孫德安， 段 博， 甄文戰(zhàn)

(上海大學(xué)土木工程系，上海200072)

土體應(yīng)變局部化最常見的現(xiàn)象就是巖土工程中宏觀剪切帶的出現(xiàn).實(shí)際工程中，基坑坍塌、山體滑坡、地基失穩(wěn)破壞等具有共同的破壞機(jī)理，即土體在特定的外荷載作用下產(chǎn)生局部變形，伴隨著應(yīng)變局部化的發(fā)展逐漸形成剪切帶，最后導(dǎo)致失穩(wěn)破壞.因此，研究土體應(yīng)變局部化的形成和發(fā)展對(duì)評(píng)價(jià)和預(yù)防各類工程事故具有重要意義.

巖土材料應(yīng)變局部化觸發(fā)剪切帶的現(xiàn)象早已在室內(nèi)試驗(yàn)中觀察到.例如，文獻(xiàn)［1-3］通過真三軸試驗(yàn)，分析了應(yīng)力狀態(tài)對(duì)砂土變形局部化的影響，研究了砂在不同應(yīng)力路徑下的分叉特性;Khalid等［4］對(duì)黏性土局部化分叉進(jìn)行了平面應(yīng)變及軸對(duì)稱條件下的試驗(yàn)研究.另外，從理論上對(duì)材料局部化分叉加以分析也越來越受到重視.Rudnicki等［5］和Vardoulakis等［6］針對(duì)不同性質(zhì)巖土材料提出了應(yīng)變局部化準(zhǔn)則;Anand等［7-8］應(yīng)用分叉理論研究了平面應(yīng)變條件下彈塑性材料的初始剪切帶行為;錢建固等［9］理論推導(dǎo)了平面應(yīng)變條件下Mohr-Coulomb彈塑性模型局部化分叉的理論解.隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的迅速發(fā)展，數(shù)值模擬為巖土材料應(yīng)變局部化研究提供了一個(gè)有利途徑，其中Huang等［10］采用亞塑性本構(gòu)模型研究了砂的剪切帶問題;徐連民等［11-12］采用高精度歐拉向后應(yīng)力積分算法，模擬分析了平面應(yīng)變時(shí)正常固結(jié)土和超固結(jié)土剪切帶的形成過程.

本工作主要針對(duì)基于伏斯列夫(Hvorslev)面超固結(jié)黏土三維彈塑性本構(gòu)模型［13-14］，推導(dǎo)平面應(yīng)變條件下局部化分叉理論解，并據(jù)此理論解給出常平均主應(yīng)力和常最小主應(yīng)力平面應(yīng)變條件下黏土局部化分叉的理論預(yù)測(cè);然后，采用與文獻(xiàn)［15］相似的方法，編寫材料子程序，把基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型嵌入到大型非線性有限元軟件ABAQUS中，并在平面應(yīng)變路徑下對(duì)局部化分叉問題進(jìn)行數(shù)值分析、計(jì)算，給出分叉點(diǎn)的數(shù)值解;最后，對(duì)比分析分叉點(diǎn)的數(shù)值解和理論解，驗(yàn)證理論推導(dǎo)的可靠性.

1 超固結(jié)黏土本構(gòu)模型

本構(gòu)模型的彈塑性矩陣在很大程度上決定了應(yīng)變局部化的形成與發(fā)展.由于復(fù)雜的生成條件和地質(zhì)歷史作用，超固結(jié)土體受到的前期固結(jié)壓力大于當(dāng)前的固結(jié)壓力時(shí)，其力學(xué)特性不同于正常固結(jié)土，主要表現(xiàn)為低孔隙率、強(qiáng)度高、壓縮性小、具有剪脹和應(yīng)變軟化等變形特性.因此，合理選擇既能反映應(yīng)變局部化的變形特點(diǎn)，又能反映土體在數(shù)值模擬中的漸進(jìn)性破壞的超固結(jié)土本構(gòu)模型，顯得尤為重要.

本工作采用姚仰平等［13-14］提出的基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維彈塑性本構(gòu)模型，該模型可以反映土體硬化、軟化、剪縮及剪脹等變形特性.通過變換應(yīng)力的方法［16］將SMP(spatially mobilized plane)準(zhǔn)則與該模型相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)該模型的三維化，從而可以合理地反映土體在三維應(yīng)力下的變形和強(qiáng)度特性，并且三維化后模型的塑性流動(dòng)方向與屈服面不正交，為非相關(guān)聯(lián)本構(gòu)模型.模型的屈服函數(shù)表達(dá)式為

式中，

H為硬化參數(shù)，λ為壓縮指數(shù)，κ為回彈指數(shù)，e0為初始孔隙比，為塑性體積應(yīng)變，M為臨界狀態(tài)時(shí)的應(yīng)力比，Mf為潛在強(qiáng)度，為變換應(yīng)力空間中對(duì)應(yīng)的應(yīng)力比，及分別為變換應(yīng)力空間中對(duì)應(yīng)的初始平均應(yīng)力、平均應(yīng)力及廣義剪應(yīng)力，為變換應(yīng)力空間中對(duì)應(yīng)的前期固結(jié)壓力，R為超固結(jié)參數(shù).

