于兆吉， 胡祥培， 毛 強(qiáng)

（1.大連理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，遼寧大連 116024；2.東北大學(xué)管理學(xué)院，遼寧沈陽 110819）

0 引 言

模糊模式識別分為個(gè)體識別和群體識別，在信用等級識別中，由于考慮多個(gè)評價(jià)屬性，在進(jìn)行模式識別時(shí)，被識別的對象不是論域中一個(gè)確定元素，而是論域中的一個(gè)模糊子集，所涉及的不是元素對集合的隸屬關(guān)系，而是兩個(gè)模糊子集間的貼近度，此時(shí)必須采用群體識別方法，即模糊貼近度方法.貼近度是對兩個(gè)模糊子集接近程度的一種度量，目前關(guān)于模糊貼近度的定義很多［1、2］，其運(yùn)用應(yīng)視具體情況而定.

模糊貼近度與包含度是模糊集理論中兩個(gè)非?；竞椭匾母拍?模糊貼近度反映了兩個(gè)模糊子集的貼近程度；而模糊包含度反映了一個(gè)模糊子集包含于另一個(gè)模糊子集的程度.這兩個(gè)概念密不可分，兩者的相互關(guān)系引起許多學(xué)者的研究興趣.文獻(xiàn)［3］給出了貼近度的一般化定義，文獻(xiàn)［4］給出了包含度的公理化定義，文獻(xiàn)［5］對貼近度與包含度概念進(jìn)行了初步總結(jié)，文獻(xiàn)［6］討論了6個(gè)包含度公式.本文在這些研究工作的基礎(chǔ)上提出一種包含度計(jì)算公式，并由其誘導(dǎo)出一種新型貼近度計(jì)算公式.

模糊優(yōu)化方法已被用于工業(yè)過程的控制等方面并取得很大成功［7］，目前在經(jīng)濟(jì)管理中也逐漸得到重視［8、9］.然而，非線性模糊規(guī)劃在信用風(fēng)險(xiǎn)控制方面的研究卻較為缺乏.本文運(yùn)用誘導(dǎo)出的新型貼近度計(jì)算公式，進(jìn)行信用評價(jià)，進(jìn)一步研究求解信貸模糊非線性規(guī)劃的一種內(nèi)點(diǎn)算法，并分析該算法的收斂性.

1 貼近度的計(jì)算

1.1 模糊向量的構(gòu)建

設(shè)論域U＝｛u1，u2，…，un｝，即有n個(gè)信用評價(jià)屬性.設(shè)各企業(yè)信用評價(jià)屬性向量組成的集合Y＝｛y1，y2，…，y m｝，m為企業(yè)的個(gè)數(shù).其中y i＝（y i1y i2…y in），i＝1，2，…，m.對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，得到r i＝（ri1ri2…rin）.其中rij的計(jì)算如式（1）所示，Φ1為信用評價(jià)正指標(biāo)或?qū)傩越M成的集合，Φ2為信用評價(jià)逆指標(biāo)或?qū)傩越M成的集合，Φ3為信用評價(jià)趨近指標(biāo)或?qū)傩越M成的集合，y＊j為信用評價(jià)指標(biāo)或?qū)傩詊的最理想值.

令＝max｛r1j，r2j，…，rmj｝，j＝1，2…，n.可得由各信用評價(jià)屬性的理想數(shù)值組成的向量R＊＝…）.對于任一企業(yè)i的信用評價(jià)屬性向量r i＝（ri1ri2…rin），可計(jì)算出它與各信用評價(jià)屬性的理想值的相對隸屬度如下式：

1.2 貼近度公式的誘導(dǎo)

定義1［3］實(shí)函數(shù)s：F（U）×F（U）→［0，1］叫F（U）上的貼近度，若s滿足以下4條：

由式（3）計(jì)算出的貼近度在考慮單屬性時(shí)，滿足貼近度定義的4個(gè)條件，但對于諸如信用評價(jià)問題中涉及多個(gè)評價(jià)屬性的模糊向量的貼近度的計(jì)算會出現(xiàn)不滿足條件（iii）的情況.例如＝（0.2 0.4 0.5），s（）＝0.5.顯然，不滿足條件（iii），這與實(shí)際也極為不符，因此需對該貼近度定義進(jìn)行改進(jìn)，才可用于信用評價(jià).

文獻(xiàn)［3］給出了Hamming貼近度的離散形式的定義，如式（4）所示.該定義符合貼近度的公理化定義，但該定義沒有考慮到各個(gè)不同屬性對于評價(jià)兩個(gè)模糊向量貼近度的權(quán)重.

