梅建東，李紅春，徐麗仙

(1.揚州職業(yè)大學，江蘇揚州225002;2.江海職業(yè)技術學院，江蘇揚州225101)

近年來，帶死區(qū)的不確定非線性系統(tǒng)的自適應控制已成為控制理論研究的熱點之一，并取得了一些研究結果[1－8]。其主要思想是利用模糊系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡等逼近系統(tǒng)的不確定性，基于李亞普諾夫方法確定模糊系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡中可調參數(shù)的自適應律，結合魯棒控制、滑模控制及后推設計方法來保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文針對一類帶有死區(qū)模型且具有攝動的嚴格反饋非線性系統(tǒng)，基于后推設計方法，運用神經(jīng)網(wǎng)絡的逼近能力，提出了一種魯棒自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制器設計方案。該方案保證跟蹤誤差收斂到零的一個小區(qū)域內，而且跟蹤精度可以通過設計參數(shù)來調節(jié)。對于系統(tǒng)中的死區(qū)模型，通過劃分區(qū)間的方法，取消了死區(qū)模型的傾斜度相等的條件，并通過自適應控制項的作用取消了死區(qū)模型參數(shù)的上下界必須已知的條件，使死區(qū)模型能夠化為簡化形式。通過引入Nussbaum函數(shù)的性質，使該方案中系統(tǒng)的虛擬控制增益可以完全未知。利用李亞普諾夫方法，證明閉環(huán)系統(tǒng)是半全局一致終結有界。

1 問題的描述及基本假設

考慮下面一類嚴格反饋非線性系統(tǒng):

控制目標要求系統(tǒng)輸出y盡可能去跟蹤一個指定的期望軌跡yd。因此，問題是設計直接自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)半全局終結有界，跟蹤誤差收斂到一個小的殘差集內。定義跟蹤誤差z1=y－yd=x1－yd。

假設1:存在正常數(shù)gi0，gi1使得0＜gi0≤|gi()|≤gi1，?∈Ri，i=1，2，…，n且gi()，?t≥0可微。

假設2:期望的軌跡向量xid是連續(xù)的，且xid∈Ωid?Ri，i=1，2，…，n，其中xid=(yd，，…，)T，xid是已知的有界閉集。

2 死區(qū)模型描述及Nussbaum函數(shù)的性質

輸入為v(t)，輸出為w(t)的死區(qū)模型描述為:

假使死區(qū)模型具有如下基本性質:

(1)死區(qū)輸出w(t)是不可測量的;

(2)死區(qū)參數(shù)br，bl，mr，ml是未知的有界常數(shù)，但它們的符號是已知的，br＞0，bl＜0，mr＞0，ml＞0。

定義N=(xr，xl)，m=(mr，ml)T，其中

根據(jù)上述死區(qū)的基本性質，重新定義死區(qū)模型為:

且|d(v(t))|≤ρ*，ρ*是未知的正常數(shù)。

下面描述Nussbaum函數(shù)的性質:

引理1[7]:已知V(·)，ζ(·)都是[0，tf)上的光滑函數(shù)，且V(t)≥0，?t∈[0，tf)，N(·)是Nussbaum函數(shù)，如果下列不等式成立:

其中常數(shù)c1＞0，g(t)是在未知閉區(qū)間I:=[l－1，l+1]，0?I取值的時變參量，c0是合適的常數(shù)，那么V(t)，ζ(t)t和一定在[0，tf)上有界。

3 自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的設計及穩(wěn)定性分析

定義有界緊集Ωz，設hn(z，W，V)是三層神經(jīng)網(wǎng)絡在Ωz上對h(z)的一個逼近，即

其中z=(z，…，z)T=(zT，1)T，V=(v，…，

1n1vl)∈R(p+1)×l，W=(w1，…，wl)T∈Rl，V，W分別是MNN的第1層到第2層，第2層到第3層的連結權;p=n，l＞1是NN的隱層結點數(shù)，常數(shù)γ＞0;同時，變換函數(shù)s(zα)=1/(1+e－γzα)。令

其中W*，V*是MNN的理想連結權，ε(z)是NN的逼近誤差。由于h(z)，h(z，W*，V*)是在有界區(qū)域Ωz上的連續(xù)函數(shù)，所以?ε＞0，使得

‖·‖F(xiàn)，‖·‖，‖·‖1分別表示Frobenius范數(shù)，2范數(shù)，1范數(shù)。

由(11)到(13)得

引入下列誤差坐標變換:

其中α0=yd，α1，…，αn－1為待確定函數(shù)。

采用后推方法設計自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制器。

定義積分型李亞普諾夫函數(shù)

根據(jù)假設1及積分第一中值定理可知，?λ1∈(0，1)，使得Vz1=/2|g1(λ1z1+yd)|。因為0＜g10≤|g1()|≤g11，?∈R，所以，故Vz1是關于變量z1的非負函數(shù)。利用對稱性可知。于是將Vz1對時間t求導，運用復合函數(shù)的求導規(guī)則及分部積分法，得

設h1(，W1，V1)是三層神經(jīng)網(wǎng)絡在Ωˉz1={(x1，yd，)T|x1d∈Ω1d}上對h1()的一個逼近，，是MNN的理想連結權，(t)，(t)分別為，在t時刻的估計，(t)=(t)－，(t)=(t)－，則h1()=h1(，，)+ε1()，

根據(jù)假設3，得

取虛擬控制:

取自適應律:

其中Γw1，Γv1是正定常矩陣，σ11，σ12＞0均為設計常數(shù)。

考慮如下李亞普諾夫函數(shù):將V1關于時間t求導，利用控制律(19)、(20)和自適應律(21)、(22)，整理得

將上式兩邊在區(qū)間[0，t]求積分:

第i步(2≤i≤n－1):

定義積分型李亞普諾夫函數(shù)

取虛擬控制:

取自適應律:

考慮如下李亞普諾夫函數(shù):

將Vi關于時間t求導，利用(26)－(30)得

將上式兩邊在區(qū)間[0，t]求積分:

定義積分型李亞普諾夫函數(shù)

取控制律:

取自適應律:

考慮如下李亞普諾夫函數(shù):

將Vn關于時間t求導，利用(34)－(37)得

將上式兩邊在區(qū)間[0，t]求積分得:

由引理1可以得出:

Vn(t)在[0，tf)上是有界的。同樣結論對tf=+∞也成立。令Cζ表示在[0，+∞2)上的一個上界Vn(0)+Cζ，則從而zn是有界的。同樣有‖‖2≤。進一步得到第n－1步中的也是有界的，這樣向前依次類推，易知Vi(t)，ζi，在[0，+∞)上是有界的，i=1，2…，n－1。

提出如下穩(wěn)定性定理:

定理考慮嚴格反饋系統(tǒng)(1)，其控制律由式(34)，(35)確定，自適應律由式(36)，(37)確定，并滿足假設1－3，則對任意有界初始條件，有:

(1)閉環(huán)系統(tǒng)所有信號都是半全局一致終結有界;

n，其中μi是可通過調節(jié)設計參數(shù)來改變大小。

4 結論

本文針對一類帶有死區(qū)模型且具有攝動的嚴格反饋非線性系統(tǒng)，利用后推設計方法及神經(jīng)網(wǎng)絡的逼近能力，提出了一種直接自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制策略。理論分析證明了跟蹤誤差可以收斂到一個小的殘差集內，而且跟蹤精度可以通過設計參數(shù)來調節(jié)。

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