侯淑蓮 王廣新 趙強 謝寰彤 李石玉
(河北聯(lián)合大學 河北 唐山 063000)
磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging,簡稱 MRI)與X-CT、超聲、SPECT等成像的最大不同是沒有外在的放射源,產生的信號強度沒有與坐標的直接對應關系.MRI利用處于磁場中具有磁矩的氫原子核受到射頻脈沖的激勵后,在接收線圈中產生感生電信號;通過一系列的物理手段使信號既帶有生物組織信息又帶有坐標(位置)信息,然后采集這些信號.用射頻脈沖激發(fā),這涉及到射頻脈沖的類型、幅度、寬度、施加的時刻、持續(xù)的時間.如果把成像斷層分成體素,各體素產生的信號強度依賴于體素內自旋核密度及環(huán)境,采集這些信號還原自旋核密度的空間分布就是實現(xiàn)圖像重建.為了使信號中帶有坐標信息,目前通用的方法是通過施加梯度磁場用頻率去標示這些體素的坐標.這就涉及到梯度磁場施加的方向、時刻、順序、持續(xù)的時間等.其次是信號的采集,是直接采集FID信號還是采集回波,是梯度回波還是自旋回波,在哪一時刻采集,用什么方式采集,要采集反映生物組織哪一方面特征的信息,如何加快采集速度提高信噪比等等.出現(xiàn)了各種各樣的參數(shù)和各種各樣的脈沖序列,使得磁共振成像原理變得異常復雜和難以理解.為了更方便地處理以上問題,使采集到的時間域信號更快地實現(xiàn)模 - 數(shù)轉換,更好地利用在頻率域處理信號簡單、快捷的優(yōu)勢,通過傅里葉變換實現(xiàn)圖像重建引入“k空間”的概念.實際是用計算機存儲數(shù)據(jù)的一個方法.由于它不是一個物理空間,而與成像的物理空間又有非常密切的關系,所以對于初學者來說,k空間既是一個很難理解的概念,又是一個很重要的空間.它是為傅里葉變換圖像重建提供數(shù)據(jù)、提供重要圖像解釋方式的基礎.有了它,不必采用復雜的數(shù)學演算就可以進行脈沖序列的信號強度、組織對比、優(yōu)勢、缺陷以及對應的偽像、分辨率、信噪比的討論.它也是MRI儀器制造過程中的關鍵技術之一.
現(xiàn)行教科書中,k空間的引入大多數(shù)僅限于定性討論,很難深入理解;有的推導雖然注意了科學性與嚴密性,但又太高深,使數(shù)理基礎不太深厚的醫(yī)學專業(yè)的學生理解起來有困難.現(xiàn)嘗試用普通物理學的方法引入k空間,并對其實質給予進一步的分析.
傅里葉變換及逆變換如下
(1)
(2)
時域信號與頻域信號可通過傅里葉變換相互轉化,MRI中坐標是用頻率與相位表示的,所以傅里葉變換圖像重建是MRI的最佳選擇.圖1給出了傅里葉變換圖像重建用頻率表示空間位置的原理.
圖1
(3)
圖2 旋轉磁場在靜止線圈中產生感生電動勢
由此出發(fā)考查一個自旋核一維分布的樣本.設體素沿x方向,自旋核密度為ρ(x),設主磁場B0方向為z方向.由于氫核自旋對于外磁場的取向作用使氫核的基態(tài)能級發(fā)生分裂,使樣本中每一個體素產生沿主磁場方向的磁矩dMz,整個樣本沿主磁場產生的總磁矩為M0,如圖3(a).設沿x方向施加90°射頻(RF)脈沖,則各dMz或M0一方面繞主磁場
圖3 磁共振信號的產生
B0旋進,另一方面繞射頻磁場BRF旋進,如圖3(b),總效果是旋轉著倒向xOy平面(可設倒向y軸),一般忽略弛豫衰減有dMxy=dM0,各體素磁矩同相位,如圖3(c).此后RF結束橫向磁化強度矢量失去射頻脈沖的束縛,自由地在xOy平面旋進,由于局部磁場的差異很快散相即所謂弛豫,產生信號,如圖3(d).為了建立信號的坐標,90°RF后加線性梯度場Gx進行頻率編碼,如圖3(e).頻率編碼的同時,采集時域信號,并把此信號轉化為用k表示的頻域信號數(shù)據(jù),存貯到計算機的一個空間叫做k空間填充,后面有專門的介紹,見圖3(f).設90°RF結束時,t=0,各體素有相同的初相位,且φ0=0,并假設主磁場均勻,不存在橫向分量,則由
