秦玉靈，孔憲仁，羅文波

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001；2.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

0 引言

有限元模型修正技術(shù)在航空航天工程中應(yīng)用廣泛，高精度的有限元模型是準(zhǔn)確進(jìn)行結(jié)構(gòu)力學(xué)特性分析的基礎(chǔ)。但由于建模誤差及實(shí)際結(jié)構(gòu)在使用過(guò)程中的損傷等因素的影響，有限元模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果間總存在差異。利用結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)響應(yīng)修正有限元計(jì)算響應(yīng)，使得修正后有限元模型計(jì)算響應(yīng)值與試驗(yàn)測(cè)量值一致的過(guò)程即為有限元模型修正過(guò)程[1]。修正過(guò)程充分利用結(jié)構(gòu)試驗(yàn)和有限元分析兩者優(yōu)點(diǎn)，用少量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，修正后模型可以代替實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行多種分析，節(jié)約試驗(yàn)成本和時(shí)間。

用有限元軟件的優(yōu)化功能直接進(jìn)行模型修正時(shí)，由于每次修正量的變化都要重新調(diào)用有限元軟件計(jì)算，因此計(jì)算效率較低。近年來(lái)響應(yīng)面方法開(kāi)始在模型修正領(lǐng)域被廣為應(yīng)用，其基本思想是用多項(xiàng)式等構(gòu)造響應(yīng)面對(duì)原結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬，以較少的試驗(yàn)代價(jià)得到可接受的結(jié)果，在工程中有重要應(yīng)用價(jià)值[2-3]。響應(yīng)面模型構(gòu)造過(guò)程需要對(duì)模型中的待修正參數(shù)進(jìn)行篩選，用正交設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)，并用統(tǒng)計(jì)分析方法中的方差分析選擇模型參數(shù)中對(duì)響應(yīng)影響程度大的參數(shù)作為待修正參數(shù)。響應(yīng)面模型形式簡(jiǎn)潔，易于與粒子群算法等優(yōu)化算法融合，修正效率高，但一組響應(yīng)面只能對(duì)應(yīng)一組分析過(guò)程，因此將響應(yīng)面修正后參數(shù)代入原模型，可以進(jìn)行多種力學(xué)特性分析，提高了分析效率。

本文用某雷達(dá)衛(wèi)星簡(jiǎn)化有限元模型計(jì)算基于正交設(shè)計(jì)的各水平參數(shù)下模態(tài)頻率，用方差分析確定待修正參數(shù)并構(gòu)造二次響應(yīng)面模型，用最小二乘法確定多項(xiàng)式系數(shù)，以響應(yīng)面計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果的差值構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)并用其引導(dǎo)含混沌搜索機(jī)制的改進(jìn)粒子群算法對(duì)待修正參數(shù)的偏移量進(jìn)行尋優(yōu)，修正后參數(shù)代入原有限元模型得到修正模型。修正后模型計(jì)算所得測(cè)試頻段內(nèi)模態(tài)頻率與基準(zhǔn)模型一致，且能以一定精度預(yù)測(cè)測(cè)試頻段外的模態(tài)頻率，從而證實(shí)了基于響應(yīng)面和改進(jìn)粒子群算法的模型修正方法的有效性。

1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及響應(yīng)面構(gòu)造

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是一種研究多因子多水平試驗(yàn)問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)方法。該方法根據(jù)正交性從全面試驗(yàn)中挑選出“均勻分散，整齊可比”的樣本點(diǎn)，是一種高效經(jīng)濟(jì)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[4]。正交試驗(yàn)完成后可用方差分析評(píng)價(jià)參數(shù)顯著性，從中選擇顯著性高的參數(shù)進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。

方差分析（analysis of variance，ANOVA）又稱“變異數(shù)分析”或“F檢驗(yàn)”，其基本思想是將數(shù)據(jù)總離差平方和分解為各因素及誤差的離差平方和，再用F檢驗(yàn)確定各因素影響的顯著性水平，從而確定待修正參數(shù)。模型參數(shù)A的F值檢驗(yàn)按公式(1)進(jìn)行[5]。