2 平面應(yīng)變局部化分叉解析

應(yīng)變局部化現(xiàn)象是材料失穩(wěn)破壞的先兆，它的發(fā)生點(diǎn)對(duì)應(yīng)于材料的局部化分叉點(diǎn)，而分叉點(diǎn)的預(yù)測(cè)又強(qiáng)烈依賴于本構(gòu)模型的彈塑性矩陣.基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型能夠合理描述黏土材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、硬化、軟化、剪縮及剪脹等變形特性，并且能夠合理預(yù)測(cè)應(yīng)變局部化的發(fā)生.以下就該模型采用Rudnicki等［5］提出的聲學(xué)張量法對(duì)平面應(yīng)變條件下的局部化分叉進(jìn)行解析(見圖1).

圖1 剪切帶示意圖Fig.1 Chart of shear bands

聲學(xué)張量法認(rèn)為：均質(zhì)各向同性的材料，在應(yīng)變局部化平面P上的速度場(chǎng)保持連續(xù)，而速度梯度場(chǎng)產(chǎn)生跳躍，且速度及速度梯度方向在P面內(nèi)保持均勻.因此，有

由

可知

因速度梯度場(chǎng)產(chǎn)生跳躍，則有

式中，εi，j和ε·i，j分別為應(yīng)變張量和應(yīng)變率張量，ui為位移張量.

剪切帶邊界上還滿足靜力平衡邊界條件，即

把式(9)代入式(10)，得

若應(yīng)變局部化發(fā)生，則分叉條件表示為

對(duì)于平面應(yīng)變問題，有

則分叉的表達(dá)式為

式中，

若材料發(fā)生平面應(yīng)變局部化分叉，則式(14)有實(shí)數(shù)解.由根的判別式，可知

剪切帶法線傾角為

本工作采用的基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型的彈塑性矩陣為

式中，

其中p為平均主應(yīng)力，δij為Kronecker張量，ν為泊松比，I1，I2及I3為第一、第二和第三應(yīng)力不變量，skl為偏應(yīng)力張量.

用式(17)中的彈塑性矩陣Dijkl替換式(12)中的，得到的式(15)和(16)即為基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型開始觸發(fā)平面應(yīng)變分叉的必要條件和相應(yīng)剪切帶法線傾角表達(dá)式.

基于本工作中推導(dǎo)的關(guān)于基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型在平面應(yīng)變條件下的局部化分叉理論解，下面給出藤森黏土［13-14］局部化分叉的理論預(yù)測(cè).藤森黏土的材料特性參數(shù)如表1所示.

表1 藤森黏土的模型參數(shù)Table 1 Model parameters for Fujinomori clay

根據(jù)表1的參數(shù)值，可以預(yù)測(cè)常最小主應(yīng)力條件下不同超固結(jié)比(over-consolidation ratio，OCR)時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和相應(yīng)的應(yīng)力比峰值時(shí)的應(yīng)變.圖2給出了最小主應(yīng)力為200 kPa時(shí)平面應(yīng)變條件下不同超固結(jié)比藤森黏土的理論解分叉點(diǎn)和峰值點(diǎn)，其中縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)最大主應(yīng)變.可以看出，不同超固結(jié)比土體的局部化分叉均發(fā)生在應(yīng)力應(yīng)變塑性硬化階段，即各分叉點(diǎn)皆在對(duì)應(yīng)的峰值點(diǎn)之前;并且超固結(jié)比越大，分叉點(diǎn)越接近峰值點(diǎn).

圖3從理論上分析了最小主應(yīng)力為200 kPa時(shí)，平面應(yīng)變條件下不同超固結(jié)比對(duì)剪切帶傾角α的影響，α=90°-θ，其中θ為剪切帶法線傾角(見圖1).由圖3可知，當(dāng)OCR為2時(shí)，剪切帶傾角α=47.70°，當(dāng)OCR為12時(shí)，θ=51.51°;隨著OCR值增大，局部化分叉觸發(fā)的剪切帶傾角呈現(xiàn)緩慢增大的趨勢(shì).

