楊玉維 趙新華 王收軍 徐進(jìn)友 陳 煒

天津理工大學(xué)天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津,300384

基于有限元法的移動(dòng)2桿柔體機(jī)械手動(dòng)力學(xué)仿真

楊玉維 趙新華 王收軍 徐進(jìn)友 陳 煒

天津理工大學(xué)天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津,300384

研究了移動(dòng)2桿柔體機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。該移動(dòng)機(jī)械手由彈性-阻尼懸架輪式移動(dòng)載體和2桿柔體機(jī)械手組成,并假定移動(dòng)載體以恒線(xiàn)速度通過(guò)不規(guī)則路面。綜合采用經(jīng)典有限元法并引入中間單元坐標(biāo)系和浮動(dòng)坐標(biāo)法,以回避由單元?jiǎng)傮w運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的彈性構(gòu)件非零應(yīng)變,從而精確描述機(jī)械手彈性變形與參考運(yùn)動(dòng)間的動(dòng)力學(xué)耦合問(wèn)題。綜合利用拉格朗日原理和牛頓-歐拉方程并在笛卡兒坐標(biāo)系下 ,以簡(jiǎn)潔的矩陣、矢量形式構(gòu)建了該系統(tǒng)的完整動(dòng)力學(xué)模型。采用數(shù)值方法給出了該動(dòng)力學(xué)模型正解的仿真結(jié)果。通過(guò)與剛-柔體模型、剛體模型仿真結(jié)果的比較,證實(shí)該柔體系統(tǒng)存在動(dòng)力學(xué)耦合現(xiàn)象及構(gòu)件彈性振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能有負(fù)面影響。

2桿柔體;移動(dòng)機(jī)械手;有限元法;運(yùn)動(dòng)學(xué);動(dòng)力學(xué);耦合

0 引言

近年來(lái),高速、輕質(zhì)和高精度的移動(dòng)機(jī)械手的研究倍受關(guān)注。由于用于描述由柔性機(jī)械手與具有懸架系統(tǒng)的輪式移動(dòng)載體所組成的移動(dòng)機(jī)械手的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程具有非線(xiàn)性、高耦合性及非完整約束的特點(diǎn),致使推導(dǎo)和求解柔性機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、動(dòng)力學(xué)方程相當(dāng)繁雜。當(dāng)前,研究者對(duì)移動(dòng)機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型的建立與控制顯示出了極大的興趣,然而通常情況下,他們的動(dòng)力學(xué)模型中沒(méi)有考慮懸架的影響,移動(dòng)載體的自由度被悉數(shù)加到機(jī)械手上,該移動(dòng)機(jī)械手被視為冗余度機(jī)械手。Akpan等[1]研究了平面移動(dòng)機(jī)械手性能對(duì)系統(tǒng)參數(shù)如剛度、阻尼、路面粗糙度等的敏感度問(wèn)題;Yu等[2]介紹了一個(gè)用于推導(dǎo)移動(dòng)機(jī)械手動(dòng)力學(xué)的通用方法,定義了移動(dòng)平臺(tái)與機(jī)械手之間的耦合術(shù)語(yǔ),然而這個(gè)移動(dòng)平臺(tái)只能做平面運(yùn)動(dòng),且他們也沒(méi)有考慮構(gòu)件的彈性變形問(wèn)題;Korayem等[3]采用Lagrange法和關(guān)節(jié)坐標(biāo)構(gòu)造了移動(dòng)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型,該模型考慮了機(jī)械手的平面彈性小變形和輪子的非完整約束,但該方法建立在線(xiàn)彈性動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)上,沒(méi)有考慮構(gòu)件彈性變形與構(gòu)件大范圍運(yùn)動(dòng)間動(dòng)力學(xué)耦合問(wèn)題;文獻(xiàn)[4-6]考慮了機(jī)械手的柔性,構(gòu)建了動(dòng)力學(xué)模型,并推導(dǎo)了該移動(dòng)機(jī)械手的最大承受載荷。以上研究工作中的動(dòng)力學(xué)模型皆沒(méi)有包括懸架系統(tǒng)。