式中：α為置信度；FA為因素A 的顯著性水平；SA和Se為因素A和誤差e的偏差；fA為因素A和誤差e的自由度。

響應(yīng)面法是用多元多項(xiàng)式或非多項(xiàng)式模型（如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）來(lái)描述系統(tǒng)自變量和響應(yīng)特征的復(fù)雜關(guān)系，從而替代有限元仿真和其他復(fù)雜模型進(jìn)行更有效設(shè)計(jì)或計(jì)算的一種方法。響應(yīng)面表達(dá)式一方面要盡可能簡(jiǎn)單，方便計(jì)算；另一方面又要考慮到能靈活反映各種真實(shí)曲面形狀，擬合精度和效率是評(píng)價(jià)響應(yīng)面建模方法好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)[6]。二階多項(xiàng)式響應(yīng)面形式簡(jiǎn)潔，準(zhǔn)確性高，在工程模擬中應(yīng)用廣泛，其形式為

響應(yīng)面模型質(zhì)量可用兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)，即均方根誤差（root mean squared error，RMSE）的相對(duì)值和決定系數(shù)R2。

2 引進(jìn)混沌搜索機(jī)制的粒子群算法

粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）通過(guò)模擬鳥(niǎo)群覓食過(guò)程中的遷徙和聚集行為實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的優(yōu)化。算法中的每一個(gè)粒子都代表搜索空間的一個(gè)解，先隨機(jī)初始化每個(gè)粒子的位置和速度，然后粒子在自身及整個(gè)種群最優(yōu)位置的引導(dǎo)下飛向最優(yōu)解[7-9]。標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中粒子速度和位置進(jìn)化公式為

式中：pi,d(t)和pgd(t)分別為第t次迭代時(shí)第i個(gè)粒子第d維分量的最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置；常量c1＞0，c2＞0（c1+c2≈4），分別代表對(duì)自身經(jīng)歷的最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置的記憶能力；r1、r2用來(lái)增強(qiáng)粒子飛行的隨機(jī)性以保持種群的多樣性，r1∈rand(0,1)，r2∈rand(0,1)；ω 為慣性因子，ω＞0，當(dāng) ω較大時(shí)群體以較大步長(zhǎng)進(jìn)行全局搜索，較小時(shí)算法以較小步長(zhǎng)進(jìn)行細(xì)致局部搜索。

混沌搜索的基本思想是：把混沌變量線性映射到原設(shè)計(jì)空間，然后利用混沌變量進(jìn)行有效搜索。由于混沌的遍歷性，混沌優(yōu)化算法易跳出局部最優(yōu)解，是一種很好的搜索機(jī)制[10-11]。Logistic映射是一種常用的混沌映射，其表達(dá)式為

式中：μ為控制變量，一般在(3.5699456,4]之間取值；cx∈(0,1)。μ= 4時(shí)為完全混沌狀態(tài)，此時(shí)cx在(0,1)范圍內(nèi)遍歷。Logistic映射有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)——0.25，0.5，0.75，在參數(shù)設(shè)定過(guò)程中應(yīng)避免使用這些不動(dòng)點(diǎn)。

混沌變量cx與普通變量x可以通過(guò)式(7)和式(8)進(jìn)行往復(fù)映射。

式中：minx為設(shè)計(jì)空間中變量x的取值下限；maxx為取值上限。

引入混沌搜索機(jī)制的改進(jìn)粒子群算法流程如圖1所示。

圖1 引入混沌搜索機(jī)制的改進(jìn)粒子群算法流程Fig.1 The improved PSO with chaos-search mechanism

3 衛(wèi)星有限元模型修正

基于響應(yīng)面方法和改進(jìn)粒子群算法的有限元模型修正包括響應(yīng)面模型的建立與粒子群算法的尋優(yōu)兩方面內(nèi)容。其模型修正流程如圖2所示。

圖2 基于響應(yīng)面方法的模型修正流程Fig.2 Flow chart of the RSM-based model updating

1）用等效板理論計(jì)算構(gòu)造衛(wèi)星壁板和太陽(yáng)帆板的蜂窩板的等效結(jié)構(gòu)參數(shù)；

2）用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，通過(guò)F值檢驗(yàn)判定各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)頻率響應(yīng)的影響，從而確定用于構(gòu)造響應(yīng)面的待修正參數(shù)；

3）用ANSYS中的SHELL63單元和BEAM4單元建立簡(jiǎn)化衛(wèi)星模型并計(jì)算其在各組參數(shù)下的模態(tài)響應(yīng)；

4）構(gòu)造二次多項(xiàng)式響應(yīng)面，參數(shù)歸一化并用最小二乘法則確定響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)向量；

