李春江，盧鐵斌，章躍進

(上海大學，上海200072)

0 引 言

直驅式外轉子電機具有轉速低、轉矩大、磁極較多等特點，將電機與負載直接相連，省去變速齒輪箱，同時由于采用永磁體代替電勵磁功率密度增大，不需要滑環(huán)和電刷，使其結構簡單更易于維護，運行更加可靠。采用表面磁鋼式結構無凸極效應，轉矩控制較平穩(wěn)。分數槽技術是減小齒槽定位轉矩的重要方法［1］，定子槽距接近極距，有利于采用單槽集中繞組，工藝較簡單。

永磁電機磁場分析方法主要有解析法和數值方法。文獻［2］較早提出基于極坐標標量磁位表示的表貼式徑向充磁永磁電機的解析法。但解析法在計算開槽磁場時，需要引入根據保角變換得到的復雜的相對磁導函數［3］。數值分析法有邊界元法、有限差分法、有限元法等，尤其以基于加權余量法的伽遼金有限元法使用較為廣泛［4］，目前有限元法研究的熱點為耦合電機電路方程、計及運行時間變化的有限元時步法［5－6］。純粹使用有限元方法計算永磁電機磁場需要對整個電機根據其對稱條件做合理的網格剖分，一次得到的網格與節(jié)點數據量較大，計算時需要解龐大的方程組，計算進程緩慢，且運動時定轉子相對位置改變，氣隙網格質量會變差，需要專門的技術處理。為減少計算時間，方便電機轉動時的磁場計算，文獻［7］提出并驗證了在氣隙磁場使用解析法與在定轉子磁場使用有限元法的結合法的正確性，文獻［8］在標量磁位下進一步將計算區(qū)域縮小到一個等效槽域，利用解析法計算的結果作為等效槽域數值計算的邊界條件，擬合出定轉子鐵心表面磁位的傅里葉分解系數修正開槽影響，文獻［9］和文獻［10］用解析法與差分法結合分別在標量磁位與矢量位下計算了電機的齒槽定位轉矩。

本文是基于上述方法的發(fā)展，在矢量磁位下將四節(jié)點等參數有限元引入擴展槽區(qū)域數值計算，在對槽進行剖分時采用實際槽型，并將永磁體做等效處理，使其與實際情況更加接近。在程序中加入判斷條件，一次運行即可完成任意轉動步長下任意定轉子相對位置時的解析法計算、數值計算場域自動剖分修正、邊界條件給定、場域數值計算與后處理，提高了計算過程的自動化水平。最后根據此方法計算了直驅式外轉子電機的空載感應電勢，并與電機實驗波形對比，驗證了本方法的有效性和正確性。

1 定子未開槽時解析法磁場計算原理

徑向磁化的瓦片式永磁體的磁化強度矢量可以按電機的電角度周期作傅里葉展開式［2］:

首先假設電機不受開槽因素影響，電機未開槽情況下磁場滿足以下極坐標矢量磁位方程:

由分離變量法得到磁場的通解:

其中Rs、Rr、Rm分別為電機內定子鐵軛氣隙表面半徑、轉子鐵軛半徑、永磁體氣隙表面半徑。

可求得 AⅠn，BⅠn，CⅠn，DⅠn，AⅡn，BⅡn，CⅡn，DⅡn表達式，代入通解中，結合不同位置的半徑和角度可得到未開槽時永磁體與氣隙中任一節(jié)點磁位值。

2 擴展槽區(qū)域數值計算

按照槽距寬度將槽和槽上的永磁體、氣隙劃分為一個個擴展槽區(qū)域，擴展槽區(qū)域的個數與電機槽數相同。并將槽上永磁體和氣隙部分劃分成一個氣隙區(qū)域，氣隙區(qū)域是擴展槽區(qū)域的一部分，如圖1所示。