ω=γB[3]
(4)
傾倒后的橫向磁化強度矢量dMxy進動頻率為
ω=ω0+Δω=ω0+γGxx
(5)
用頻率標記坐標.設接收線圈法線沿y軸,將dMxy用復數(shù)表示將更方便[3]
dMxy= (dMy+idMx)e-t/T2=
dM0(cosωt+isinωt)e-t/T2=
dM0eiωte-t/T2
(6)
其中e-t/T2為橫向弛豫(衰減)項,t=TE時采集信號.當TE?T2時,可忽略弛豫衰減(也可歸入等效自旋密度之中),所以有dMxy=dM0eiωt.由式(3)可知,信號(感生電動勢)的強度與旋轉角頻率ω成正比,與磁感應強度成正比;在本問題中也就是與磁化強度矢量dM0成正比,而dM0∝自旋核密度ρ(x),每個體素產生的信號
dε∝ρ(x)ω(x)eiωtdx
信號的強度還與弛豫時間、溫度、電子線路、場及其他一些復雜因素有關,但自旋核密度是最基本的成像參數(shù),不存在自旋核的地方不會有信號,其他因素依賴于自旋核密度,把上式寫為等式
dε=Λρ(x)ω(x)eiωtdx
為了研究方便,引入有效自旋密度概念.于是令ρ(x)=Λωxρ作為有效自旋密度,其中Λ為比例系數(shù),包括了影響信號的一些因素,采集到的信號
(7)
積分范圍是自旋核密度不為零的區(qū)域.為了旋進的穩(wěn)定性,射頻脈沖是一個旋轉磁場,其角頻率與dMz繞著主磁場旋進的角頻率相同為ω0.建立旋轉坐標系,與實驗室坐標系z軸相同.若以旋轉坐標系為參考系(相當于信號解調),由
ω=ω0+Δω=ω0+γGx·x
則在旋轉坐標系中,dMxy旋轉的角速度為Δω=γxGx.把相位用角度表示,式(7)變?yōu)?/p>
(8)
負號表示橫向矢量旋進角速度方向與確定相位角(逆時針為正)的方向相反.令kx=γGx·t,量綱為Hz·cm-1,稱做空間頻率,表示沿空間某一方向單位距離內波動的周期數(shù),是一個矢量,又稱為波數(shù).這樣就把時間t隱含到空間頻率之中,式(8)可寫為
(9)
顯然,(9)式恰恰是等效自旋核密度ρ(x)的傅里葉變換式.通過線性變換把用時域信號S(t)表示的采集信號轉化為用頻域信號S(kx)表示出來,把信號與自旋密度聯(lián)系起來.從傅里葉的逆變換則很容易得到自旋核的密度分布,重建圖像
(10)
由以上研究可見,用k標記的信號就是有效自旋核密度沿線性梯度方向的傅里葉變換,變換的變量是空間頻率k,隨時間和梯度強度變化.所以一維空間成像通過頻率編碼用頻率記錄空間位置的信息,用這些以頻率表示的數(shù)據(jù)組成新的結構——k空間.具體形成過程如下:設一維樣本含有Nx個體素,每次采集到的信號是所有體素信號的和,從數(shù)學原理上來說,需有Nx次采集才能解出各體素的信號強度(或密度).在施加頻率編碼持續(xù)時間t2內,在t=τ,2τ,3τ,…以等間隔時間τ連續(xù)采集Nx次,形成Nx個以k表示的數(shù)據(jù)點,組成一行,形成一維的一個數(shù)據(jù)空間,由于用k作變量就稱為k空間,相鄰點間的頻率差為Δω=γGxΔx.顯然以一定順序儲存數(shù)據(jù)S(k)的空間就是k空間.以上是從理論上對傅里葉變換、k空間的物理意義而作的簡化推導,淺顯易懂.在MRI實際制造中,直接把接收到的時域信號S(t)通過傅里葉變換化為頻域函數(shù)
(11)
進行傅里葉空間填充,然后作傅里葉逆變換實現(xiàn)圖像重建,式(11)與式(9)是等價的.