圖2 平面應(yīng)變下不同超固結(jié)比的藤森黏土的分叉理論解Fig.2 Analytical solutions for bifurcation of Fujinomori clay with different OCRs under plane strain condition

圖3 不同超固結(jié)比的藤森黏土的剪切帶傾角Fig.3 Inclination angles of shear band on Fujinomori clay with different OCRs

圖4為理論預(yù)測(cè)的平均主應(yīng)力為200 kPa時(shí)，平面應(yīng)變條件下剪切帶傾角α隨最大主應(yīng)變?chǔ)?變化的過程.當(dāng)ε1=0～0.9%時(shí)，局部化不明顯，沒能形成剪切帶;在ε1=0.9%～2.5%時(shí)，開始形成明顯的應(yīng)變局部化平面，且其傾角從產(chǎn)生就開始隨著最大主應(yīng)變的增加而顯著減小;局部化繼續(xù)發(fā)展，應(yīng)變局部化平面傾角趨于穩(wěn)定，直至ε1=2.9%時(shí)，發(fā)生分叉，應(yīng)變局部化平面轉(zhuǎn)變?yōu)槊黠@的剪切帶.可以看出，分叉發(fā)生后，剪切帶傾角α減小很緩慢，趨于穩(wěn)定.

3 平面應(yīng)變分叉數(shù)值預(yù)測(cè)

3.1 數(shù)值解析條件

為驗(yàn)證本工作推導(dǎo)的局部化分叉理論解的可靠性，采用與文獻(xiàn)［15］相似的方法編寫材料子程序，把基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維本構(gòu)模型嵌入到大型非線性有限元軟件ABAQUS中，并對(duì)超固結(jié)黏土在平面應(yīng)變條件下的局部化分叉問題進(jìn)行數(shù)值預(yù)測(cè)分析.在計(jì)算過程中，因整體剛度矩陣出現(xiàn)奇異，即負(fù)特征值，導(dǎo)致計(jì)算停止.負(fù)特征值表示在應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線的硬化階段出現(xiàn)負(fù)斜率，與原應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不同，控制偏微分方程由橢圓型變?yōu)殡p曲線型，即分叉.從數(shù)學(xué)上分析，負(fù)特征值意味著剛度矩陣不正定，方程組存在多組解，從而可求得負(fù)特征值出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力所在位置，即為數(shù)值計(jì)算的分叉點(diǎn).

圖4 最大主應(yīng)變與剪切帶傾角的關(guān)系Fig.4 Relationship between maximum principal strain and inclination angle of shear band

材料的失穩(wěn)分叉分為彌散連續(xù)分叉和不連續(xù)失穩(wěn)分叉，前者指失穩(wěn)不是以出現(xiàn)明顯的不連續(xù)帶為標(biāo)志，而是由大量彌散分布的微破壞構(gòu)成導(dǎo)致的.研究認(rèn)為，這種分叉對(duì)應(yīng)于材料控制方程橢圓性的喪失，即切線剛度矩陣出現(xiàn)奇異，det(Dep)=0.本工作中數(shù)值分析時(shí)涉及的分叉就屬于彌散連續(xù)分叉.不連續(xù)分叉指宏觀上發(fā)生分叉，即出現(xiàn)不連續(xù)剪切帶，在剪切帶上應(yīng)變場(chǎng)產(chǎn)生跳躍，即det(nDepn)=0.本工作在理論上給出了不連續(xù)分叉的解.不連續(xù)分叉在彌散連續(xù)分叉的基礎(chǔ)上考慮了剪切帶方向的影響，二者結(jié)果相差不會(huì)很大.如果本構(gòu)模型為關(guān)聯(lián)，則彌散連續(xù)分叉解對(duì)應(yīng)的硬化模量大于或等于不連續(xù)分叉解對(duì)應(yīng)的硬化模量，則不連續(xù)分叉先于彌散連續(xù)分叉出現(xiàn);而對(duì)非關(guān)聯(lián)模型，彌散連續(xù)分叉解對(duì)應(yīng)的硬化模量可能大于、小于或等于不連續(xù)分叉解對(duì)應(yīng)的硬化模量，則彌散連續(xù)分叉有可能先于或落后于不連續(xù)分叉的出現(xiàn).

因?yàn)閼?yīng)變局部化是材料隨著均勻加載由均勻變形場(chǎng)過渡到非均勻變形場(chǎng)的一個(gè)現(xiàn)象，所以初始均勻各向同性材料就成為本工作數(shù)值研究的對(duì)象.這里，分析對(duì)象為邊長(zhǎng)10 cm的均勻各向同性立方體，采用8節(jié)點(diǎn)六面體線性完全積分單元類型，將試樣劃分為2 744個(gè)單元，有限元網(wǎng)格劃分如圖5所示.坐標(biāo)軸x方向設(shè)為最大主應(yīng)力方向，在x方向上，設(shè)定試樣上下兩端面光滑，給上端面施加豎向強(qiáng)制位移;剪切過程中固定住y方向上兩端面在y方向上的位移，同時(shí)固定下端面在x方向;z方向?yàn)閼?yīng)力邊界.試樣假定為藤森黏土，本構(gòu)模型參數(shù)如表1所示.