圖1 實際電機部分結構示意與區(qū)域等效模型

四邊形等參數元素有限元法采用含有二次項的雙線性插值函數，比采用線性插值函數的差分法計算在磁場分布較集中區(qū)域精度有所提高，更加適合應用于擴展槽區(qū)域磁場的數值計算。在規(guī)則的擴展槽區(qū)域中采用四邊形剖分較三角形剖分編號處理簡潔，呈現較強的規(guī)律性，因此采用四邊形等參數元素有限元法計算擴展槽區(qū)域的磁場。

按照定子未開槽時解析法磁場計算獲得等效氣隙區(qū)域兩側邊界處的磁位，作為擴展槽區(qū)域數值計算的第一類邊界條件，擴展槽區(qū)域與定轉子鐵軛交界面的自然邊界為第二類邊界條件。對擴展槽區(qū)域進行自動剖分與修正后，節(jié)點與網格信息以非零數據壓縮模式存儲，按網格對節(jié)點的貢獻在程序中自動形成基于等參元差值函數的離散方程組。

2.1 擴展槽區(qū)域自動剖分

本結構采用徑向磁化瓦片式拼圓的外轉子結構，故所有擴展槽區(qū)域的形狀均相同，初次剖分的節(jié)點與網格信息也可以相同，因此只需對一個擴展槽區(qū)域進行初次剖分。以后計算過程中每個擴展槽區(qū)域磁場共同使用一套網格、節(jié)點編號與坐標位置。

在對擴展槽區(qū)域進行四邊形初次剖分時，按照永磁體、氣隙、槽區(qū)進行徑向分段，每段按照磁場的可能分布情況給定不同的網格層數，對槽內區(qū)域和槽口上氣隙與永磁體區(qū)域每層切向等分，將相同的等分點連接，兩側定子齒下部分也分別另行等分，這樣便完成對擴展槽區(qū)域的初次剖分。采用這種剖分方式可以方便地調節(jié)在磁場變化較大的氣隙與槽口部分區(qū)域的網格密度。剖分網格大小的漸進過渡及與正四邊形的近似度取決于每段所分層數和每層的等分點個數。剖分生成的網格編號、節(jié)點編號及節(jié)點坐標位置均具有嚴格的數學上的對應性，便于自動剖分和后續(xù)對永磁體等效面電流邊界做修正及數值計算。

2.2 永磁體等效與網格修正

本文在場域計算中加入了對永磁體等效邊界的處理。當稀土永磁材料在易磁化方向充磁至飽和后，磁體內的等效體電流密度Jm=0，而在與充磁方向平行的永磁體邊界面上等效分布著一層面電流且面電流密度大?。?1］:

式中:υ1為永磁材料磁阻系數;M1為永磁體磁化強度。每個永磁體邊界面等效面電流均應分別給定，如圖2所示。

圖2 永磁體等效面電流分布

永磁體邊界面電流條件等效為第二類邊界條件，在有限元計算中面電流交界面處需強制剖分為網格邊，因此對初次等參元網格剖分做修正。分數槽電機每個擴展槽區(qū)域中永磁體邊界所在位置均不同，由于存在槽數比極數大的情況，在有些擴展槽域中也可能沒有永磁體邊界。在程序中對每個永磁體邊界和擴展槽域邊界編號，根據電機旋轉角度和未轉動前每個永磁體邊與參考中線的相對位置得出每個永磁體邊轉動后的新位置，然后判斷此位置所屬的擴展槽域，計算與此擴展槽域兩邊界的角度差，由角度差判斷所需要修正的網格。比較永磁體邊界位置與此網格左右兩邊的角度差，以永磁體邊界位置作為該網格與其距離最近的邊的新位置，對該網格進行修正，如圖3所示。

圖3 四邊形等參元網格剖分修正

將此邊界條件對節(jié)點的貢獻與擴展槽區(qū)域一般網格對節(jié)點貢獻總體合成為統(tǒng)一的單元剛度矩陣，采用共軛梯度法求解得到區(qū)域中各節(jié)點磁位。

