郭偉遠(yuǎn)，成賢鍇，白 華

(1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)南京天文光學(xué)技術(shù)研究所，江蘇 南京 210042;2.中國(guó)科學(xué)院天文光學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210042;3.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京 100049)

離子束拋光是近20年來(lái)用在光學(xué)鏡面加工中的一種計(jì)算機(jī)控制光學(xué)表面成形方法［1－2］。光學(xué)鏡面離子束拋光是在真空室中將離子(一般為氬離子)束轟擊到光學(xué)鏡面上，通過(guò)物理濺射去除材料以實(shí)現(xiàn)光學(xué)鏡面加工的方法。

離子束拋光技術(shù)是一種先進(jìn)的加工技術(shù)，是原子量級(jí)上的無(wú)應(yīng)力、非接觸式拋光工藝。拋光過(guò)程由計(jì)算機(jī)控制，具有加工精度高、無(wú)應(yīng)力、加工面非常潔凈無(wú)污染的特點(diǎn)，特別適合加工非球面鏡面、正六邊形鏡面等。在真空室內(nèi)建立二維機(jī)械掃描平臺(tái)，平臺(tái)上安裝長(zhǎng)壽命離子源，離子源產(chǎn)生的離子束流可以通過(guò)能量交換去除部分鏡面材料。通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件控制離子束在鏡面上各點(diǎn)的駐留時(shí)間實(shí)現(xiàn)對(duì)大口徑鏡面的精確修正，可以達(dá)到很高的加工精度。

對(duì)離子束拋光工藝進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，計(jì)算出加工過(guò)程需要的駐留時(shí)間函數(shù)，是此項(xiàng)技術(shù)中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。對(duì)于駐留時(shí)間的求解方法大致分為兩種，一是把卷積運(yùn)算變換成矩陣的乘法運(yùn)算，但變換后的矩陣非常大，影響運(yùn)算速度;二是引入傅里葉變換的方法，但也存在一些問(wèn)題，如容易出現(xiàn)奇異值［3－4］。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)基于上述兩種方法提出了一些優(yōu)化算法［5－8］，取得了一定的效果。本文提出的算法是一種基于實(shí)踐工作中離子束拋光的過(guò)程求解駐留時(shí)間的方法，避免了方法一中變換后矩陣非常大而影響運(yùn)算速度的問(wèn)題，也不會(huì)產(chǎn)生方法二中容易出現(xiàn)奇異值的問(wèn)題。通過(guò)該算法仿真得到的鏡面精度比拋光前提高了很多。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 離子源的運(yùn)動(dòng)模型

離子束拋光示意圖如圖1［9］，離子源的運(yùn)動(dòng)有5個(gè)自由度，分別為沿X、Y、Z軸的平移和繞X、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。拋光時(shí)，離子源打出離子束，電機(jī)帶動(dòng)離子源移到對(duì)應(yīng)于鏡面需要拋光部分的加工位置，然后讓離子源停留一段時(shí)間 (根據(jù)駐留時(shí)間表)，從而實(shí)現(xiàn)鏡面該局部區(qū)域的拋光。

1.2 離子源的掃描方式

如圖2［10］，離子源的掃描方式一般分為兩種，直角坐標(biāo)方式和極軸方式。極軸方式又分為螺旋線掃描和同心圓掃描兩種。一般采用直角坐標(biāo)方式比較合適，因?yàn)檫@種方式的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，分析和實(shí)際運(yùn)用都很方便;而且駐留時(shí)間采用的是矩陣運(yùn)算，這和直角坐標(biāo)方式是對(duì)應(yīng)的。如果用極軸方式掃描，為了和矩陣運(yùn)算相對(duì)應(yīng)，還需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，比較麻煩。

圖1 離子束拋光示意圖Fig.1 Illustration of ion-beam polishing

圖2 直角坐標(biāo)方式與極軸方式Fig.2 The modes of cartesian coordinates and polar axis

1.3 駐留時(shí)間的求解方法

離子束拋光工藝的控制是依據(jù)公式

式(1)中，*為卷積;F(x，y)為離子束的加工函數(shù);t(x，y)為駐留時(shí)間;G(x，y)為去除量函數(shù)。式(2)中Gd(x，y)為待加工鏡面分布數(shù)據(jù);Gl(x，y)為加工完后的鏡面誤差分布數(shù)據(jù)。為了求解駐留時(shí)間，實(shí)際工作中可以根據(jù)測(cè)得的待加工鏡面分布數(shù)據(jù)Gd(x，y)和加工完后的鏡面理想誤差分布數(shù)據(jù)Gl(x，y)，兩者相減得到去除量函數(shù)G(x，y)。再結(jié)合離子束的工作函數(shù)F(x，y)，通過(guò)編程計(jì)算得到駐留時(shí)間t(x，y)。

