楊俊秀,趙文來(lái),夏海霞

(浙江理工大學(xué)信息電子學(xué)院,浙江杭州 310018）

達(dá)朗貝爾方程及其解教學(xué)思考

楊俊秀,趙文來(lái),夏海霞

(浙江理工大學(xué)信息電子學(xué)院,浙江杭州 310018）

達(dá)朗貝爾方程及對(duì)應(yīng)推遲位的解是研究電磁輻射的重要理論基礎(chǔ)。因此導(dǎo)出推遲位表達(dá)式具有重要意義。而電磁場(chǎng)相關(guān)的教材通常都是由方程直接給出達(dá)朗貝爾方程的解,即推遲位表達(dá)式,缺少推算過(guò)程及對(duì)結(jié)果的舉例分析。本文利用半經(jīng)驗(yàn)公式,即先猜測(cè)后驗(yàn)證的方法給出其表達(dá)式,并闡明其物理意義,實(shí)踐證明教學(xué)效果有所改善。

矢量場(chǎng);達(dá)朗貝爾方程;推遲位;麥克斯韋方程組

以麥克斯韋方程組為基本出發(fā)點(diǎn)的“工程電磁場(chǎng)理論”是一門(mén)難學(xué)難教的課程。授課中,如果我們從物理或?qū)嵗辖忉寛?chǎng)的概念,對(duì)場(chǎng)與波的關(guān)系多進(jìn)行邏輯推理與歸納,教學(xué)效果會(huì)有所改善。

本文從達(dá)朗貝爾方程出發(fā),通過(guò)先猜測(cè)后驗(yàn)證的方法給出其推遲位的解,并闡明其物理意義[1]。

1 達(dá)朗貝爾方程

電磁場(chǎng)理論面臨的第一類問(wèn)題就是已知場(chǎng)源求場(chǎng)的分布。此時(shí)從麥克斯韋方程組出發(fā),當(dāng)一次場(chǎng)源電荷密度及電流密度已知,將麥克斯韋方程組第一第二方程分別取旋度,并將第三第四方程引入,再采入矢量恒等式可得電場(chǎng) E及磁場(chǎng) H應(yīng)滿足的方程為

上面兩式稱為有源區(qū)域的非齊次矢量波動(dòng)方程,理論上可由此得到電場(chǎng) E及磁場(chǎng) H。當(dāng)外加場(chǎng)源以復(fù)雜形式出現(xiàn)在方程右端,直接求解式(1)和式(2)相當(dāng)困難。為使問(wèn)題簡(jiǎn)化,可引入位函數(shù):即矢量位及電位φm。引用現(xiàn)將式(1)和式(2)變?yōu)榈姆匠?

上兩式稱為達(dá)朗貝爾方程,求解達(dá)朗貝爾方程是研究電磁輻射問(wèn)題的重要理論基礎(chǔ)[2]。直接求解式(5)和式(6)需要較多的數(shù)學(xué)知識(shí)。我們?cè)诖颂幉捎孟炔聹y(cè)后驗(yàn)證的方法給出其方程解,即推遲位解,并闡明其物理意義。

2 推遲位解及其物理意義

2.1 達(dá)朗貝爾方程的通解

因?yàn)槭?5)和式(6)結(jié)構(gòu)相似,求解 A及φm可轉(zhuǎn)化為解標(biāo)量方程式(6)。先分析位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)隨時(shí)間變化的點(diǎn)電荷q(t)激發(fā)的標(biāo)量位φm,顯然除原點(diǎn)外,標(biāo)量電位φm滿足齊次波動(dòng)方程:

因q(t)激發(fā)的場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性,相應(yīng)標(biāo)量位φm與坐標(biāo)θ, 無(wú)關(guān),僅是r與t的函數(shù),即 φm=φm(r,t)。式(7)在球坐標(biāo)系下展開(kāi)為

上式是關(guān)于(φmr)的一維波動(dòng)方程,其中v2=1/με,通解為式中,f1和 f2是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)的任意函數(shù),只需包含變量因子(t-r/v)或(t+r/v)[3,4]。下面驗(yàn)證滿足式(9)的 f1和 f2是式(8)的解,先設(shè) φm r=f1(t-r/v),代人式(8)得