在模糊理論中，貼近度與包含度之間具有相互誘導(dǎo)的關(guān)系［5］，同時(shí)考慮到包含度對涉及多屬性的模糊向量評價(jià)的適應(yīng)性，在此，借助包含度的思想誘導(dǎo)出貼近度的計(jì)算公式.模糊包含度的公理化定義如下：

由此誘導(dǎo)出的兩個(gè)貼近度公式既滿足貼近度的公理化定義，又考慮了不同屬性權(quán)重的大小，適用于諸如信用多屬性評價(jià)一類問題的處理.通過式（6）可以計(jì)算出任意兩個(gè)企業(yè)間的信用貼近度，也可根據(jù)式（7）計(jì)算出每個(gè)企業(yè)的信用模糊向量與最理想的信用模糊向量之間的貼近度.設(shè)為企業(yè)i的信用模糊向量，i＝1，2，…，m為第v信用等級的屬性模糊向量，v＝1，2，…，q，即信用等級共分為q個(gè).則可求出企業(yè)i關(guān)于各個(gè)信用等級的模糊向量貼近度的函數(shù)，如下式所示：

2 模糊非線性規(guī)劃模型的內(nèi)點(diǎn)算法

基于包含度誘導(dǎo)出來的企業(yè)i關(guān)于各個(gè)信用等級的模糊向量貼近度的函數(shù)h（si），將為如下模糊非線性規(guī)劃（模型（9））提供重要信息，特別是其中的信貸模糊約束.

考慮到銀行信貸的目標(biāo)與約束的實(shí)際，可建立如下模糊非線性規(guī)劃模型進(jìn)行優(yōu)化：

模型（9）中的目標(biāo)函數(shù)根據(jù)實(shí)際要求可以選取收益最高、風(fēng)險(xiǎn)最低、機(jī)會損失最低等目標(biāo)；其中第1個(gè)約束為信貸問題涉及到的非模糊約束，第2個(gè)約束為信貸模糊約束，函數(shù)h（si）為其提供大量信息，各企業(yè)關(guān)于各個(gè)信用等級的模糊向量貼近度函數(shù)h（si）（i＝1，2，…，m）的函數(shù)值不同，直接影響各企業(yè)對其貸款額約束條件限制的程度.對模糊約束的隸屬函數(shù)定義如下：

在求解之前，應(yīng)先對其進(jìn)行處理，將模糊問題清晰化.借鑒文獻(xiàn)［10］中提出的方法，在約束集的α－截集水平下，滿足對i，有（x i）≥α，則模型（9）中的第2個(gè)約束可轉(zhuǎn)換為

針對上述模糊非線性模型，給出一種改進(jìn)的內(nèi)點(diǎn)算法，具體步驟如下：

步驟1 取λ1＞0（這里取λ1＝1），允許誤差ε＞0.

步驟2 找一可行內(nèi)點(diǎn)X（0）∈R0，令k＝1，t＝1，αt＝1.R0＝｛X｜g1（X）≤b1，g2（X）≤b2＋（1－αt）h（si）b2，X≥0，i＝1，2，…，m｝.

步驟3 構(gòu)造障礙函數(shù)，如下式所示：

步驟4 以X（k－1）∈R0為初始點(diǎn)，在R0內(nèi)對障礙函數(shù)進(jìn)行無約束極小化，如下式所示：

步驟5 依據(jù)式（14）檢驗(yàn)是否滿足收斂準(zhǔn)則，若滿足，則以X（k）為原問題的近似最優(yōu)解，停止；否則到步驟6.

步驟6 取λk＋1＜λk（這里取λk＋1＝λk／5），令k＝k＋1，轉(zhuǎn)向步驟3繼續(xù)迭代，若仍得不到近似最優(yōu)解，到步驟7.

步驟7 取αt＋1＝αt－ξ（這里取ξ＝0.25），令t＝t＋1，轉(zhuǎn)向步驟3繼續(xù)迭代.

3 算法的收斂性

非線性規(guī)劃問題內(nèi)點(diǎn)算法及其收斂性已得到了深入的研究，如文獻(xiàn)［11］建立了相應(yīng)于模型（9）中未考慮模糊約束的兩種形式的內(nèi)點(diǎn)算法，并且從理論上證明了在一般的非線性規(guī)劃問題假設(shè)條件下，這兩種形式分別具有局部收斂性和全局收斂性結(jié)果.文獻(xiàn)［12］建立了一個(gè)求解模型（9）中未考慮模糊約束的內(nèi)點(diǎn)勢減算法，從理論上證明了該算法產(chǎn)生的序列全局收斂于模型（9）中未考慮模糊約束的KKT點(diǎn).本文所提出的內(nèi)點(diǎn)算法的收斂性證明只需將模型（9）中模糊約束替換為式（11）即可參照文獻(xiàn)［11］證得.

