韓曉茹，傅筱瑩，彭可鑫，向 勇，陳建育，金 立

（浙江理工大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州310018）

1 引 言

混沌現(xiàn)象亦稱(chēng)“蝴蝶效應(yīng)”［1－3］，這種現(xiàn)象普遍存在于物理學(xué)、化學(xué)、電子學(xué)、生物學(xué)和社會(huì)學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域．近年來(lái)許多學(xué)者通過(guò)非線性電路對(duì)混沌行為進(jìn)行了廣泛地研究，其中最典型的是由美國(guó)Berkeley大學(xué)的Leon O Chua提出的蔡氏電路 （Chua’s circuit），它是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡(jiǎn)單的三階自治電路［4］．但是，采用力學(xué)裝置呈現(xiàn)混沌現(xiàn)象的實(shí)踐在國(guó)內(nèi)外都相對(duì)少見(jiàn)［5］．如果借助原理淺顯、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)裝置來(lái)呈現(xiàn)混沌的特性，可以使學(xué)生較好地理解和掌握混沌知識(shí)［6］．本文主要完成了基于PASCO系統(tǒng)的混沌擺實(shí)驗(yàn)儀的研制，利用PASCO系統(tǒng)高性能的傳感器采集信號(hào)，在計(jì)算機(jī)科學(xué)工作室軟件DataStudio上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，呈現(xiàn)了混沌的基本特征，并對(duì)該過(guò)程實(shí)現(xiàn)了Matlab數(shù)值模擬．

2 實(shí)驗(yàn)原理與方法

2．1 PASCO系統(tǒng)簡(jiǎn)介

PASCO系統(tǒng)是采用傳感器和數(shù)據(jù)采集接口，利用電腦進(jìn)行控制和數(shù)據(jù)采集的物理實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，主要包括3部分：

1）傳感器．現(xiàn)有傳感器60余種．

2）數(shù)據(jù)采集接口．將傳感器的數(shù)據(jù)通過(guò)科學(xué)工作室輸入計(jì)算機(jī)，最高采樣頻率為250 k Hz．

3）數(shù)據(jù)采集軟件．包括240個(gè)預(yù)設(shè)的物理實(shí)驗(yàn)，可進(jìn)行多種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的顯示形式和處理功能．

2．2 實(shí)驗(yàn)儀構(gòu)建

所需儀器主要由下面幾部分組成：PASCO系統(tǒng)750接口、0～30 V直流穩(wěn)壓電源、圓盤(pán)、機(jī)械震蕩驅(qū)動(dòng)器、轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器、偏心銅圓柱、120 cm長(zhǎng)鋼桿（2根）、45 cm 長(zhǎng)鋼桿（1根）、底座（1個(gè)）、細(xì)線和彈簧．電源用于輸出驅(qū)動(dòng)電壓，萬(wàn)用表可測(cè)量對(duì)應(yīng)電壓的實(shí)際值．該裝置實(shí)物圖見(jiàn)圖1．

圖1 PASCO系統(tǒng)混沌擺實(shí)驗(yàn)儀實(shí)物圖

使用DataStudio程序：?jiǎn)?dòng)科學(xué)工作室，選擇轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器并連接到模擬通道A，選擇轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器并連接到數(shù)字通道1和2．利用轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器來(lái)記錄驅(qū)動(dòng)力的角頻率和鋁盤(pán)的旋轉(zhuǎn)角頻率．選取平滑函數(shù)“Smooth（n，x）”，設(shè)置圖表中的橫坐標(biāo)為角度（rad），縱坐標(biāo)為角速度（rad／s）．

通過(guò)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)使曲柄連桿做周期性圓周運(yùn)動(dòng)引起圓盤(pán)在外力的作用下做混沌擺運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器記錄它的運(yùn)動(dòng)并傳輸?shù)接?jì)算機(jī)進(jìn)行處理，描繪出圖像．

2．3 實(shí)驗(yàn)原理

混沌擺的動(dòng)力學(xué)方程［7］為

其中磁阻尼系數(shù)為μ，彈簧的勁度系數(shù)為k，θ表示轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)角；ΔL0是初始位置時(shí)彈簧伸長(zhǎng)，Lc0和Lc分別為初始時(shí)刻和t時(shí)刻外部策動(dòng)振幅，