文獻(xiàn)[7-8]研究了輪式懸架移動(dòng)機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,但該動(dòng)力學(xué)模型沒(méi)有考慮機(jī)械手的彈性變形問(wèn)題。

經(jīng)典有限元法中,由于梁?jiǎn)卧獮榉堑葏卧?這類(lèi)單元離散后桿件模型做任意剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),單元內(nèi)將導(dǎo)致非零應(yīng)變,從而使構(gòu)建的動(dòng)力學(xué)模型不能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性?；诹?jiǎn)卧秃瘮?shù)可以準(zhǔn)確描述剛體平動(dòng)這一特性[9],本文引入構(gòu)件體坐標(biāo)系(浮動(dòng)坐標(biāo)系)為中間單元坐標(biāo)系,精確構(gòu)建了移動(dòng)2桿柔體機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型(可以精確描述構(gòu)件剛體運(yùn)動(dòng))。該模型綜合考慮了機(jī)械手桿件的彈性變形、移動(dòng)載體的線(xiàn)彈性-阻尼懸架和不平路面等工況。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型分析、推導(dǎo)

圖1 移動(dòng)2桿柔體機(jī)械手

移動(dòng)2桿柔體機(jī)械手由3個(gè)構(gòu)件組成,如圖1所示,其中,Kk、Ck(k=1,2)分別為該移動(dòng)機(jī)械手懸架系統(tǒng)的彈簧剛度和阻尼系數(shù);構(gòu)件1、2、3分別為移動(dòng)載體、機(jī)械手彈性桿件1和彈性桿件2。圖 2為圖 1平面化后的分析簡(jiǎn)圖,其中,G(i)(i=1,2,3)為構(gòu)件i的重力;F P為外荷載;F1為移動(dòng)載體水平驅(qū)動(dòng)力;F2、F3為(懸架)作用于移動(dòng)載體上的力;Ox(0)y(0)、O(i)x(i)y(i)分別為輪式懸架柔性移動(dòng)機(jī)械手的全局坐標(biāo)系與構(gòu)件i(i=1,2,3)的體坐標(biāo)系[9]。本文假設(shè):該車(chē)輪為剛體且無(wú)質(zhì)量;該移動(dòng)載體以恒線(xiàn)速度運(yùn)行在不規(guī)則(可用正弦函數(shù)來(lái)描述)路面上。如圖2、圖3所示,構(gòu)件3上任一點(diǎn)相對(duì)Ox(0)y(0)原點(diǎn)的位置矢量為

圖2 移動(dòng)2桿柔體機(jī)械手工況

圖3 構(gòu)件i(i=2,3)有限元離散

圖4 機(jī)械手柔性構(gòu)件彈性變形

該動(dòng)力學(xué)模型的推導(dǎo)包括系統(tǒng)慣性張量、剛度矩陣、廣義力、型函數(shù)等的推導(dǎo)過(guò)程。

1.1 構(gòu)件2、3型函數(shù)推導(dǎo)

本文采用有限元法,基于歐拉-伯努利梁?jiǎn)卧碚?不考慮機(jī)械手的剪切變形)構(gòu)造單元型函數(shù)[9]:

同理可得到S(2j)。限于篇幅本文僅將構(gòu)件2、3分別離散為3個(gè)單元,如圖3所示。

1.2 構(gòu)件2、3剛度矩陣獲取

應(yīng)用應(yīng)變能定義構(gòu)件3剛度矩陣,則構(gòu)件3單元j的變形能可表述為

1.3 慣性張量推導(dǎo)

