黃修長，徐時吟，張志誼，華宏星

(上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

基于頻響函數(shù)綜合的艙筏隔振系統(tǒng)靈敏度分析和優(yōu)化

黃修長，徐時吟，張志誼，華宏星

(上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

利用頻響函數(shù)綜合方法，推導了浮筏隔振系統(tǒng)連接點的位移，給出基座上的力和輸入到基座的功率流對浮筏隔振系統(tǒng)的上、下層隔振器的剛度和阻尼的設計靈敏度表達式，并分別以最小化某一頻段內(nèi)輸入到基座的功率流和傳遞到基座的力的均方值為優(yōu)化目標，結合靈敏度分析方法，對上、下層隔振器的剛度進行了優(yōu)化。優(yōu)化結果表明，基于子結構靈敏度分析的方法是一種有效的優(yōu)化方法，以最小化傳遞到基座的力的均方值為優(yōu)化目標得到的隔振器的最優(yōu)剛度不能同時使輸入到基座的功率流有很大的衰減。

靈敏度分析和優(yōu)化;頻響函數(shù)綜合;艙筏隔振系統(tǒng)

靈敏度是結構特征參數(shù)(特征值，特征向量和頻響函數(shù)矩陣、阻抗矩陣)對結構參數(shù)(其它設計變量，如剛度，阻尼，局部質量和局部剛度)的改變率。進行靈敏度分析可以指導設計者如何修改結構參數(shù)，以使系統(tǒng)的總體動態(tài)特性改變最為有效。通過求得目標函數(shù)對參數(shù)的靈敏度，在靈敏度最大的方向進行搜索就可以最快的速度接近最優(yōu)的目標。靈敏度方法由于概念清楚、使用方便，廣泛應用于機械系統(tǒng)設計及模型修正中。

在工程中，常用的結構靈敏度分析有結構響應的靈敏度分析、結構特征值和特征向量的靈敏度分析［1］。在進行靈敏度分析時，采用的模型有解析模型、基于有限元分析得到的模態(tài)模型以及通過實驗測得的頻響函數(shù)模型。靈敏度的求解方法包括有限差分法(包括中心差分法以及向前差分法)、對設計變量直接求偏導的解析和半解析方法［2］。

基于頻響函數(shù)綜合的子結構方法是對組合結構進行建模的最有效方法之一。有許多學者使用頻響函數(shù)綜合方法推導了結構動力系統(tǒng)的靈敏度，并應用于工程問題中。Chang和Park［3］利用鏈式微分法則推導了多個子結構綜合時的子結構導納靈敏度，并成功用于結構的動力修正。Lee等人［4］利用基于頻響函數(shù)的子結構方法對汽車的傳動系統(tǒng)和副車架－彈性連接元件－車身結構進行了動力學建模，并對彈性連接元件的剛度和阻尼(彈性連接元件的阻抗數(shù)據(jù)采用試驗手段獲得)進行靈敏度分析，以某一頻段內(nèi)內(nèi)部噪聲最小為優(yōu)化目標，求得滿足約束條件下的最優(yōu)值。在文獻［5］中，Lee將該方法推廣到了多個子結構相互連接的情況，利用子結構之間界面上的力對設計變量的直接偏導求得任意子結構的響應的靈敏度。在Lee的方法中，需要對整個結構的頻響函數(shù)矩陣進行求逆，容易產(chǎn)生數(shù)值誤差。從他們的研究中可以得出兩點結論:①基于子結構靈敏度分析的方法不需要進行模態(tài)分析，可直接利用導納數(shù)據(jù)進行分析;② 導納數(shù)據(jù)可以是實測的導納數(shù)據(jù)或者是通過計算得到(有限元)的導納數(shù)據(jù)。

國內(nèi)一些研究者針對浮筏隔振系統(tǒng)的建模和優(yōu)化也做了許多研究。徐張明［6］利用ANSYS和SYSNOISE對浮筏隔振系統(tǒng)的振動和聲輻射響應進行計算，求得浮筏隔振系統(tǒng)中結構聲學頻響函數(shù)的靈敏度，并以要求得到的頻響函數(shù)為目標函數(shù)，以支撐剛度為設計變量，對隔振系統(tǒng)進行了優(yōu)化設計。吳廣明［7］提出了一種新的利用子結構的模態(tài)參數(shù)進行建模的子結構方法，并在這個方法的基礎上推導了隔振系統(tǒng)功率流的靈敏度，給出一種新的將遺傳算法和靈敏度分析相結合的混合遺傳算法，以輸入到基座的功率流為目標，對隔振系統(tǒng)的上、下層隔振器的剛度和阻尼進行了參數(shù)優(yōu)化設計。