同理,可證φm r=f2(t+r/v)也是式(8)的解,因此f1(t-r/v)+f2(t+r/v)也是式(8)的解。

2.2 通解的物理意義

式(9)中對(duì)于 f1(t-r/v),若時(shí)間由t增加到t+Δt,空間坐標(biāo)由 r增加到r+vΔt,則 f1[t+Δt-(r+vΔt)/v]=f1(t+Δt-r/v-Δt)=f1(t-r/v),時(shí)刻t的空間距離原點(diǎn)為r處的標(biāo)量位φm=f1(tr/v),經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt后標(biāo)量位出現(xiàn)在比r遠(yuǎn)一個(gè)距離vΔt處。這意味著 f1(t-r/v)是從原點(diǎn)出發(fā),以v速度向+r方向行進(jìn)的波,稱為入射波。且傳播介質(zhì)為自由空間時(shí),位函數(shù)向前傳播的速度為v= 1/με≈3×108m/s,約等于光速,該結(jié)論同時(shí)推翻了超距作用觀點(diǎn)。麥克斯韋曾根據(jù)波動(dòng)速度約等于光速,在光的波動(dòng)說(shuō)或粒子說(shuō)爭(zhēng)論不休時(shí),用數(shù)學(xué)思維來(lái)支持波動(dòng)說(shuō)[5]。

相應(yīng)的 f2(t+r/v)是從遠(yuǎn)處出發(fā),以速度v向原點(diǎn)方向行進(jìn)的波,稱為反射波。當(dāng)空間無(wú)障礙物,即均勻介質(zhì)空間為無(wú)限大時(shí),f2(t+r/v)=0。

2.3 推遲位的具體表達(dá)

靜態(tài)標(biāo)量電位函數(shù) φ=q/4πεr,當(dāng)電荷隨時(shí)間變化,達(dá)朗貝爾的通解位函數(shù)中要出現(xiàn)(t-r/v)因子,且只能出現(xiàn)在分子q中,故處于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷q(t)的動(dòng)態(tài)標(biāo)量位為φm=q(t-r/v)/4πεr,當(dāng)電荷不位于原點(diǎn)時(shí),只需修正上式為式中,r′為坐標(biāo)原點(diǎn)不在源點(diǎn)時(shí),源的位置函數(shù)。

對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)不在源點(diǎn)時(shí),體積V′中的任意體電荷分布ρ(r′),仍可以按照先微元化然后再疊加即積分求出標(biāo)量位函數(shù):

同理,可求得體積V′中的任意體積電流J(r′)對(duì)應(yīng)的矢量位函數(shù)

式(11)和式(12)稱為達(dá)朗貝爾方程的解,表明空間某點(diǎn)在時(shí)刻 t的標(biāo)量位或矢量位必須根據(jù)(t-|r-r′|/v)時(shí)刻的場(chǎng)源分布函數(shù)求解,即時(shí)刻t的空間場(chǎng)中某點(diǎn)r處的動(dòng)態(tài)位及對(duì)應(yīng)場(chǎng)量,并不決定于該時(shí)刻激勵(lì)源的分布,而是取決于在此之前的(t-|r-r′|/v)時(shí)刻源的情況。表明激勵(lì)源在時(shí)刻t的作用要經(jīng)過(guò)一個(gè)推遲時(shí)間(|r-r′|/v)才能到達(dá)距離它為|r-r′|的位置,這一時(shí)間正好是傳遞電磁作用所需的時(shí)間?？臻g的動(dòng)態(tài)位 A和φ隨時(shí)間的變化總是滯后于場(chǎng)源的變化,故稱為推遲位[4-6]。

有了動(dòng)態(tài)位 A和φ的表達(dá),根據(jù)位函數(shù)的定義可知相應(yīng)的時(shí)變電場(chǎng)及時(shí)變磁場(chǎng)分別為

至此,達(dá)朗貝爾方程及其推遲位解已經(jīng)呈現(xiàn)出來(lái)。若該知識(shí)點(diǎn)講到此為止,學(xué)生對(duì)其推遲的效果可能理解還不夠,可以進(jìn)一步舉例說(shuō)明。

