呂良軍 郝振莉

(黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 開封 475004)

鄭海務(wù) 尹國(guó)盛

(河南大學(xué)物理與電子學(xué)院 河南 開封 475004)

1 引言

目前，在我國(guó)許多大學(xué)、中小學(xué)都已普及了以電子教案為基體、計(jì)算機(jī)為主體的多媒體教學(xué).教師們大量地采用自編的或公開出版的電子教案教學(xué)，與傳統(tǒng)的“粉筆黑板”式的教學(xué)相比，有多方面的優(yōu)越性，但多以Powerpoint為主,而物理學(xué)中的許多最終結(jié)果和運(yùn)動(dòng)難以用Powerpoint軟件完成.鑒于上面的原因,物理仿真已引起了大家的普遍關(guān)注與研究[1～4].

電磁學(xué)歷來(lái)被國(guó)內(nèi)外大學(xué)生公認(rèn)為大學(xué)物理中難度較大的課程之一,其較深的數(shù)學(xué)理論和場(chǎng)的抽象性使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往有恐懼心理,容易產(chǎn)生畏難情緒.如果按照傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方式,必然會(huì)面對(duì)大量復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和難以繪制的三維圖形,很難引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.Matlab是近些年來(lái)較為流行的一種可視化科學(xué)計(jì)算軟件,其計(jì)算與畫圖功能強(qiáng)大，編程簡(jiǎn)單，將其引入電磁場(chǎng)的課堂教學(xué)中,可以把抽象的場(chǎng)可視化,讓教師和學(xué)生從繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)運(yùn)算中解放出來(lái),將更多的精力放到對(duì)概念的理解和專業(yè)知識(shí)的獲取上.本文通過(guò)幾個(gè)典型例子介紹如何利用Matlab進(jìn)行電磁學(xué)的輔助分析及可視化教學(xué).

2 典型案例

2.1 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)仿真

既有電場(chǎng)又有磁場(chǎng)的情況下，運(yùn)動(dòng)的帶電粒子q在此區(qū)域內(nèi)所受到的作用力應(yīng)為

F=FE+FM=qE+qυ×B

上式通常被稱為洛倫茲力公式.因此，可以利用外加的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，來(lái)控制帶電粒子流的運(yùn)動(dòng)[5].在Matlab中只要采用不同的初始條件和參量就可以觀察到不同的現(xiàn)象.下面程序是q=1.6×10-2、m=0.02的帶電粒子在B=2、E=1的均勻電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)仿真程序和運(yùn)動(dòng)軌跡.

clc；clear；[t,y]=ode45(′ode45_fun4′,[0:0.1:20],[0 0.01 0 6 0 0.01]);

plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5),′linewidth′,2); %畫運(yùn)動(dòng)軌跡

grid on；hold on；n=length(y);

for k=1:n

h=plot3(y(k,1),y(k,3),y(k,5),′.′);

set(h,′color′,[1 0 0],′markersize′,28); %定義帶電粒子的顏色與大小

M(k)=getframe; %獲取單幀

end

movie(M,1) %播放動(dòng)畫

程序運(yùn)行完畢，效果如圖1所示.

圖1 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

2.2 電偶極子電場(chǎng)和等勢(shì)線的分布圖繪制

在電磁理論中，電偶極子是指由間距遠(yuǎn)比場(chǎng)點(diǎn)到它們的距離小得多的兩個(gè)等量異號(hào)電荷組成的系統(tǒng)， 其等位線和電場(chǎng)線的繪制就是課程中較難把握的內(nèi)容[5].其模型是指電荷量為q、相距為l的一對(duì)正負(fù)點(diǎn)電荷所組成，O是兩個(gè)點(diǎn)電荷距離的中點(diǎn)，如圖2所示.在直角坐標(biāo)系中，取偶極子中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，遠(yuǎn)處一點(diǎn)P的電勢(shì)等于兩點(diǎn)電荷電勢(shì)的疊加.

圖2 電偶極子P點(diǎn)電場(chǎng)

在二維直角坐標(biāo)系中，設(shè)在(a,b)處有電荷+q，在(-a,b)處有電荷-q,那么在電荷所在平面上任何一點(diǎn)P(x,y)的電勢(shì)為[2]

其中

電場(chǎng)為

設(shè)電荷電量q=1，a=1，b=0.在Matlab編程如下：

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

[px,py]=gradient(z); %求電勢(shì)在x,y方向的梯度即電場(chǎng)強(qiáng)度

contour(x,y,z,[-12:0.5:12])；hold on；

quiver(x,y,px,py,′k′)

運(yùn)行后可見電偶極子的等勢(shì)線及電場(chǎng)線在二維平面上的分布，如圖3所示.

圖3 電偶極子平面等勢(shì)線及電場(chǎng)線

通過(guò)將抽象的場(chǎng)函數(shù)仿真后，對(duì)場(chǎng)的分布就有了一個(gè)直觀的概念，對(duì)場(chǎng)的性質(zhì)理解起來(lái)也就更加容易.電場(chǎng)線的疏密表示電場(chǎng)的弱強(qiáng)，某點(diǎn)處切線方向表示電場(chǎng)的方向，從而建立起電場(chǎng)線與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的有效聯(lián)系.而且等勢(shì)線與電場(chǎng)線正交，順著電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，電場(chǎng)強(qiáng)度是電勢(shì)的負(fù)梯度等，這些從圖像中都可以得到直接驗(yàn)證.

調(diào)整a的值，可以仿真電偶極子的電勢(shì)三維空間分布：

mesh(x,y,z)；%畫三維網(wǎng)格圖

效果如圖4所示.

圖4 電偶極子的電勢(shì)三維空間分布

2.3 求解電磁學(xué)中微積分問(wèn)題

均勻帶電球面的電場(chǎng)中電勢(shì)的分布[5]，設(shè)球面的半徑為R、總電荷量為q.