3 磁鏈與感應電勢計算［13］

電機轉動時轉子永磁體和定子槽相對位置改變，定子槽中磁位值隨之變化，繞組中匝鏈磁通的變化，在繞組中產生感應電勢。采用前述方法選定一個較小相對位置變化作為運動時的計算步長，計算每步運動時各擴展槽區(qū)域的磁場分布，計算每個槽磁鏈，按繞組分布求出每相繞組磁鏈，得到轉動位置與每相繞組磁鏈的分布關系，用傅里葉級數將離散點擬合成光滑曲線，結合電機轉動角速度將位置與磁鏈關系轉換為時間與磁鏈的關系，對時間求導即得到每相感應電勢曲線。經過此方法處理可以得到動態(tài)的磁鏈和感應電勢波形曲線。

在對每個小四邊形網格求磁鏈時由于網格被剖分為任意形狀的凸四邊形，不易用統(tǒng)一的公式求面積，將網格劃分為兩個三角形，如圖4所示，并對整體磁鏈公式進行修正。

圖4 剖分網格拆分

屬于某一相的線圈區(qū)域共有k個，屬于繞組正相帶的取“+”號，屬于負相帶的取“－”號，Ai、Aj、Ak、Am為一個單元內四個節(jié)點的磁位，將四邊形單元e分割為三角形e1和e2，Se1和Se2分別為其面積，Swind為一個線圈區(qū)域內所有單元面積之和。N為電機線圈總匝數，a為并聯(lián)支路數，Lef為電機軸向有效長度。式(9)求出的磁鏈ψl為一相繞組在轉子轉動到θl位置時的磁鏈。讓轉子旋轉一個電周期即可得到完整的磁鏈和感應電勢波形。

4 計算實例

三相直驅式分數槽外轉子永磁電機主要參數:極對數11，槽數24，額定功率2 kW，額定轉速950 r/min，內定子外徑165mm，外轉子外徑190mm，內徑166.2mm，氣隙0.6mm，磁鋼高度 4.9mm，磁鋼寬度16.36°，瓦片形磁鋼拚圓結構，徑向充磁，繞線方式集中式單層繞組。繞組分布如圖5所示。

計算過程如圖6所示，只需在計算開始前給定電機基本參數和控制參數，整個計算過程通過軟件自動處理，全程不需人為干預。從圖7中磁力線在永磁體邊界處的分布情況可以看出對永磁體進行面電流等效更加接近電機實際情況，也驗證了對網格剖分進行修正的準確性。對比圖8與圖9的相感應電勢的計算波形和實驗波形可以看出，兩者的波形周期相同，變化趨勢相同，幅值略大于實驗值，滿足工程需要。圖8較圖9諧波分量所占比例有所偏差，這源于在數值計算中將氣隙區(qū)與永磁體區(qū)劃分為同一等效區(qū)域，未對不同材料單獨處理，對槽內計算結果有所影響;以及在轉子轉動到永磁體邊界與擴展槽區(qū)域邊界接近時為保證等參元迭代計算收斂不再對邊界網格進行修正并舍去該永磁體邊界面電流補償，這也將引入諧波;計算中空氣區(qū)域磁場計算未考慮鐵心對其的影響作用，假設鐵心磁導率為無窮大，這與實際磁路飽和情況有差異。

5 結 語

本文在對直驅式分數槽外轉子電機磁場進行解析數值結合法分析中采用實際槽型，將解析法和四邊形等參數有限元計算方法相結合，用解析法取得擴展槽區(qū)域第一類邊界條件，對規(guī)則的擴展槽區(qū)域進行四邊形剖分和等參元計算，實現開槽，這樣就反映了開槽對電機的影響?？紤]了永磁體邊界對磁場的作用，加入邊界面電流對永磁體進行等效。按照永磁體運動及與擴展槽區(qū)域邊界位置變化規(guī)律，實時修正網格形狀，實現轉子以任意步長轉動，所有轉動狀態(tài)的邊界條件加載和磁場計算均在一次運算過程中完成，操作更加方便。將所求得的三相直驅式分數槽外轉子永磁電機感應電勢計算波形與實驗波形進行比較，證明此方法具有可行性，在計算精度方面仍需進一步改進。

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