成泰民， 葛崇員， 李青云

(沈陽(yáng)化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽(yáng)110142)

其中η=J┷/Jz.根據(jù)(8)式、(15)式、(16)式進(jìn)行約化數(shù)值計(jì)算可得反鐵磁自旋鏈的自旋波譜(磁振子譜)特性，如圖1所示.

最近XXZ反鐵磁自旋鏈的研究取得了新進(jìn)展［1-5］.特別是對(duì)于量子信息的傳輸及自旋量子態(tài)的研究領(lǐng)域取得了進(jìn)展［1-2］.對(duì)此體系的解析解，一般利用量子統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行研究.但是對(duì)于低溫下的近似解，通常對(duì)此種理論模型采用雙時(shí)格林函數(shù)方法及“切斷近似法”處理體系的元激發(fā)能譜［6-7］.而后利用其關(guān)聯(lián)函數(shù)的譜強(qiáng)度表示熱力學(xué)格林函數(shù)，用熱力學(xué)格林函數(shù)及體系的宏觀物理量的關(guān)系分析其體系的宏觀物性.此問(wèn)題的關(guān)鍵是元激發(fā)能譜的求解，但是此方法較繁瑣.范洪義創(chuàng)立的不變本征函數(shù)法［8-9］處理只包含算符的二次項(xiàng)的Hamiltonian非常便捷［10］.對(duì)此我們?cè)诜呛?jiǎn)諧近似下，系統(tǒng)地研究低溫下XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜，并討論簡(jiǎn)諧近似與非簡(jiǎn)諧近似下的自旋波譜的變化規(guī)律.這對(duì)進(jìn)一步研究該體系的宏觀物理性質(zhì)具有關(guān)鍵意義.這是因?yàn)轶w系的元激發(fā)能量與體系的內(nèi)能、磁化強(qiáng)度、磁化率等宏觀物理量密切相關(guān).在此文中我們對(duì)微擾相關(guān)的非線性Hamiltonian進(jìn)行以簡(jiǎn)諧近似下自旋波譜的統(tǒng)計(jì)平均線性化近似.

1 XXZ反鐵磁自旋鏈的Hamiltonian及自旋波譜

XXZ反鐵磁自旋鏈由自旋朝上的次晶格與自旋朝下的次晶格嵌套構(gòu)成.設(shè)自旋朝上的次晶格與自旋朝下的次晶格各含有N/2個(gè)磁性原子(或離子).那么根據(jù)雙次晶格模型把XXZ反鐵磁自旋鏈的Hamiltonian表示如下［5，7］:

對(duì)ai及bi進(jìn)行點(diǎn)陣傅立葉變換，

再把(2)式和(3)式代入到(1)式，去掉算符的6次冪項(xiàng)可得:

把(7)式、(8)式代入到(6)式，經(jīng)整理可得:

在(10)式中利用了玻色算符的對(duì)易律

其中η=J┷/Jz.根據(jù)(8)式、(15)式、(16)式進(jìn)行約化數(shù)值計(jì)算可得反鐵磁自旋鏈的自旋波譜(磁振子譜)特性，如圖1所示.

圖1 在2ka=π/2處，XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量差(hvk-hv0k)/(4SJz)隨約化溫度kBT/Jz的變化Fig.1 The change of the spin wave reduced energy's difference of XXZ anti-ferromagnetic spin chain with the reduced temperature kBT/Jzat 2ka=π/2

圖1說(shuō)明，約化溫度kBT/Jz＞0.621 3時(shí)，非簡(jiǎn)諧近似下的反鐵磁自旋鏈的自旋波能量在第一布里淵區(qū)不出現(xiàn)軟化現(xiàn)象，只有硬化現(xiàn)象，這與約化交換積分 η=J┷/Jz無(wú)關(guān).當(dāng) kBT/Jz＜0.621 3時(shí)，反鐵磁自旋鏈在低溫下由磁振子-磁振子耦合作用才能夠引起磁振子(自旋波量子)軟化現(xiàn)象.并且在約化溫度kBT/Jz=0.46附近磁振子軟化最明顯.當(dāng)kBT/Jz＜0.46時(shí)，隨著溫度的升高磁振子軟化逐漸加強(qiáng)，但是約化溫度在0.46＜kBT/Jz＜0.621 3區(qū)域，隨著溫度的升高磁振子軟化逐漸減弱.

圖2為約化交換積分η=0.4時(shí)，在不同的約化溫度(kBT/Jz)下XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量hvk/(4SJz)在第一布里淵區(qū)的變化.