5）響應(yīng)面模型有效性判定，若有效則進(jìn)入下一步分析，否則返回第2步；

6）用響應(yīng)面計(jì)算所得頻率?y與有限元計(jì)算頻率y的偏差構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)；

7）用帶混沌搜索機(jī)制的粒子群算法修正結(jié)構(gòu)參數(shù)；

8）判斷是否滿足終止條件，若滿足則輸出修正量，否則返回第7步繼續(xù)計(jì)算；

9）將修正量代入有限元模型，模型計(jì)算質(zhì)量得到改善，進(jìn)行多種分析計(jì)算。

3.1 衛(wèi)星簡(jiǎn)化有限元模型建立

某雷達(dá)衛(wèi)星簡(jiǎn)化有限元模型如圖3所示，衛(wèi)星壁板和太陽(yáng)帆板為蜂窩板結(jié)構(gòu)，其等效板由ANSYS中的SHELL63殼單元建立，由等效板理論[12]計(jì)算所得壁板和帆板的等效參數(shù)均為：蜂窩板尺寸1 m×1 m，板厚req=0.06 m，等效彈性模量Eeq=831.4 MPa，等效泊松比μeq=0.3，等效密度ρeq=107 kg/m3。衛(wèi)星箱體與蜂窩板之間由4根梁進(jìn)行連接，用BEAM4梁?jiǎn)卧?，結(jié)構(gòu)參數(shù)為：彈性模量E=70 GPa，密度 ρ=2.7×103kg/m3，泊松比 μ=0.3，截面積a =10-4m2，z向和y向抗彎慣性矩Izz=Tyy=10-8m4。

圖3 衛(wèi)星簡(jiǎn)化有限元模型Fig.3 Simplified FEM of the satellite

3.2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及待修正參數(shù)確定

對(duì)有限元模型中的4個(gè)等效結(jié)構(gòu)參數(shù)req、Eeq、ρeq、μeq進(jìn)行篩選，同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)損傷及阻尼材料的影響，將連接梁的3個(gè)材料參數(shù)E、ρ、a也作為待修正參數(shù)，每個(gè)參數(shù)取2個(gè)水平，即七因素二水平，水平1為7個(gè)參數(shù)原值，水平2為7個(gè)參數(shù)攝動(dòng)后值（各減小20%）。正交設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)時(shí)，首先用正交表從所有可能搭配中挑出若干必需的試驗(yàn)，然后再用統(tǒng)計(jì)分析方法對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行綜合處理，可以減少試驗(yàn)次數(shù)，提高分析效率。本例選取正交表L8(27)設(shè)計(jì)8組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 不確定參數(shù)正交設(shè)計(jì)表Table 1 Orthogonal design for uncertain parameters

用有限元分別計(jì)算8組參數(shù)前6階模態(tài)頻率值，對(duì)計(jì)算所得的48個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行方差分析。常用F(f,f )值檢驗(yàn)水平有4個(gè)，即α =[0.25,0.10,αAe 0.05,0.01]，各水平意義和符號(hào)見(jiàn)表2。方差分析過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，ρ和a兩個(gè)參數(shù)對(duì)模態(tài)頻率影響最小，故將兩者視為誤差項(xiàng)，用于對(duì)其余5個(gè)參數(shù)的顯著性水平進(jìn)行計(jì)算。

表2 顯著性水平Table 2 Significance level

由表3的F值檢驗(yàn)結(jié)果可知，req、Eeq和 ρeq對(duì)模態(tài)頻率影響程度最高，E次之，μeq影響力最弱，由此選定板等效厚度req、等效彈性模量Eeq、等效密度ρeq及梁彈性模量E為待修正量。

表3 各參數(shù)顯著性水平Table 3 Significance level of parameters

3.3 響應(yīng)面構(gòu)造及有效性檢驗(yàn)

用F值檢驗(yàn)確定的4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)req、Eeq、ρeq和E構(gòu)造響應(yīng)面的完全二次多項(xiàng)式為