4 算 例

某銀行對企業(yè)進(jìn)行的信用評價(jià)有4個(gè)信用評價(jià)屬性（資產(chǎn)負(fù)債率、流動比率、債務(wù)如期償還率、利潤率），本月共有3個(gè)企業(yè)申請貸款.運(yùn)用式（1）與（2）對3個(gè)企業(yè)在4個(gè)信用評價(jià)屬性下進(jìn)行模糊化處理，得到3個(gè)企業(yè)的信用模糊向量分別為＝ （1 1 0.85 1），＝ （0 0.7 1 0.75），＝（0.5 0 0 0）.若信用等級分3級＝（1 1 1 1）＝（0.5 0.5 0.5 0.5），＝（0 0 0 0），4個(gè)信用評價(jià)屬性的權(quán)重分別為0.3、0.2、0.3、0.2.

又已知本月銀行的信貸總額度為5 000萬元，對信用等級模糊向量貼近度h（si）區(qū)間為［0.8，1］、［0.7，0.8）、［0.5，0.6）的貸款額度一般以2 000萬元為上限基本數(shù).模糊非線性規(guī)劃模型（9）清晰化后可轉(zhuǎn)化為如下模型（式（15）），其目標(biāo)函數(shù)由3個(gè)公司的風(fēng)險(xiǎn)與銀行利息收益比值之和構(gòu)成，即體現(xiàn)銀行信貸追求的風(fēng)險(xiǎn)最小、收益最大的目標(biāo)，其中0.05為銀行的基本利率，由于各公司的信用等級h（si）不同，實(shí)際貸款利率需用系數(shù)2－h(huán)（si）調(diào)整.

應(yīng)用內(nèi)點(diǎn)算法求得α＝0.75，f＝0.008 147，x1＝1 555，x2＝1 585，x3＝1 860.從結(jié)果中可以看出，雖然企業(yè)3的信用級別并不如企業(yè)1與企業(yè)2，但企業(yè)3貸款時(shí)，銀行制定的貸款利率要高于前兩個(gè)企業(yè)，在一定程度上回避了風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)企業(yè)3的信用等級達(dá)到貸款的最低信用等級要求（上文設(shè)定的h（si）＞0.5），可以考慮適當(dāng)給予企業(yè)3較多的貸款，由此，銀行可以獲得較高的收益.

5 結(jié) 論

模糊理論和方法與經(jīng)典的非線性規(guī)劃模型相結(jié)合，一方面能夠提升復(fù)雜優(yōu)化問題的模糊性描述的柔性，另一方面能夠確保問題求解的精確性，兩者優(yōu)勢互補(bǔ)，無論在理論上還是在實(shí)踐中，都具有潛在的研究價(jià)值.模糊貼近度與模糊包含度間具有密切關(guān)系，通過模糊包含度可以誘導(dǎo)出模糊貼近度.本文提出了基于貼近度的模糊非線性規(guī)劃模型，可以實(shí)現(xiàn)對于諸如信貸優(yōu)化等復(fù)雜問題的科學(xué)化描述，其求解的內(nèi)點(diǎn)算法的收斂性得以證明.算例的應(yīng)用結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提出的基于貼近度的模糊非線性信貸優(yōu)化模型及算法的有效性.

［1］常大勇，張麗麗.經(jīng)濟(jì)管理中的模糊數(shù)學(xué)方法［M］.北京：北京經(jīng)濟(jì)學(xué)院出版社，1995：53－65

［2］溫熙森.模式識別與狀態(tài)監(jiān)測［M］.長沙：國防科技大學(xué)出版社，1997：55－59

［3］LIU Xue－cheng.Entropy distance measure and similarity measure of fuzzy sets and their relations［J］.Fuzzy Sets and Systems，1992，52（3）：305－318

［4］FAN Jiu－lun，XIE Wei－xin，PEI Ji－h(huán)ong.Subsethood measures：new definitions［J］.Fuzzy Sets and Systems，1999，106（3）：201－209

［5］范九倫.模糊熵理論［M］.西安：西北大學(xué)出版社，1999：83－86

［6］范九倫，吳成茂.用于聚類有效性判定的包含度公式［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002，16（1）：80－86

［7］岳士弘，李 平.一類廣義模糊控制系統(tǒng)及其特征［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，26（3）：487－494

［8］吳柏林，林玉鈞.模糊時(shí)間序列的分析與預(yù)測：以臺灣地區(qū)加權(quán)指數(shù)為例［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，25（1）：67－76

［9］莊新路，莊新田，黃小原.基于VAR風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)的投資組合模糊優(yōu)化［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2003，33（3）：35－40

［10］方述誠，汪定偉.模糊數(shù)學(xué)與模糊優(yōu)化［M］.北京：科學(xué)出版社，1997：72－75

［11］EL－BAKRY A S，TAPA R A，TSUCHIYA T，etal.On the formulation and theory of the Newton interior－point method for nonlinear programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1996，89（3）：507－541

［12］賀素香.非線性規(guī)劃問題的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)勢減算法的全局收斂性［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2004，31（3）：250－252，266