圖2 約化交換積分η=0.4時(shí)，在不同的約化溫度(kBT/Jz)下XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量hvk/(4SJz)在第一布里淵區(qū)的變化Fig.2 When reduced exchange integral η=0.4 the change of the spin waves reduced energy of XXZ antiferromagnetic spin chain in the first Brillouin zone under different reduced temperature(kBT/Jz)

圖2再一次說(shuō)明圖1分析的正確性.把約化交換積分固定為η=J┷/Jz=0.4，在不同的約化溫度下反鐵磁自旋鏈的磁振子譜的變化規(guī)律表明，確實(shí)在kBT/Jz＜0.46時(shí)，隨著溫度的升高磁振子軟化逐漸加強(qiáng).但是約化溫度在0.46＜kBT/Jz＜0.621 3區(qū)域，隨著溫度的升高，在2ka =π/2點(diǎn)磁振子軟化逐漸減弱，而且在布里淵區(qū)的2ka=0、2ka=±π附近出現(xiàn)磁振子硬化現(xiàn)象.當(dāng)kBT/Jz＞0.621 3時(shí)在整個(gè)布里淵區(qū)只有磁振子硬化現(xiàn)象.

圖3、圖4說(shuō)明，在第一布里淵區(qū)，當(dāng)約化溫度η=J┷/Jz=0.4時(shí)，反鐵磁自旋鏈的磁振子譜隨不同的約化交換積分常數(shù)η=J┷/Jz的變化規(guī)律.從而可知當(dāng)約化交換積分η=J┷/Jz越小，體系的磁振子譜整體軟化越明顯.

圖3 約化溫度kBT/Jz=0.4時(shí)，XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量hvk/(4SJz)在第一布里淵區(qū)的變化Fig.3 When reduced temperature kBT/Jz=0.4，the change of the spin waves reduced energy hvk/(4SJz)of XXZ anti-ferromagnetic spin chain in the first Brillouin zone

圖4 約化溫度kBT/Jz=0.4時(shí)，XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量差(hvk-hv0k)/(4SJz)在第一布里淵區(qū)隨約化交換積分η的變化Fig.4 When reduced temperature kBT/Jz=0.4，the change of the spin waves reduced energy's difference(hvk-hv0k)/(4SJz)of XXZ anti-ferromagnetic spin chain with reduced exchange integral η in the first Brillouin zone

2 結(jié)論

利用不變本征算符法研究了XXZ反鐵磁自旋鏈的簡(jiǎn)諧近似下的自旋波能譜，并與統(tǒng)計(jì)平均近似相結(jié)合，進(jìn)一步研究了非簡(jiǎn)諧近似下的XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波能譜.討論了XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜對(duì)各項(xiàng)物理參數(shù)的變化規(guī)律及不變本征算符法適用范圍.

(1)不變本征算符法對(duì)于處理線性近似下的哈密頓量非常便利.但是對(duì)非簡(jiǎn)諧哈密頓量必須處理為線性近似后才容易處理系統(tǒng)的元激發(fā)能量(如磁振子譜等).

(2)XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜與溫度密切相關(guān)，并有2個(gè)轉(zhuǎn)變溫度kBT/Jz=0.46和kBT/Jz=0.621 3.

(3)在低溫(kBT/Jz＜0.46)下，XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜與約化交換積分η=J┷/Jz密切相關(guān).

［1］ Trippe C，Honecker A，Klümper A，et al.Exact Cal-culation of the Magnetocaloric Effect in the Spin-1/ 2 XXZ Chain［J］.Phys.Rev.B，2010，81(5): 054402-1-054402-11.

［2］ Bayat A，Bose S.Information-transferring Ability of the Different Phases of a Finite XXZ Spin Chain［J］.Phys.Rev.A，2010，81(1):012304-1-012304-11.

［3］ Stéphan J M，F(xiàn)urukawa S，Misguich G，et al.Shannon and Entanglement Entropies of One-and Twodimensional Critical Wave Functions［J］.Phys. Rev.B，2009，80(8):184421-1-184421-24.

［4］ Laforencie N，Rieger H，Sandvik A W，et al.Crossover Effects in the Random-exchange Spin-1/2 Antiferromagnetic Chain［J］.Phys.Rev.B，2004，70 (5):054430-1-054430-11.

［5］ Nagaosa N.Quantum Field Theory in Strongly Correlated Electronic Systems［M］.北京:世界圖書出版公司北京公司，2010:1-21.

［6］ 蔡建華，龔昌德，姚希賢，等.量子統(tǒng)計(jì)的格林函數(shù)理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1982:195-227.

［7］ 李正中.固體理論［M］.北京:高等教育出版社，2002:68-70，80，84.

［8］ Fan H Y，Li C.Invariant‘Eigen-operator’of the Square of Schr?dinger Operator for Deriving Energy-level Gap［J］.Phys.Lett.A，2004，321(2):75 -78.

［9］ Fan H Y，Wu H.Deriving Vibrating Modes of Some Multiatom Molecules by Virtue of the Invariant Eigenoperator Method［J］.Modern Physics Letters B，2005，19(26):1361-1366.

［10］成泰民，葛崇員，李青云，等.不變本征算符法計(jì)算各向異性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量［J］.沈陽(yáng)化工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，25(2):170-173.

［11］ Dyson F J.General Theory of Spin-wave Interactions［J］.Phys.Rev.，1956，102(5):1217-1230.

［12］Cheng T M，Li L，Xianyu Z.Magnon-damping in Two-dimensional Heisenberg Ferromagnetic System［J］.Physics Letters A，2006，353(5):431-438.