式中φ0為初始相角，ω為策動(dòng)力角速度，Ac為策動(dòng)振幅，La和Lb表示外部策動(dòng)力與轉(zhuǎn)輪的距離．為方便討論動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，式（1）可改寫(xiě)為如下的標(biāo)準(zhǔn)一階微分方程形式：

式中轉(zhuǎn)輪的內(nèi)外半徑分別為r，R，質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)輪圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I＝MR2／2，Ic為偏心銅圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ΔL＝Lc－Lc0＋ΔL0，Ac，ω和θ的初始值作為系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)參量．為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)沒(méi)有影響的彈簧初始伸長(zhǎng)和外部策動(dòng)力的初相位分別取ΔL0＝0，φ0＝11π／18．

當(dāng)無(wú)外部策動(dòng)力（ΔL＝0）和磁阻尼系數(shù)（μ＝0）時(shí)，該裝置構(gòu)成保守動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)．式（4）簡(jiǎn)化為

系統(tǒng)沒(méi)有出現(xiàn)混沌時(shí)，系統(tǒng)對(duì)初始值不敏感．

當(dāng)有外部策動(dòng)力和阻尼存在時(shí)，該系統(tǒng)成為耗散動(dòng)力學(xué)體系，表現(xiàn)出許多復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，這些性質(zhì)依賴(lài)于驅(qū)動(dòng)振幅Ac、振動(dòng)頻率ω和轉(zhuǎn)動(dòng)初始角θ等可調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)參量．具備了產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的基本條件［8］：方程右側(cè)至少有1個(gè)非線性項(xiàng)；至少有3個(gè)變量．

為方便理解混沌現(xiàn)象，對(duì)上述動(dòng)力學(xué)方程應(yīng)用Matlab作了數(shù)值模擬，定義pi表示圓周率π．當(dāng)無(wú)外部策動(dòng)力（ΔL＝0）時(shí)，系統(tǒng)在不同的初始角度θ＝pi／6，pi／4，pi／2下的數(shù)值模擬圖像如圖2所示．由圖可知，當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有出現(xiàn)混沌時(shí)，系統(tǒng)對(duì)初始值不敏感．外部策動(dòng)力條件下，不同條件下的系統(tǒng)相圖如圖3所示．同理，在實(shí)驗(yàn)中通過(guò)改變參量出現(xiàn)的雙周期、三周期、多周期這些特殊的圖像通過(guò)數(shù)值模擬也能實(shí)現(xiàn)，如圖4所示．

圖2 無(wú)外部策動(dòng)力時(shí)的系統(tǒng)相圖

圖3 有外部策動(dòng)力時(shí)的系統(tǒng)相圖

圖4 不同條件下的特殊相圖

從數(shù)值模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)依賴(lài)于驅(qū)動(dòng)振幅Ac和振動(dòng)頻率ω．對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，依次改變系統(tǒng)的參量，可以出現(xiàn)從無(wú)序向有序的轉(zhuǎn)變，有序程度不斷增加的轉(zhuǎn)變，最后出現(xiàn)混沌現(xiàn)象．

3 PASCO系統(tǒng)混沌狀態(tài)測(cè)試

已測(cè)參量：轉(zhuǎn)輪外半徑R＝0．048 m，內(nèi)半徑r＝0．024 m，質(zhì)量M＝0．118 2 kg，偏心銅圓柱質(zhì)量m＝0．014 5 kg，L＝0．048 m，彈簧勁度系數(shù)k1＝k2＝2．4 N·m－1，La＝0．05 m，Lb＝0．16 m．

從混沌擺的相軌跡（PASCO儀器上呈現(xiàn)的相圖）很容易判斷是否為混沌運(yùn)動(dòng)，為方便比較混沌現(xiàn)象，特定幾個(gè)特殊的初始相位，即φ0．

3．1 無(wú)驅(qū)動(dòng)情況

改變擺角初始值，為θ＝0°，20°，40°．實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示．從相位圖表現(xiàn)可知在無(wú)驅(qū)動(dòng)時(shí)混沌擺作振幅衰減運(yùn)動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有出現(xiàn)混沌時(shí)，系統(tǒng)對(duì)初始值不敏感．