圖5 有限元網(wǎng)格Fig.5 Meshes for finite element analysis

3.2 結(jié)果分析

圖6為數(shù)值模擬平面應(yīng)變條件下的2條不同的應(yīng)力路徑，分別為常最小主應(yīng)力(σ3=200 kPa)和常平均主應(yīng)力(p=200 kPa).

圖6 應(yīng)力路徑Fig.6 Stress path

圖7為2條不同應(yīng)力路徑的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，σ1/σ3為最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之比.圖中對(duì)比了理論解分叉點(diǎn)與數(shù)值解分叉點(diǎn).當(dāng)σ3=200 kPa時(shí)，理論解分叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大主應(yīng)變?yōu)?.4%，峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.1%，數(shù)值解分叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.9%;當(dāng)p=200 kPa時(shí)，峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.6%，理論解分叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.9%，數(shù)值解分叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大主應(yīng)變?yōu)?.7%.上述結(jié)果表明，基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維彈塑性本構(gòu)模型，在常最小主應(yīng)力和常平均主應(yīng)力的剪切應(yīng)力路徑下，應(yīng)變局部化分叉均發(fā)生在土體的應(yīng)變硬化階段.

圖7 主應(yīng)變和應(yīng)力比的關(guān)系Fig.7 Relationship between principal strain and stress ratio

圖8給出了在σ3=200 kPa時(shí)，平面應(yīng)變條件下不同超固結(jié)比的藤森黏土應(yīng)變局部化分叉理論解與數(shù)值解的比較.可以發(fā)現(xiàn)，各超固結(jié)比下土體的數(shù)值解分叉點(diǎn)均發(fā)生在峰值前，進(jìn)一步證實(shí)了平面應(yīng)變條件下土體應(yīng)變局部化發(fā)生在應(yīng)力應(yīng)變塑性硬化階段的理論解結(jié)果(見圖2);并且隨著超固結(jié)比的增大，土體強(qiáng)度越高，數(shù)值解分叉點(diǎn)越接近峰值點(diǎn)，這與理論解分叉點(diǎn)隨固結(jié)比的增長(zhǎng)而接近峰值點(diǎn)的特點(diǎn)吻合得很好.不同應(yīng)力路徑與超固結(jié)比條件下分叉的理論解與數(shù)值解的應(yīng)力比誤差如表2所示，不難看出，二者應(yīng)力比相差較小，這說明了平面應(yīng)變局部化分叉理論解的合理性.

圖8 不同超固結(jié)比的藤森黏土的應(yīng)力比應(yīng)變關(guān)系Fig.8 Stress ratio-strain relationships of Fujinomori clay with different OCRs

表2 局部化分叉理論解和數(shù)值解應(yīng)力比的比較Table 2 Comparison of stress ratio between analytical and numerical solutions for localization bifurcation

4 結(jié)束語

本工作基于聲學(xué)張量法系統(tǒng)地對(duì)基于伏斯列夫面的超固結(jié)黏土三維彈塑性本構(gòu)模型在平面應(yīng)變條件下局部化分叉進(jìn)行了解析，并運(yùn)用理論解對(duì)常最小主應(yīng)力平面應(yīng)變條件下不同超固結(jié)比土體的分叉點(diǎn)和剪切帶傾角進(jìn)行了對(duì)比分析.理論分析表明，超固結(jié)比越大，分叉點(diǎn)發(fā)生得越早，對(duì)應(yīng)的最大主應(yīng)變?cè)叫?，剪切帶傾角越大;同時(shí)理論分析了常平均主應(yīng)力平面應(yīng)變條件下局部化分叉形成的剪切帶的傾角隨最大主應(yīng)變變化的關(guān)系，理論證明了剪切帶形成后，剪切帶傾角隨最大主應(yīng)變?cè)龃笞兓⑿?，趨于穩(wěn)定;最后，本工作借助非線性有限元軟件ABAQUS分別在常最小主應(yīng)力和常平均主應(yīng)力平面應(yīng)變條件下對(duì)局部化分叉進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，得出了分叉點(diǎn)數(shù)值解與理論解基本一致的結(jié)論，從而驗(yàn)證了平面應(yīng)變條件下局部化分叉理論解的可靠性.

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