駐留時(shí)間的常規(guī)求法是通過(guò)傅里葉變換把卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換成矩陣點(diǎn)乘，先把F(x，y)和G(x，y)分別傅里葉變換成Ff(x，y)和Gf(x，y)，用傅里葉變換后的Gf(x，y)點(diǎn)除Ff(x，y)得到tf(x，y)，再把tf(x，y)傅里葉逆變換，解得駐留時(shí)間t(x，y)。這種解法因?yàn)镸ATLAB軟件中有優(yōu)化的算法，所以很便捷，運(yùn)算速度快，缺點(diǎn)是得到的結(jié)果容易出現(xiàn)奇異值，實(shí)際運(yùn)用中要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化［4］。

另一種方法是利用傳統(tǒng)的矩陣運(yùn)算解卷積。其過(guò)程是把卷積運(yùn)算直接按照其計(jì)算法則轉(zhuǎn)換成矩陣的點(diǎn)乘運(yùn)算，然后通過(guò)逆矩陣計(jì)算駐留時(shí)間。缺點(diǎn)是轉(zhuǎn)換后的矩陣非常大，占據(jù)計(jì)算機(jī)很多資源，運(yùn)算時(shí)間很長(zhǎng)。

本文提出的算法是通過(guò)工作實(shí)踐的。實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)離子束修正鏡面的過(guò)程就是執(zhí)行公式(1)的卷積運(yùn)算。參照加工過(guò)程，提出一種求解駐留時(shí)間的新的矩陣算法——分步消去法。通過(guò)計(jì)算機(jī)程序，先把待加工鏡面的誤差分布函數(shù)矩陣、離子束工作函數(shù)矩陣和一個(gè)與鏡面誤差函數(shù)矩陣一樣大小的空的駐留時(shí)間函數(shù)矩陣存起來(lái)，然后仿照離子束拋光的工作方式，用離子束的工作函數(shù)(一般情況下，這個(gè)函數(shù)矩陣比鏡面的誤差函數(shù)矩陣小得多)在鏡面誤差函數(shù)上試“加工”，根據(jù)誤差的大小在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)“停留”一段時(shí)間，把這個(gè)停留時(shí)間值記到駐留時(shí)間函數(shù)矩陣中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)上，同時(shí)把該時(shí)間段的去除量從鏡面誤差函數(shù)中減去。這樣周而復(fù)始，把計(jì)算得到的駐留時(shí)間累加到對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，直到鏡面函數(shù)的誤差小于預(yù)定值，就得到了完整的駐留時(shí)間函數(shù)。

這個(gè)過(guò)程只用到矩陣運(yùn)算中的加法和減法，所以運(yùn)算過(guò)程非常簡(jiǎn)單，對(duì)計(jì)算機(jī)資源的要求也很低。這種算法具體又可以分為順序分步消去、最高點(diǎn)分步消去和分層順序分步消去3種。

最高點(diǎn)分步消去法是每次找鏡面誤差分布函數(shù)矩陣的最大值點(diǎn)，用離子束的加工函數(shù)矩陣對(duì)以鏡面最大值點(diǎn)為中心的相同大小的鏡面分布數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行減法運(yùn)算，在鏡面誤差分布數(shù)據(jù)矩陣對(duì)應(yīng)各點(diǎn)位置上減去相應(yīng)的去除量，得到新的鏡面分布數(shù)據(jù)矩陣;相應(yīng)地在駐留時(shí)間矩陣上對(duì)應(yīng)于鏡面最大值點(diǎn)處加上加工時(shí)間，得到新的駐留時(shí)間矩陣;直到鏡面的最大值點(diǎn)低于規(guī)定值則停止加工，得到完整的駐留時(shí)間矩陣和拋光后的面型。

順序分步消去法是用離子束的加工函數(shù)矩陣從鏡面分布數(shù)據(jù)矩陣的左上角開(kāi)始加工，每次加工完后向右移一小格繼續(xù)加工，如果到了右邊界，則向下移一小格再?gòu)淖蟮接乙来渭庸?，加工過(guò)程同最高點(diǎn)分步消去法。

這兩種分步消去法的結(jié)合就是分層順序分步消去法，先根據(jù)鏡面需要去除的量適當(dāng)?shù)胤謱?，然后在每一層上用順序分步消去法?/p>

分步消去法具有一定的創(chuàng)新性，避免了常規(guī)求法中奇異值的出現(xiàn)，可按照設(shè)定的鏡面精度要求得到相應(yīng)的駐留時(shí)間矩陣，具有較好的可控性。理論上可以證明，這種算法與標(biāo)準(zhǔn)的矩陣算法是完全一致的。