[例]自由空間坐標(biāo)原點(diǎn)有一激勵(lì)源,且有

試分析在空間距離為r=3×108m處的標(biāo)量位的表達(dá)式。

解:根據(jù)式(10)所示的動(dòng)態(tài)標(biāo)量位公式,可知在r=3×108m處其對(duì)應(yīng)表達(dá),即

由題意可知,t∈[0,1],q(t)有值,對(duì)照上式即得(t-1)∈ [0,1],φm有值,即

上式表明,在[0,1]時(shí)段激勵(lì)源釋放能量,r=3×108m處[1,2]時(shí)段有場(chǎng)量,即場(chǎng)量從場(chǎng)源傳到該處需要1秒時(shí)間,正好是有限的能量傳播速度;1秒后激勵(lì)源撤去,空間的場(chǎng)依然存在;1到2秒時(shí)從r=3×108m處經(jīng)過(guò),2秒過(guò)后r=3×108m的場(chǎng)量為零,激勵(lì)源曾經(jīng)釋放出來(lái)的能量向更遠(yuǎn)的空間傳播。經(jīng)過(guò)分析,可以加深推遲效應(yīng)的印象,且給“場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源單獨(dú)存在”這句話找到依據(jù)。

3 推遲位的復(fù)數(shù)形式

對(duì)于正弦電磁場(chǎng),達(dá)朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式為

其中,β2=ω2με為相位常數(shù)。方程的標(biāo)量位及矢量位解的復(fù)數(shù)形式分別為[4]

此處,我們可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照式(11)和式(12),由于時(shí)域中的時(shí)間延遲因子而且。對(duì)應(yīng)的頻域中應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)相位滯后因子:

式(16)和式(17)頻域中出現(xiàn)相位滯后因子e-jβ|r-r′|,印證時(shí)域中時(shí)間延遲對(duì)應(yīng)于頻域中相位滯后的結(jié)論 。正是有了相位滯后因子e-jβ|r-r′|,使得電磁輻射成為可能,具體表達(dá)參考相關(guān)文獻(xiàn)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文從達(dá)朗貝爾方程出發(fā),通過(guò)先猜測(cè)后驗(yàn)證的方法給出其推遲位的解,并闡明其物理意義。我們?cè)诮虒W(xué)中通過(guò)對(duì)場(chǎng)與波的關(guān)系進(jìn)行邏輯推理與歸納,類似的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)不斷總結(jié)積累,使教學(xué)效果從學(xué)生評(píng)教最初的中等上升到良好,甚至優(yōu)秀。

[1] 劉涵哲.赫茲陣子勢(shì)方程的求解[J].昆明:云南民族大學(xué)學(xué)報(bào).2010,19(1).49-51

[2] 胡文靜.用重傅氏積分變換法求解達(dá)朗貝爾方程[J].哈爾濱:哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào).2002,7(5).108-114

[3] 倪光正.工程電磁場(chǎng)理論[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2004

[4] 馮慈璋,馬西奎.工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論[M].北京:高等教育出版社,2003

[5] FawwazT.U lab,應(yīng)用電磁學(xué)基礎(chǔ)[M],尹華杰譯.北京:人民郵電出版社,2007

[6] William H.Hayt,Jr,John A.Bu ck.Engineering Electromagnetics[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002

Consideration of Teaching on D'A lembert Equationsand Its Solution

YANG Jun-xiu,ZHAOWen-lai,XIA Hai-xia

(Schoolo f In formatics and E lectronics,Zhejiang Sci-Tech University,H angzhou 310018,China)

D'A lembert differential equations and its solution are important theory about electromagnetic radiation,so it is necessary to give hysteresis exp ression and its effect.Usually,D'A lembert differential equations is presented firstly in teachingm aterial,its solution and expression secondly,and there is lack of concretely calculating process and examp le analysis.On the basis of half-experience form ula,D'A lem bert differential equations and its so lution are given step by step,including its physicalmeaning in this paper.Practices show that these processes enhance the quality of teaching and obtain satisfied teaching effects partly.

vector field;D'A lembert equations;hysteresis expression;M axwellequations

G420

A

1008-0686(2011)02-0113-03

2010-07-28;

2010-11-29

楊俊秀(1976-),女,碩士,講師,主要從事電磁場(chǎng)、高頻電路方面的教學(xué)研究,E-mail:yangjunxiu@126.com