響應(yīng)面模型有效性由相對(duì)RMSE和決定系數(shù)R2評(píng)價(jià)，如圖4所示。

圖4 響應(yīng)面有效性評(píng)價(jià)Fig.4 Validity evaluation of the response surface

由圖4可知，衛(wèi)星前6階模態(tài)的響應(yīng)面計(jì)算值與相同結(jié)構(gòu)參數(shù)的有限元計(jì)算值之間的RMSE均趨于0，決定系數(shù)R2均趨于1，響應(yīng)面模型有效，可用于進(jìn)一步分析計(jì)算。各階模態(tài)擬合精度具體分析為：f1和f5擬合精度最高，原因在于對(duì)這兩階模態(tài)有影響的結(jié)構(gòu)參數(shù)req、Eeq、ρeq和E都參與了響應(yīng)面的構(gòu)建；f3和f4擬合精度相對(duì)較差，原因在于對(duì)這兩階模態(tài)有影響的參數(shù)μeq未參與響應(yīng)面構(gòu)建。由此可見(jiàn)響應(yīng)面構(gòu)建中參數(shù)選擇的重要性，在工程實(shí)際中可以對(duì)某重要模態(tài)單獨(dú)分析其影響參數(shù)，構(gòu)建相應(yīng)響應(yīng)面模型。

3.4 衛(wèi)星模型修正及有效性檢驗(yàn)

以參數(shù)水平(1,1,1,1)即x1=[req1,Eeq1,ρeq1,E1]所建有限元模型為基準(zhǔn)模型M1，以參數(shù)水平(2,2,2,2)即x2=[req2,Eeq2,ρeq2,E2]所建有限元模型為待修正模型M2，兩組結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系為x2=x1(1-20%)=x1(1+Δx)， 其 中 Δx=[Δreq,ΔEeq,Δρeq,ΔE]為待修正量的偏差量，亦即粒子群算法搜索的目標(biāo)解。模型結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示。

表4 模型結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 4 Structure parameters of the FEM

響應(yīng)面模型修正中的適應(yīng)度函數(shù)由基準(zhǔn)模型M1計(jì)算所得模態(tài)頻率f1和響應(yīng)面模型S計(jì)算所得模態(tài)頻率f?之間的差值構(gòu)成，其可表示為

式中：N=6為模態(tài)頻率階數(shù)，該適應(yīng)度函數(shù)的意義為使得各階模態(tài)頻率相對(duì)誤差和最?。籪i1（i=1,2,...6）為定值（基準(zhǔn)模型M1計(jì)算所得模態(tài)頻率）；（i=1,2,...6）為響應(yīng)面模型計(jì)算值，其值隨待修正量x=[req,Eeq,ρeq,E2]的不斷變化（由粒子群算法迭代搜索獲得）而變化，至適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到設(shè)定條件時(shí)，待修正量得到確定。

用帶混沌搜索機(jī)制的改進(jìn)粒子群算法對(duì)攝動(dòng)后結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行修正，每個(gè)粒子維數(shù)為D=4（對(duì)應(yīng)4個(gè)待修正量），粒子群種群規(guī)模為N=50，即用50個(gè)粒子進(jìn)行隨機(jī)搜索，迭代次數(shù)設(shè)為T(mén)max=30。搜索空間范圍（粒子位置x和速度v）由以下分析確定：任取待修正參數(shù)xi，設(shè)定其變化范圍為原值（x1=[req1,Eeq1,ρeq1,E1]）上下20%浮動(dòng)，響應(yīng)面構(gòu)造過(guò)程中進(jìn)行參數(shù)歸一化得

式中，ximax=(1+20%)xi1；ximin=(1-20%)xi1；為各水平參數(shù)平均值，則xi=(xi1+xi2)/2=0.9xi1?？傻?0.25≤x?i≤0.75，由此，粒子位置x和速度v變動(dòng)范圍-0.25≤x≤0.75，-0.25≤v≤0.75。

由于算法的隨機(jī)性，用改進(jìn)粒子群算法重復(fù)進(jìn)行20次搜索，取各次搜索的適應(yīng)度函數(shù)平均值繪制平均適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線；同時(shí)選各次搜索所得最優(yōu)解的平均值作為修正量Δx?，將Δx?從歸一化后的參數(shù)空間映射回原設(shè)計(jì)空間即可得到待修正參數(shù)的真實(shí)攝動(dòng)量Δx；將Δx代入響應(yīng)面模型和待修正的有限元模型得到修正后的響應(yīng)面模型S1和修正后有限元模型M3；計(jì)算修正后模型M3的前6階模態(tài)頻率與基準(zhǔn)模型M1比較，評(píng)價(jià)修正后模型對(duì)測(cè)試頻段內(nèi)模態(tài)頻率的復(fù)現(xiàn)能力，同時(shí)為了考察修正后模型的預(yù)測(cè)能力，計(jì)算M3的7～10階模態(tài)頻率并與基準(zhǔn)模型M1對(duì)比，分析修正后模型對(duì)測(cè)試頻段外模態(tài)頻率的預(yù)測(cè)效果。