對于二維樣本假設由Nx×Ny個體素構成.要想使每一個體素都具有用頻率表示的坐標,除了在x方向施加線性梯度場Gx頻率編碼外,還要在y方向施加相位編碼線性梯度場Gy,使二維斷面上的體素再獲得用頻率表征的縱坐標.具體過程是RF脈沖后核磁矩倒向y軸,首先,施加相位編碼梯度場持續(xù)時間t1,結束時不同y坐標的體素獲得不同的相位,接著施加頻率編碼梯度場同時采集時間域信號S(t1,t2),轉化成用kx,ky表示的一行數(shù)據(jù),形成k空間的一行,將式(8)應用到二維
S(kx,ky)=?dxdyρ(x,y)e-i2π(kxx+kyy)
(12)
其中
ky=γGy·t1kx=γGx·t2
(13)
積分范圍遍及自旋核存在的區(qū)域.與一維一樣,式(12)是等效自旋核密度ρ(x)的傅里葉變換式,所以對(12)式進行二維傅里葉逆變換即得到有效自旋密度分布函數(shù),實現(xiàn)圖像重建
ρ(x,y)=?S(kx,ky)ei2π(kxx+kyy)dkxdky
(14)
與一維情況一樣,S(kx,ky)可通過采集的時域函數(shù)S(t1,t2)的二維傅里葉變換得到
S(kx,ky)=?S(t1,t2)e-2πi(kxx+kyy)dxdy
(15)
對Nx×Ny體素平面,需要采集到Nx×Ny個信號;所以相位編碼需進行Ny次.現(xiàn)在加相位編碼梯度場的方法是由負向最大等間隔增加到正向最大,一次相位編碼對應一次頻率編碼采集Nx個信號對應k空間的一行,Gy=0對應k空間中央行.相位編碼進行Ny次后,填滿Ny行,組成Nx×Ny的二維k空間.最終圖像重建信號經傅里葉逆變換實現(xiàn),一般經計算機軟件處理來完成.二維傅里葉變換結果一般用復數(shù)表示,其實部作為幅度頻譜表示強度或灰度,虛部為相位頻譜表示坐標.
(1)k空間與成像物理空間
k空間每一個數(shù)據(jù)點都是斷層上所有體素貢獻的.雖然二維空間是由二維數(shù)據(jù)點構成,但并不與物理空間直接對應.k空間內的頻率編碼軸不直接對應最終圖像的頻率編碼軸,頻率編碼軸的左右兩極并不對應MR圖像的左側和右側部分,而是對應此軸線上圖像的細節(jié).但k空間與真實成像平面物理空間是有關系的,若以Δωmax表示成像物體兩端對應的最大頻率差有
Δωmax=γGxNxΔx=γGxFOVx
(16)
上式中,視野(Field of View,FOV)FOVx=NxΔx.設k空間一行中相鄰點間頻率差為Δω,可見要得到同樣Δω,增加磁場梯度即可減小Δx,就是提高了分辨力,增加采集次數(shù)可增大視野.相位編碼方向與x方向類似.又由頻率與周期的倒數(shù)關系可得到同一行中相鄰點之間點距Δkx
(17)
(2)k空間數(shù)據(jù)在圖像重建中的作用
在ky=0的中央行,MR信號是在Gy=0時獲得的,不存在相位編碼梯度磁場產生的散相,信號的幅度也就最大;隨著Gy正負方向的增加,相位編碼梯度磁場引起的散相也開始增加,信號的幅度也就降低了.在x方向也是如此.kx=0時采集的信號正好是每個回波的中心,因而幅度最大;而在k空間的周圍列,MR信號采集時則是回波的旁邊部分.總之,越靠近k空間邊緣,信號越弱.所以k空間中心部分對應的MR信號幅度大,主要形成圖像的對比度.由k空間中的行距Δky和同一行Δkx及Δωx=γGxΔx,Δωy=γΔyGy表明,對于同樣的空間兩點間的距離Δx或Δy梯度場越大,對應的頻率差別越大,則兩點分得越開,分辨率越好.所以對k空間的外圍部分雖然信號幅度低,但能很好的分辨細節(jié),用來產生圖像的分辨率.通過k空間分析磁共振成像已成為最方便最重要的手段.所以k空間是MRI研究中非常重要的空間.
參考文獻
1 E.Mark Haacke,Robert W.Brown,et al著.曾曉莊,包尚聯(lián)譯.核磁共振成像物理原理和脈沖序列設計. 北京:中國醫(yī)藥科技出版社,2007
2 趙凱華,陳熙謀.電磁學. 北京:高等教育出版社,1985
3 俎棟林.核磁共振成像學. 北京:高等教育出版社,2004