本文在上述研究的基礎上，采用基于頻響函數(shù)綜合的子結構方法對浮筏隔振系統(tǒng)進行建模，將由動力設備－浮筏裝置－艇體組成的復雜系統(tǒng)分解為若干個子結構。在建模中，將浮筏彈性體和艇體彈性基礎的子結構以頻域中的頻響函數(shù)模型表示，其中頻響函數(shù)模型可以通過數(shù)值方法或者解析方法計算得到，也可以從試驗數(shù)據(jù)中獲取，同時利用阻抗矩陣表示隔振器動態(tài)模型，最后運用基于子結構的頻響函數(shù)的綜合方法得到系統(tǒng)總的頻響函數(shù)矩陣。在這種建模方法的基礎上，本文推導了浮筏隔振系統(tǒng)子結構中連接點的位移，給出基座上的力和輸入到基座的功率流對子結構動態(tài)參數(shù)(如剛度和阻尼)的靈敏度表達式，并利用靈敏度對子結構動態(tài)參數(shù)進行約束條件下的多目標多參數(shù)優(yōu)化。本文方法的優(yōu)點是，需要求逆的矩陣維數(shù)大大降低，僅對包含界面自由度的頻響函數(shù)矩陣求逆，并通過SVD分解減小數(shù)值病態(tài)，計算量大大減少。

1 基于子結構的導納靈敏度方法

本節(jié)從基于頻響函數(shù)的子結構方法出發(fā)，推導結構響應對子結構動態(tài)參數(shù)的靈敏度表達式。浮筏隔振系統(tǒng)由機組，上層隔振器，浮筏，下層隔振器和基礎組成，其中基礎為帶內(nèi)部基座的加筋圓柱殼體。基座連接點受到由機組激勵引起的動態(tài)力的作用，最終導致圓柱殼體振動。在對浮筏隔振系統(tǒng)利用基于頻響函數(shù)的子結構方法進行建模時，需要進行兩次子結構綜合，即先對浮筏和基礎進行綜合，再進行基礎－浮筏綜合體和機組剛體的綜合，分別如圖1(a)和圖1(b)所示。

圖1 (a)浮筏和基礎綜合示意圖;(b)基礎－浮筏綜合體和機組剛體綜合示意圖(圖中A代表浮筏子結構，B代表基座子結構，D代表機組子結構，N1為上層隔振器的數(shù)目，N3為下層隔振器的數(shù)目，i代表綜合時的內(nèi)點，c代表浮筏上的連接點，代表基座上的連接點)Fig.1(a)The synthesis process of raft and base;(b)The synthesis process of raft-base and machine)(A:raft;B:base;D:machine.N1:number of upper springs;N3:number of lower springs.i:internal points;c:coupling points on raft;coupling points on base)

在每次綜合時，假設浮筏，基座和機組上與該層隔振器相連的點為連接點，不與該層隔振器相連的點為內(nèi)點，對于浮筏，基座和機組，其頻響函數(shù)表達式為:其中:x代表位移向量，f代表力向量，H為對應點與點之間的頻響函數(shù)矩陣，下標i表示內(nèi)點對應的頻響函數(shù)，下標c表示連接點對應的頻響函數(shù)。上標SUB為A時代表浮筏子結構，為B時代表基座子結構，為D時代表機組子結構。

對于隔振器，采用阻抗矩陣表示如下:

其中:x代表位移向量，f代表力向量，Z為阻抗矩陣，下標表示隔振器的上部連接點，下標表示隔振器的下部連接點。下標ISO為1時代表下層隔振器，為2時代表上層隔振器。考慮隔振器安裝的角度，通過變換矩陣可以得到:

在進行基座－浮筏綜合體和機組剛體的第2次綜合時，機組上的質心點作為機組的內(nèi)點，外力通過剛體的平移旋轉矩陣轉換到機組質心;基座－浮筏綜合體的內(nèi)點是浮筏下部以及基座上的下層隔振器的連接點，機組和基座－浮筏綜合體通過上層隔振器連接起來。由頻響函數(shù)綜合的結果可知浮筏－基座的綜合體和機組的綜合結果為:

其中每個子矩陣可以由頻響函數(shù)的綜合結果得到。假設只有機組上有外力作用，對應于，其他子結構上沒有外力作用，并且外力和結構參數(shù)沒有關系，則浮筏和基座位移對應的子矩陣是:

由(5)可以得到浮筏下部連接點對上、下層隔振器剛度的靈敏度表達式為:

假設隔振器阻抗矩陣采用剛度k和結構阻尼系數(shù)η表達，即:

2 以振動傳遞特性、功率流為目標的艙筏聲學性能優(yōu)化設計

功率流同時考慮了傳遞到基座的力以及激起的速度響應的影響，從能量的角度更加全面地評價隔振系統(tǒng)的性能;此外，聲輻射的能量在基座結構沒有阻尼的情況下取決于輸入到基座的能量的大小，因此對輸入到基座的功率流進行優(yōu)化可以減少聲輻射的能量。另一方面，低頻時線譜對遠場聲壓的貢獻很大，而傳遞到基座的力是直接影響到遠場聲輻射的激勵，因此減小激勵力所對應的頻率處輸入到基座的力可以減少該頻率線譜的聲輻射。因此本文分別以某一頻段內(nèi)輸入到基座的功率流最小和傳遞到基座的力的均方值最小為優(yōu)化目標，結合靈敏度分析方法，對上、下層隔振器的剛度進行了優(yōu)化。將指定的正弦激勵頻率段離散成m個激勵頻率點，要求在此頻段內(nèi)傳入基礎的功率流為Pi之和極小或者傳遞到基座的力的均方值極小，同時滿足相應的靜力和動力約束條件，其優(yōu)化模型可以由下式表達:

式中xp為設計變量，可為隔振器剛度、隔振器阻尼等，和分別為xp的下限和上限。利用以上的靈敏度分析的方法，沿著靈敏度方向進行搜索就可以最快的方向得到最優(yōu)的目標值。

3 數(shù)值驗證

對一雙機組浮筏隔振系統(tǒng)(圖2)，利用本文提出的靈敏度分析方法求解靈敏度，和有限中心差分法的結果進行對比，并利用求得的靈敏度進行參數(shù)優(yōu)化。

該浮筏隔振系統(tǒng)機組1和2的質心為坐標分別為(0，1.0，1.0)和(0，1.0，2.0)，質量為 499 kg，轉動慣量為(13.3，13.3，13.3)，每個機組下面的隔振器數(shù)目為 4個，浮筏與基座之間的隔振器數(shù)目為6個，上、下層隔振器的剛度均為2×106N/m，3×106N/m，結構阻尼系數(shù)為0.02，隔振器的連接點位置如表1所示?；透》さ念l響函數(shù)是由ANSYS計算得到的模態(tài)疊加得到，假設激勵施加在機組1的點(0，1.2，1)上，沿著全局坐標系的y方向，大小為1 N。由于浮筏隔振系統(tǒng)的能量主要通過垂向力傳遞，因此本文僅考慮垂向自由度。

圖2 數(shù)值算例示意圖Fig.2 Model for numerical simulation

表1 隔振器參數(shù)Tab.1 Parameters for lower and upper springs

將子結構導納靈敏度的結果和直接由向前有限差分法求得的靈敏度的結果進行比較，以下給出部分結果(圖3－圖4)，所有的結果中，帶◇的結果為有限中心差分法計算得到的結果。

基于圖2所示的模型，由于激勵力的頻率為25 Hz，分別以21 Hz－31 Hz之內(nèi)輸入到基座的功率流最小以及傳遞到基座的所有力的均方值最小為優(yōu)化目標，設計變量為上下層隔振器的14根彈簧的剛度，并且假設上、下層隔振器的剛度值的變化范圍不超過目前剛度值的10%。優(yōu)化結果顯示，在以輸入到基座的功率流最小和以傳遞到基座的所有力的均方值最小為優(yōu)化目標的優(yōu)化迭代過程中，分別迭代了24次和13次。圖5－7給出了設計變量的變化趨勢圖以及優(yōu)化目標的變化趨勢圖。