由表5可知，用修正后參數(shù)建立的響應(yīng)面模型S1和相同參數(shù)建立的有限元模型M3計(jì)算所得模態(tài)頻率接近，證實(shí)了響應(yīng)面模型代替有限元模型計(jì)算的可行性。由表6可知，修正后有限元模型M3的結(jié)構(gòu)參數(shù)較待修正模型M2更接近基準(zhǔn)模型M1，模型質(zhì)量得到改善。同時(shí)由表5和圖5可知：用攝動(dòng)后所得待修正模型M2計(jì)算獲得的模態(tài)頻率明顯偏離基準(zhǔn)模型M1計(jì)算值，修正后有限元模型M3在測(cè)試頻段內(nèi)計(jì)算所得的前6階模態(tài)頻率與基準(zhǔn)模型誤差在1%以內(nèi)（第3、4階頻率誤差較大為0.93%和1.02%，與第3、4階模態(tài)響應(yīng)面構(gòu)造中參數(shù)選擇相對(duì)誤差較大有關(guān)），測(cè)試頻段外誤差在3%～5%之間，大于測(cè)試頻段內(nèi)誤差，但仍在可接受精度范圍內(nèi)。因此證實(shí)了響應(yīng)面方法修正后的有限元模型不但能以高精度復(fù)現(xiàn)測(cè)試頻段內(nèi)模態(tài)頻率，而且能以可接受的精度對(duì)測(cè)試頻段外頻率進(jìn)行預(yù)測(cè)。

圖6描述了重復(fù)執(zhí)行帶混沌搜索機(jī)制的改進(jìn)粒子群算法20次迭代且每次迭代30個(gè)循環(huán)過(guò)程中的平均適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線。適應(yīng)度值隨迭代進(jìn)行不斷減小，意即修正后模型計(jì)算頻率與實(shí)測(cè)頻率之間差值隨著迭代搜索過(guò)程的進(jìn)行不斷減小，粒子群在群體最優(yōu)粒子的引導(dǎo)下逐漸向全局最優(yōu)解靠近。將搜索到的最優(yōu)解代入原有限元模型，所得模型計(jì)算模態(tài)頻率能充分靠近實(shí)測(cè)值，證實(shí)了算法的有效性。

表5 響應(yīng)面和有限元模型計(jì)算模態(tài)頻率Table 5 Modal frequencies of the RSM and FEM

表6 模型參數(shù)對(duì)比Table 6 Comparison of the model parameters

圖5 模態(tài)頻率對(duì)比Fig.5 Comparison of the modal frequencies

圖6 平均適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線Fig.6 Mean convergence curve of the fitness function

4 結(jié)論

1）響應(yīng)面模型計(jì)算所得的模態(tài)頻率接近由相同結(jié)構(gòu)參數(shù)的有限元模型計(jì)算所得頻率，證實(shí)了響應(yīng)面方法的可行性和可靠性。響應(yīng)面模型便于與粒子群算法等優(yōu)化算法相結(jié)合，用響應(yīng)面模型代替有限元模型可以提高修正效率和模擬精度。

2）基于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的響應(yīng)面模型構(gòu)造時(shí)，用F值檢驗(yàn)結(jié)果作為選擇待修正量的依據(jù)，待修正量的選取是決定響應(yīng)面精度的重要因素，應(yīng)通過(guò)改進(jìn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法或?qū)ΜF(xiàn)有方法增加補(bǔ)充條件以提高待修正量選取的準(zhǔn)確性。

3）響應(yīng)面模型的局限性在于一組響應(yīng)面只能模擬一組響應(yīng)數(shù)據(jù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系，要獲得其他響應(yīng)數(shù)據(jù)，必須再次通過(guò)多組試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得另一組響應(yīng)面，無(wú)法像有限元模型那樣，通過(guò)一組結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以進(jìn)行多種分析運(yùn)算。因而用響應(yīng)面模型修正所得結(jié)構(gòu)參數(shù)重新建立有限元模型進(jìn)行分析，可提高修正效率和計(jì)算效率。

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