圖5 無(wú)驅(qū)動(dòng)狀態(tài)混沌現(xiàn)象

3．2 有源驅(qū)動(dòng)情況

3．2．1 固定驅(qū)動(dòng)電壓

驅(qū)動(dòng)一定（V＝5．2 V）的情況下，改變擺角初始值分別為θ＝100°，135°，150°．實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示．相位圖表現(xiàn)為混沌現(xiàn)象，并且各個(gè)初值對(duì)應(yīng)的相位圖差異很大．比較圖6發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)從雙吸引子逐漸向單吸引子改變，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌時(shí)，系統(tǒng)對(duì)初始值很敏感．

圖6 固定驅(qū)動(dòng)狀態(tài)混沌現(xiàn)象

3．2．2 可變驅(qū)動(dòng)電壓

逐漸增大驅(qū)動(dòng)電壓，從而增加驅(qū)動(dòng)頻率下得到如圖7所示的相位變化圖．從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在一定范圍內(nèi)當(dāng)混沌擺的驅(qū)動(dòng)電壓越大時(shí)驅(qū)動(dòng)頻率越大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)越趨于復(fù)雜．當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓較小時(shí)，如1周期、2周期所示結(jié)果都是周期運(yùn)動(dòng)的相圖．當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓達(dá)到一定時(shí)就出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，如單吸引子與雙吸引子所示結(jié)果就是混沌現(xiàn)象的相圖．

圖7 可變驅(qū)動(dòng)狀態(tài)混沌現(xiàn)象

由單吸引子與雙吸引子現(xiàn)象可知，當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率達(dá)到一定值時(shí)系統(tǒng)從周期運(yùn)動(dòng)逐漸出現(xiàn)混沌現(xiàn)象．當(dāng)角度初始值稍微改變時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況卻變化很大，可以出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，也可以出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，這就是混沌系統(tǒng)的初值敏感性的基本特征．

觀察奇異吸引子相圖，當(dāng)相圖存在吸引子現(xiàn)象時(shí)，吸引子首先由外向內(nèi)繞若干圈，轉(zhuǎn)到圓心附近時(shí)將隨機(jī)跳躍，繼續(xù)向內(nèi)繞若干圈后再突然跳回原來(lái)的循環(huán)．對(duì)應(yīng)于混沌擺的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，則是銅圓柱時(shí)而做周期運(yùn)動(dòng)時(shí)而角度超過(guò)360°，有時(shí)可以一直不停旋轉(zhuǎn)多圈，然后再作周期運(yùn)動(dòng)．盡管無(wú)法預(yù)料軌跡將在何時(shí)從一邊跳到另一邊，但是相軌道總不會(huì)超出邊界，也絕不會(huì)自相重復(fù)．

通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)的手段，依次改變PASCO混沌擺系統(tǒng)的參量，系統(tǒng)由穩(wěn)定有序逐漸失穩(wěn)，開(kāi)始分岔，系統(tǒng)由有序到無(wú)序．同時(shí)可以出現(xiàn)從無(wú)序向有序的轉(zhuǎn)變，隨著有序程度不斷地增加，最后會(huì)觀察到混沌現(xiàn)象，從而可得出結(jié)論：混沌是一種確定的系統(tǒng)中出現(xiàn)的貌似不規(guī)則的有序運(yùn)動(dòng)．

4 結(jié)束語(yǔ)

基于PASCO系統(tǒng)設(shè)計(jì)了受周期外力驅(qū)動(dòng)的混沌擺，采用轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器采集數(shù)據(jù)，并用Matlab進(jìn)行了數(shù)值模擬．基于PASCO系統(tǒng)開(kāi)發(fā)傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)內(nèi)容融合了激光技術(shù)、傳感器技術(shù)、信息存儲(chǔ)和光電技術(shù)應(yīng)用［9－10］等，可以培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Α⒎治雠c研究能力，提高創(chuàng)新能力，并使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)和訓(xùn)練過(guò)程中可以檢驗(yàn)自己的能力，展示個(gè)性才華，使綜合實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ玫教岣撸?/p>

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