從以上優(yōu)化結果可以看出，總體趨勢是下層隔振器的彈簧越軟，傳遞到基座的均方力和輸入到基座的功率流均向著降低的方向移動，這和以前的許多研究結果是一致的［6，7］。對于上層隔振器，彈簧編號為1－4的彈簧是和激勵機組相連的，編號為5－8的彈簧是和另外一個非激勵機組相連。在兩種優(yōu)化情況下，與激勵機組相連的彈簧的剛度值越低，輸入到基座的功率流和傳遞到基座的均方力均越小，與非激勵機組相連的彈簧的剛度值越高，輸入到基座的功率流和傳遞到基座的均方力均越小，這和［7］的研究結果是一致的:此時非激勵機組相當于整個浮筏隔振系統(tǒng)的一個動力吸振器，非激勵機組與浮筏的連接彈簧的剛度值越大，由［7］，輸入到非激勵機組的功率則越大，由能量守恒，傳遞到基座的功率會降低。

圖8給出了在初始剛度和兩種優(yōu)化情況下的最優(yōu)剛度時，在0 Hz－150 Hz之內(nèi)輸入到基座的功率流和傳遞到基座的所有力的均方值隨頻率的變化趨勢。從圖中可以看出:以輸入到基座的功率流最小為優(yōu)化目標時，輸入到基座的功率流在所要求優(yōu)化頻段內(nèi)會大大降低，但是在其他頻段內(nèi)會惡化，以傳遞到基座的所有力的均方值最小為優(yōu)化目標得到的隔振器的最優(yōu)剛度值不能使得輸入到基座的功率流有很大的降低。以傳遞到基座的所有力的均方值最小為優(yōu)化目標時，傳遞到基座的所有力的均方值在所有頻段內(nèi)會大大降低，但是在優(yōu)化頻段內(nèi)以輸入到基座的功率流最小為優(yōu)化目標得到的隔振器的最優(yōu)剛度值能夠提供更優(yōu)的結果。并且在所允許的剛度值范圍內(nèi)，對浮筏隔振系統(tǒng)固有頻率(即功率流的峰值)的影響不是很大。

圖8 三種剛度情況下0 Hz－150 HzFig.8(a)Power transmission to base between 0－150Hz(b)Mean－square force transmitted to base between 0－150Hz

4 結論

本文給出了一種基于子結構頻響函數(shù)矩陣的子結構導納靈敏度方法，詳細推導了浮筏隔振系統(tǒng)子結構中連接點的位移、通過隔振器的力、輸入到基座的功率流等對結構參數(shù)的靈敏度矩陣表達式，并結合靈敏度分析對結構參數(shù)進行有約束條件下的多目標多參數(shù)優(yōu)化。

通過推導和分析，可以得出基于子結構的導納靈敏度方法具有以下優(yōu)點:

(1)基于子結構的靈敏度分析方法不需要進行模態(tài)分析，直接對導納數(shù)據(jù)進行分析;

(2)導納數(shù)據(jù)可以是實測的導納數(shù)據(jù)或者是計算得到(有限元)的導納數(shù)據(jù);

(3)該方法將隔振器采用阻抗矩陣單獨表示，在綜合時求逆的矩陣維數(shù)大大降低，僅需要對包含界面自由度在內(nèi)的頻響函數(shù)矩陣求逆，在進行靈敏度分析時僅需要對隔振器進行求偏導，大大減小了計算量。

分別以某一頻段內(nèi)輸入到基座的功率流最小和傳遞到基座的最大的力最小為優(yōu)化目標，結合靈敏度分析方法，對一個典型浮筏隔振系統(tǒng)的上、下層隔振器的剛度進行了優(yōu)化。利用以上的靈敏度分析的方法，沿著靈敏度方向進行搜索就可以最快的方向得到最優(yōu)的目標值。研究結果表明子結構導納靈敏度方法是一種有效的優(yōu)化方法。

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Design sensitivity analysis and optimization of a floating raft system using a FRF-based substructuring method

HUANG Xiu-chang，XU Shi-yin，ZHANG Zhi-yi，HUA Hong-xing

(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China)

A general method for design sensitivity analysis of forces and power flow of base in a typical floating raft system was presented using a FRF-based substructuring formulation.The proposed method gave an expression of design sensitivity in terms of partial derivatives of physical parameters of upper and lower isolators as well as transfer functions of substructures.An optimization scheme involving the derived sensitivity formula was used to obtain optimal physical parameters of isolators of the floating raft system to minimize the mean-square forces transmitted to the base and the timeaveraged power flows to the base，respectively.The simulation results demonstrated that the proposed method is efficient and accurate，and minimization of force transmissibility does not certainly provide a minimum power flow.

sensitivity analysis and optimization;FRF-based substructuring method;floating raft system

TB535

A

十一五預研項目資助

2009－12－15 修改稿收到日期:2010－11－04

黃修長 男，博士生，1983年10月生