首先對(duì)構(gòu)件3慣性張量進(jìn)行分析推導(dǎo)。構(gòu)件3上任一點(diǎn)速度向量表示為

式中,M(3)為構(gòu)件3的慣性張量;ρ(3)、V(3)分別為構(gòu)件3的密度和體積。

同理可得到構(gòu)件1、2的慣性張量。則該移動(dòng)機(jī)械手系統(tǒng)慣性張量為

1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

輪式移動(dòng)機(jī)械手約束包括完整約束與非完整約束。完整約束來(lái)自機(jī)械手構(gòu)件間轉(zhuǎn)動(dòng)副,參見(jiàn)圖2。本文研究的移動(dòng)機(jī)械手的輪子假設(shè)始終與路面接觸(這也是后續(xù)判斷該移動(dòng)機(jī)械手失穩(wěn)與否的判據(jù)之一),則移動(dòng)機(jī)械手約束方程為

1.5 廣義力推導(dǎo)分析

如圖2所示,路面用正弦函數(shù)來(lái)描述,同時(shí)作用到移動(dòng)載體上的F2、F3[10]可描述為

1.6 動(dòng)力學(xué)分析、推導(dǎo)

依據(jù)拉格朗日方程,可以得到該移動(dòng)機(jī)械手系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程:

式中,λ為拉格朗日乘子。

式(16)同時(shí)包含了常微分方程和代數(shù)方程,必須同時(shí)對(duì)其進(jìn)行求解,這將增大求解難度,同時(shí)也加大了數(shù)值法求解時(shí)的累計(jì)誤差等。為此,本文應(yīng)用獨(dú)立變量來(lái)表示系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。將式(11)代入式(16)中,通過(guò)簡(jiǎn)化可以得到

2 動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真

采用狀態(tài)空間法描述上述動(dòng)力學(xué)模型[9](式(17)),可得到

式(18)為一組常微分方程,則對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)換為帶初值的常微分方程求解問(wèn)題。由于本文所考慮構(gòu)件的彈性變形為小變形問(wèn)題,所以柔性輪式移動(dòng)機(jī)械手獨(dú)立變量間存在數(shù)量級(jí)上的較大差異。因此,式(18)為剛性常微分方程組?；贕ear's法(高階線(xiàn)性多步法),并采用MATLAB2006對(duì)式(18)進(jìn)行數(shù)值法求解。數(shù)值仿真所用參數(shù)如下:m(1)=20kg,m(2)=0.9kg,m(3)=1kg;K 1=1130N/m,K2=2620N/m;C1=113N?s/m,C2=262N?s/m;d1=0.35m;t=0.35s;E=210MPa;l(1)=0.7m,l(2)=1.1m,l(3)=0.8m;d2=0.35m;g=9.8m/s2;l10=0.26m,l20=0.18m;構(gòu)件2、3的半徑分別為r2=0.007m,r3=0.007m;T(21)=-17N?m,T(32)=40N?m;λ=0.4m;v=0.3m/s;H0=0.03m,h=0.539m,c0=0;m p=5kg。部分?jǐn)?shù)值仿真結(jié)果如圖5～圖8所示。

在相同參數(shù)下比較柔體動(dòng)力學(xué)模型與其退化為剛-柔、剛體動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值解,從圖5、圖6可以看出構(gòu)件彈性變形、彈性振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的負(fù)面影響。如圖5所示,由于考慮構(gòu)件2、3的彈性變形及彈性振動(dòng),致使移動(dòng)載體水平驅(qū)動(dòng)力變化幅度、頻率急劇增大;由圖6所示的θ(2)的3種模型數(shù)值仿真結(jié)果可看出,隨著時(shí)間的推移仿真結(jié)果出現(xiàn)較大的出入。這些充分體現(xiàn)出構(gòu)件彈性變形與構(gòu)件大范圍參考運(yùn)動(dòng)間的動(dòng)力學(xué)耦合效應(yīng)及構(gòu)件彈性振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的負(fù)面影響。圖7顯示了該輪式移動(dòng)柔性機(jī)械手獨(dú)立系統(tǒng)變量θ(2)及其速度和加速度的變化趨勢(shì)與規(guī)律:θ(2)變化平緩,其速度和加速度在零值上下快速波動(dòng),可以看出它們的變化規(guī)律符合變量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)的規(guī)則。由圖8可看出,構(gòu)件2、3軸向剛度足夠大,可以不考慮該方向的彈性變形問(wèn)題。

