廖小蓮，伍征斌，陳國華

(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，湖南婁底417001)

矩陣論是代數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，而冪零矩陣作為一類特殊矩陣，具有很多良好的性質(zhì)，它不僅在代數(shù)學(xué)本身中(如文獻(xiàn)［1］)，而且在一些交叉學(xué)科如密碼學(xué)(如文獻(xiàn)［2－3］)中，都具有廣泛的應(yīng)用。目前，對以冪零矩陣為元素的全矩陣代數(shù)的子代數(shù)的研究成為代數(shù)學(xué)研究的中心課題之一。國內(nèi)許多學(xué)者對冪零矩陣的性質(zhì)已有較深入的研究，文獻(xiàn)［4－8］分別對冪零矩陣的一些性質(zhì)進(jìn)行了探討。本文在他們研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討冪零矩陣的性質(zhì)，得到了k－冪零矩陣的一條新性質(zhì)—n階k－冪零矩陣的秩的取值范圍。為了表述的方便，下面先引入幾個定義和符號說明。

定義 1［4］394設(shè) A ∈ Pn×n，若存在正整數(shù) k ，使得 Ak－1≠0，Ak=0，則稱A是冪零指數(shù)為k的冪零矩陣，簡記為k－冪零矩陣。記表示一切 Pn×n中的 k － 冪零矩陣

集合。

定義2的矩陣稱為若當(dāng)塊，其中λ∈P，由若干個塊組成的準(zhǔn)對角矩陣稱為若當(dāng)形矩陣。記為滿足下列條件的若當(dāng)形矩陣J的集合:

定義3［4］395整數(shù)分拆n=n1+n2+… +nm，其中n，ni∈ Z+，1≤ i≤ m，n≥ n1≥n2≥ … ≥ nm≥1，則 n1+n2+…+nm稱為n的以首項(xiàng)為n1的有序分拆，或稱其為n的一個首n1－有序分拆.(這里Z+表示所有的正整數(shù)集)。

1 預(yù)備知識

引理1 (若當(dāng)定理)設(shè)A∈Pn×n，則必存在可逆陣T∈ Pn×n，使得:

T－1AT=J=diag(J(λ1，n1)，…，J(λn，nm)) ，

λ1，…，λn為 A∈ Pn×n的特征值(可能有相同)，稱這樣的J為A的Jordan規(guī)范型。

引理 2［4］395設(shè) J(0，m) =Jm(0，m)=0且 Ji(0，m)≠0，(1≤ i＜ m)。

引理3 數(shù)域P上的k－冪零矩陣A的Jordan規(guī)范型具有形式 diag(J1，…，Jm) ，其中 Jj=J(0，nj) ，1≤j≤m，

2 主要結(jié)果

令 Jm={J ∈|J含有m塊 J(0，k)} ，則 m 的取值范圍為:，記

Jm中一個秩最大的若當(dāng)形矩陣為Mm，則Mm確定n的一個首k－有序分。拆:

其中m為J(0，k)的個數(shù)，m'為 J(0，k－1)的個數(shù)(以下相同情況不再說明)，且 r'滿足 (n－mk)≡r'(mod(k－1))。

事實(shí)上，設(shè)Mm確定n的一個首k－有序分拆:

由于Mm是Jm中秩最大的矩陣，故mk=0或1。

對于任意l∈{1，2，…k－2}，在上述Mm確定n的一個首k－有序分拆中對應(yīng)J(0，l)的個數(shù)為mk+1－l，于是若存在(不妨設(shè)i＜ j)使對應(yīng)J(0，i)，J(0，j) 的個數(shù) mk+1－i，mk+1－j均不為 0，則

即在原Mm確定n的一個首k－有序分拆中，將對應(yīng)J(0，i)，J(0，j) 的個數(shù)均減少1，而 i+j的個數(shù)增加1，顯然

(2)當(dāng)i+j＞ k－1時，記l=i+j－(k－1)，則i+j=l+(k－1)，設(shè)∈Jm，構(gòu)造確定n的一個首k－有序分拆:易得r()=r(Mm)。

同理，若 i＞ j或i=j，則 i+j≤ k－1時，r() =r(Mm)+1);i+j＞k－1時，r()=r(Mm)。

綜上所述，存在Mm確定n的一個首k－有序分拆:

且r'滿足(n－mk)≡r'(mod(k－1))。

mm+1

首先，存在Mm+1確定n的一個首k－有序分拆:

其中 r″滿足(n－m(k+1))≡r″(mod(k－1)) ，所以r(Mm)=m(k－1)+(k－2)+ φ(r)。r(Mm+1)=(m+1)(k－1)+(k－2)+φ(r)

mm+1于是的秩即A的秩的最大取值，而確定n的一個首k－有序分拆，所以r()=(k的最大值，易知存在Jm中的一個矩陣確定n的首k－有序分拆:所以r(A)的最小值為k－1。故A的秩的取值范圍為:k－1≤

特別地，當(dāng) k=2，3 時，有:

文獻(xiàn)［4］的定理1的結(jié)論是本文定理的一種特殊情形。

3 主要結(jié)果應(yīng)用

例1 求4階方陣

的秩。

解:因?yàn)锳3=0，Al≠0，l=1，2.所以A是3冪零矩陣，且4≡1(mo d3)，故r=1，k=3，代入定理的結(jié)論k－1≤秩(A)，得2≤秩(A)≤2，從而秩(A)=2.

［1］劉學(xué)質(zhì).用冪零指數(shù)的分布規(guī)律求Jordan基［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，30(6):1005 －1008.

［2］李殿龍，駱吉洲.基于2－Jordan型冪零陣的Cartesian認(rèn)證碼的構(gòu)造［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2005，35(5):104 －109.

［3］李殿龍，鄭寶東.利用有限域上2－冪零矩陣構(gòu)作Cartesian認(rèn)證碼［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004，17(3):383 －388.

［4］林榮珍，江飛.3－冪零矩陣的相似等價類的計(jì)數(shù)［J］.數(shù)學(xué)研究，2006，39(4):394 －400.

［5］江明星.冪零矩陣的若干性質(zhì)［J］.安徽機(jī)電學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，14(2):77－79.

［6］韓道蘭，羅雁，黃宗文.冪零矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué))2003，24(4):1－3.

［7］鄒本強(qiáng).冪零矩陣的性質(zhì)［J］.science information，2007，(12):150－155.

［8］孫勝先，錢澤平.冪等和冪零矩陣的伴隨陣的反問題［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22(5):114 －116.