圖5 均勻帶電球面的電場(chǎng)中電勢(shì)

整個(gè)球面在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為

根據(jù)圖5，由余弦定理得

代入上面UP式得

上式的積分可用Matlab求解，程序如下：

%利用Matlab求解積分問(wèn)題

clear; syms sigma theta epsilon vartheta

R r %定義符號(hào)變量

Up=int( int(fx, theta,′0′,′pi′),

vartheta,′0′,′2*pi′) %對(duì)函數(shù)求兩次積分

運(yùn)行程序，得

當(dāng)P點(diǎn)在球外，即r>R時(shí)，有

當(dāng)P點(diǎn)在球內(nèi)，即r

2.4 數(shù)值方法及實(shí)現(xiàn)電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算融入教學(xué)

在20世紀(jì)50年代前，計(jì)算電磁場(chǎng)問(wèn)題主要依靠解析法及經(jīng)驗(yàn)公式.然而用解析法求得的解析解并不能完全滿足實(shí)際應(yīng)用中的要求，有些問(wèn)題是難以求得解析解的.因而用數(shù)值法求解電磁場(chǎng)問(wèn)題就越來(lái)越具有優(yōu)越性.利用Matlab軟件可以給出符合需要的結(jié)果和相關(guān)圖像，為電磁場(chǎng)理論教學(xué)和工程實(shí)際起到積極作用.例如等量同號(hào)電荷的電場(chǎng)線的繪制.

由電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電場(chǎng)方向都沿該點(diǎn)電場(chǎng)線的切線方向，所以滿足

引入?yún)⒆兞縯得到

設(shè)二點(diǎn)電荷位于(-2,0)和(2,0)，二電荷電量為q1和q2(數(shù)值計(jì)算時(shí)q=10)，得微分方程

用Matlab數(shù)值計(jì)算解此方程就繪制出電場(chǎng)線(圖6).程序如下：

Clc；Clear；q1=10;q2=10;axis([-5 5 -5 5])；hold on；plot(2,0,′*r′);plot(-2,0,′*r′)

a=(pi/24):pi/12:(2*pi-pi/24);

b=0.1*cos(a);c=0.1*sin(a);

b1=-2+b;b2=2+b;b0=[b1 b2];

c0=[c,c];

for i=1:48

[t,y]=ode45(′ode45_fun3′,[0:0.05:40],[b0(i),c0(i)],[],q1,q2); %微分方程數(shù)值解

plot(y(:,1),y(:,2),′b′) %畫電場(chǎng)線

end

程序運(yùn)行完畢，效果如圖6所示.

圖6 等量同號(hào)電荷的電場(chǎng)線

2.5 處理電磁學(xué)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在霍爾效應(yīng)測(cè)磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)中，為測(cè)某一磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[6]如表1.

表1 霍爾效應(yīng)測(cè)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

Is/mA5.00 6.00 7.00 UH/mV12.897 515.480 018.067 5

clear;IS=1:7;UH=[2.592 5 5.157 5 7.742 5 10.330 0 12.897 5 15.480 0 18.067 5];

KH=13.380 0;UK=UH/KH;n=length(IS);

xjz=mean(IS);yjz=mean(UK);

Lxx=sum(IS.*IS)-1/n*sum(IS)*sum(IS);

Lyy=sum(UK.*UK)-1/n*sum(UK)*sum(UK);

Lxy=sum(IS.*UK)-1/n*sum(IS)*sum(UK);

b=Lxy/Lxx;a=yjz-b*xjz;ISS=0:8;UKK=

a+b*ISS;plot(IS,UK,′O′,ISS,UKK,′-r+′)；

xlabel(′I_S′);ylabel(′U_H/K_H′);legend(′實(shí)測(cè)值′,′擬合直線′);b,a

注：這里也可以用Matlab自帶函數(shù)polyfit直接擬合，命令為polyfit(IS,UK,1).

圖7 霍爾效應(yīng)直線

運(yùn)行結(jié)果：b =0.192 8，a =4.537 7×10-4，即擬合直線如圖7所示.方程為

磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B=0.192 8 T

3 結(jié)束語(yǔ)

利用Matlab進(jìn)行電磁場(chǎng)計(jì)算及可視化教學(xué),簡(jiǎn)化了繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo),將抽象的概念具體化.經(jīng)課堂使用后發(fā)現(xiàn)該方法受到學(xué)生歡迎,并改善了教學(xué)效果.在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究電磁場(chǎng)仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué),鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手用Matlab解決電磁場(chǎng)問(wèn)題,特別是應(yīng)用偏微分方程工具箱在大學(xué)物理電磁學(xué)等各類物理場(chǎng)的數(shù)值仿真.

將Matlab融入到電磁場(chǎng)的教學(xué)中,介紹給學(xué)生用計(jì)算機(jī)計(jì)算和仿真來(lái)學(xué)習(xí)和解決電磁問(wèn)題的方法,從而培養(yǎng)他們采用多種途徑、多個(gè)方法解決問(wèn)題的能力，這正符合了以提高學(xué)生綜合素質(zhì)為目的的教改需要.

參考文獻(xiàn)

1 謝處方，等.電磁場(chǎng)與電磁波.北京: 高等教育出版社,2002

2 彭芳麟.數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法可視化.北京:清華大學(xué)出版社,2004

3 鐘季康，等.大學(xué)物理習(xí)題計(jì)算機(jī)解法——MATLAB編程應(yīng)用.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008

4 何紅雨.電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算法與Matlab實(shí)現(xiàn).武漢：華中理工大學(xué)出版社.2005

5 尹國(guó)盛，等.大學(xué)物理.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2010

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