圖5 移動(dòng)載體水平驅(qū)動(dòng)力

圖 6 θ(2)數(shù)據(jù)仿真

圖7 θ(2)、、數(shù)據(jù)仿真(柔體模型)

圖8 構(gòu)件2節(jié)點(diǎn)3彈性位移數(shù)據(jù)仿真

3 結(jié)論

本文對(duì)輪式彈性-阻尼懸架移動(dòng)2桿柔體機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)正解進(jìn)行了系統(tǒng)研究。綜合采用了有限元法和浮動(dòng)坐標(biāo)法,在笛卡兒坐標(biāo)系下精確建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,并以矩陣、矢量的形式形成簡(jiǎn)潔的表達(dá)形式。由于中間單元坐標(biāo)系的引入,使得該動(dòng)力學(xué)模型可以精確描述構(gòu)件剛體運(yùn)動(dòng)。相對(duì)關(guān)節(jié)變量而言,該方法更具有通用性,適用于大規(guī)模多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析,同時(shí)該動(dòng)力學(xué)模型便于應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解。該動(dòng)力學(xué)模型綜合考慮了機(jī)械手的彈性變形(率)、彈性振動(dòng)和懸架系統(tǒng)對(duì)整體動(dòng)力學(xué)的影響。最后采用數(shù)值法給出了該動(dòng)力學(xué)模型的正解仿真結(jié)果。通過(guò)該仿真結(jié)果可以看到上述動(dòng)力學(xué)耦合現(xiàn)象及構(gòu)件彈性振動(dòng)的負(fù)面影響。該動(dòng)力學(xué)模型和數(shù)值仿真可用作柔性輪式移動(dòng)機(jī)械手參數(shù)設(shè)計(jì)之參考,并可指導(dǎo)選擇相應(yīng)控制策略等。

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Simulation of Dynam ics of a Mobile2-link Flexible Manipulator Based on Finite Element Method

Yang Yuwei Zhao Xinhua Wang Shoujun Xu Jinyou Chen Wei
Tianjin Key Laboratory for Control Theory&Applications in Comp licated System s,Tian jin University of Technology,Tian jin,300384

This paper concentrated on the kinematics and dynam icsm odeling of am obile 2-link flexib lemanipu lator(M 2LFM),which consisted of am obile basewith a 2-DOF linear elastic-damping suspension system and a flexib le manipu lator and was considered to travel w ith a constant linear speed over an irregu lar g round-surface.Based on Lagrange and New ton-Ou ler theories,the system dynamicsmodelof the M 2LFM in which the referencemotion and the elastic deformationwere coup led was derived using the finite elementmethod and intermediated element coordinatesystem s and floating frame of reference formulation which can lead to zero strains,and was com pactly described w ith matricesand vectorsmeasured with respect to a gobal Cartesian frame of reference.A t last,the numerical simulations were carried out to the forward dynamicsm odelof a M 2LFMand a rigid-flexibleone and a rigid one,respectively.These sim ulation results illustrate these effectsof dynam ic coup lingsand elastic vibration on system by comparion.

2-link flexible;mobile manipulator;finite element method;kinem atics;dynam ics;coup ling

TH 12

1004—132X(2011)11—1352—06

2010—06—28

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2006A A04Z221,2007AA 04Z203);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50675156);天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃資助重點(diǎn)項(xiàng)目(07JCZDJC09100);天津市高等學(xué)?？萍及l(fā)展基金資助項(xiàng)目(20100401)

(編輯 蘇衛(wèi)國(guó))

楊玉維,男,1975年生。天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。研究方向?yàn)橐苿?dòng)機(jī)械手動(dòng)力學(xué)。趙新華,男,1962年生。天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。王收軍,男,1965年生。天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。徐進(jìn)友,男,1977年生。天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。陳 煒,女,1973年生。天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。