2 實(shí)驗(yàn)仿真

分步消去法中有兩個(gè)參數(shù)是要預(yù)先設(shè)定的。一個(gè)參數(shù)是每次離子束拋光的去除量，這個(gè)值設(shè)定得越小，加工后的精度越高，不過(guò)卻需要更長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)運(yùn)算仿真。另一個(gè)參數(shù)是判斷加工結(jié)束的鏡面臨界高度。圖3為一塊鏡面加工前的面型。

圖3 加工前的鏡面面型Fig.3 Mirror surface before polishing

圖4為最高點(diǎn)分步消去法加工后的鏡面面型與駐留時(shí)間，鏡面面型的Ra值大約是原來(lái)的1/94，Rms值大約是原來(lái)的1/97，PV值大約是原來(lái)的1/59。

圖4 最高點(diǎn)分步消去法加工后的鏡面面型與駐留時(shí)間Fig.4 Mirror surface(left)after polishing with the method of stepwise elimination of error-matrix peaks and corresponding dwell time(right)

圖5為順序分步消去法加工后的鏡面面型與駐留時(shí)間，鏡面面型的Ra值大約是原來(lái)的1/38，Rms值大約是原來(lái)的1/23，PV值大約是原來(lái)的1/11。

圖5 順序分步消去法加工后的鏡面面型與駐留時(shí)間Fig.5 Mirror surface(left)after polishing with the method of sequential stepwise elimination and corresponding dwell time(right)

圖6為分層順序分步消去法加工后的鏡面面型與駐留時(shí)間，鏡面面型的Ra值大約是原來(lái)的1/384，Rms值大約是原來(lái)的1/339，PV值大約是原來(lái)的1/94。

圖6 分層順序分步消去法加工后的鏡面面型與駐留時(shí)間Fig.6 Mirror surface(left)after polishing with the method of hierarchical stepwise elimination and corresponding dwell time(right)

3 結(jié)論

3種方法加工后的鏡面面型相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 3種方法加工后的鏡面面型相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters of the mirror surfaces after polishing with the three methods

用最高點(diǎn)分步消去法算得的駐留時(shí)間矩陣中時(shí)間是離散的點(diǎn)，即不是矩陣上每一個(gè)點(diǎn)都要加工，這和該方法是一致的，因?yàn)樽罡唿c(diǎn)分步消去法是每次找鏡面的最高點(diǎn)加工，是離散的加工而不是連續(xù)的加工。在最高點(diǎn)加工的過(guò)程中，把最高點(diǎn)周?chē)拇胃唿c(diǎn)也加工了，所以導(dǎo)致有些點(diǎn)沒(méi)有駐留時(shí)間。而實(shí)際加工過(guò)程必須是連續(xù)的，這些零值點(diǎn)也或多或少會(huì)被加工，解決的辦法是把駐留時(shí)間矩陣上各點(diǎn)都加上一個(gè)值，這樣就避免了離子束跳躍性的加工了，加工時(shí)離子束可以平滑地移到需要加工的點(diǎn)停留一段時(shí)間進(jìn)行加工，然后再移至下一需要加工的點(diǎn)。

用順序分步消去法算得的駐留時(shí)間矩陣中的時(shí)間是連續(xù)的點(diǎn)，即相鄰點(diǎn)之間很平滑，差值不大，整個(gè)加工過(guò)程中離子束可以平滑地移動(dòng)加工。駐留時(shí)間的三維圖和待加工鏡面的三維圖很相似，這和實(shí)際加工過(guò)程是吻合的。

比較上述4種方法可以看出，最高點(diǎn)分步消去法的算法效率比較高，加工后的面型精度高，缺點(diǎn)是駐留時(shí)間不夠平滑，實(shí)際加工得作相應(yīng)處理。順序分步消去法的駐留時(shí)間很平滑，便于實(shí)際加工，但算法效率比較低。分層順序分步消去法加工后的面型精度很高，駐留時(shí)間的平滑度介于前兩者之間。由上可以看出矩陣分步消去法是一種行之有效的算法。

在實(shí)際的鏡面加工過(guò)程中，如果鏡面在上一個(gè)加工環(huán)節(jié)后面型不好，導(dǎo)致面型出現(xiàn)鄰近點(diǎn)高度值差很大的情況，離子束拋光的效果會(huì)很不理想。在這種情況下，可以重復(fù)上一個(gè)加工環(huán)節(jié)，使鏡面達(dá)到較好的面型再進(jìn)行離子束拋光;或者通過(guò)減小離子束束斑來(lái)縮小局部加工范圍，降低面型不好造成的影響。但后者無(wú)法在本質(zhì)上解決影響，除非離子束束斑趨于無(wú)限小。該算法已經(jīng)在五軸控制系統(tǒng)中模擬運(yùn)行了，效果良好，待整機(jī)裝配好后將做進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)。

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