪次表

最初的單淘汰賽“本賽組”的名次修正值是0，說明該組單淘汰賽能夠判別的前兩名就是實際前兩名；本賽組第一輪淘汰2n／2個隊，名次修正值（組）就等于0＋2n／2，說明該組單淘汰賽最后產(chǎn)生的前兩名還需要加上0＋2n／2修正值才是其實際名次；本賽組第二輪淘汰2n／2／2個隊，名次修正值（組）就等于0＋2n／2／2，說明該組單淘汰賽最后產(chǎn)生的前兩名還需要加上0＋2n／2／2修正值才是其實際名次。依此類推。

可以通過“組別＋組場序”來唯一確定一場比賽，因為每個組的場序也是唯一的，那么，每場比賽勝負的隊，勝隊用W表示，負隊用L表示，這樣我們就可以用“組別＋組場序＋勝負”編碼來唯一表示“進級隊”。

4 雙敗淘汰賽編排方法

雙敗淘汰賽是為了給單淘汰賽失敗的隊增加一次機會，采用失敗兩場才被淘汰的比賽辦法。對此，我們同樣可以依照單淘汰附加賽的分組辦法，采用按失敗輪次進行分組，形成多個單淘汰賽組來尋求編排算法。不同的是，由于每個單淘汰賽組并不能產(chǎn)生最終名次，所以，對各個單淘汰賽組的第一名還需要編排比賽最終產(chǎn)生出可判別的名次。為此，我們把雙敗淘汰賽依次分成勝組、敗組、梯級挑戰(zhàn)組和決賽組（參見圖3雙敗淘汰賽比賽輪次表）。

勝組就是單淘汰賽“本賽組”，所產(chǎn)生的第一名未輸一場而直接進入決賽組。

敗組是按勝組的輪次順序進行分組，勝組每一輪淘汰的隊組成一個單淘汰賽組。由于勝組最后一輪只淘汰一個隊，所以直接成為該組第一，這樣，敗組實際只有n－1個單淘汰賽組，每個敗組又進行單淘汰賽共產(chǎn)生n個敗組第一，n個敗組第一按在勝組淘汰時的輪次序號依次進入梯級挑戰(zhàn)組的對應(yīng)位置。

梯級挑戰(zhàn)組的位置數(shù)正好是勝組輪次數(shù)，比賽輪次為n－1輪，每輪一場比賽，可判別的名次為n名。挑戰(zhàn)順序按位置序號是從第1位開始向第2位挑戰(zhàn)，直到挑戰(zhàn)第n位，因此，梯級挑戰(zhàn)組第n－1輪產(chǎn)生的勝隊為該組第一名進入決賽組。

決賽組只有兩個隊，一個是勝組第一，另一個是梯級挑戰(zhàn)組第一。如果是梯級挑戰(zhàn)組第一獲勝，按以往理論要附加一場比賽。但是，從梯級挑戰(zhàn)賽的角度來看，決賽組就是梯級挑戰(zhàn)賽的最后一輪，所以沒有必要附加一場比賽，且附加一場比賽只會帶來組織上和預(yù)算上的困難。

圖3 雙敗淘汰賽比賽輪次表

雙敗淘汰賽方法是一種復(fù)合方法，其中包含單淘汰賽和梯級挑戰(zhàn)賽兩種方法。雙敗淘汰賽總輪次數(shù)為2n，即勝組輪次＋梯級挑戰(zhàn)組輪次＋決賽組輪次?？倛龃螖?shù)為2（N－1），即勝組場次＋敗組場次＋梯級挑戰(zhàn)組場次＋決賽組場次。可判別名次為n＋1名。在表示“進級隊”時，同樣可采用單淘汰附加賽的編碼方法，即“組別＋組場序＋勝負”編碼來唯一表示。

在上述對淘汰賽編排方法的描述中，我們主要提出了兩個算法，一個是“根種子”位置編排算法；另一個是“分組編碼”算法。通過這兩個算法我們解決了以往“查表法”和“框圖法”所存在的問題。當(dāng)然，我們的水平有限，算法中難免存在一些問題，希望大家給予指出，我們將進一步加以改進。

[1]郭玉佩.籃球競賽裁判手冊[M].北京：人民體育出版社，1999.

[2]王蒲，等.淘汰制競賽的“輪空”問題研究[J].中國體育科技，2000，36（1）.

[3]許滸，等.對國際國內(nèi)模糊狀態(tài)下的編組與排號定位之探究[J].中國體育科技，2005，41（3）.

[4]成登榮.完善雙淘汰制的再探討[J].北京體育大學(xué)學(xué)報，1999，22（4）.

[5]方加艷.談?wù)剬﹄p淘汰賽的認識[J].中國學(xué)校體育，1999，（3）.

[6]趙伏生.乒乓球競賽規(guī)則中關(guān)于淘汰賽種子號碼位置計算方法的探討[J].濰坊學(xué)院學(xué)報，2003，3（4）.

[7]王斌.淺談運動競賽編排中的排位順序[J].山西師大體育學(xué)院學(xué)報，2006，21（z1）.

[8]吳飚.在體育競賽編排中根種子原理的算法[J].長沙鐵道學(xué)院學(xué)報（社會科學(xué)版），2006，7（4）.

[9]董東風(fēng)，等.雙淘汰賽輪次編排研究[J].企業(yè)家天地，2008，（5）.