吳 琛，周瑞忠

(1.福建工程學(xué)院 土木工程系，福州 350108;2.福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福州 350108)

長周期結(jié)構(gòu)地震瞬態(tài)反應(yīng)研究

吳 琛1，周瑞忠2

(1.福建工程學(xué)院 土木工程系，福州 350108;2.福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福州 350108)

傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論通常認(rèn)為地震瞬態(tài)反應(yīng)可以忽略?；诤喼C地震反應(yīng)的基本理論，引進(jìn)小波包分解技術(shù)，推導(dǎo)了實(shí)際地震動(dòng)作用下，多自由度體系瞬態(tài)反應(yīng)的計(jì)算方法。分析了等效單自由度體系的反應(yīng)譜特性以及瞬態(tài)振動(dòng)的規(guī)律。明確了長周期結(jié)構(gòu)的最大位移可能出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)瞬態(tài)振動(dòng)中，其值甚至超過結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)期間所發(fā)生的共振位移。通過實(shí)際地震動(dòng)作用下長、短周期結(jié)構(gòu)瞬態(tài)反應(yīng)的比較，表明短周期結(jié)構(gòu)主要由穩(wěn)態(tài)振動(dòng)控制，而長周期受瞬態(tài)振動(dòng)影響顯著。因此，長周期結(jié)構(gòu)抗震不僅要避免共振發(fā)生，還須充分考慮到結(jié)構(gòu)瞬態(tài)振動(dòng)的位移破壞。

振動(dòng)與波;長周期結(jié)構(gòu);瞬態(tài)反應(yīng);小波包分析;反應(yīng)譜

傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論［1］認(rèn)為，由于阻尼的影響，由自由振動(dòng)和伴生自由振動(dòng)構(gòu)成的瞬態(tài)自由振動(dòng)隨時(shí)間很快就消失了，因此通常不予討論，而只強(qiáng)調(diào)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的作用。關(guān)于這一點(diǎn)，近期的研究［2－4］以簡諧荷載為輸入，經(jīng)位移解析解分析認(rèn)為，當(dāng)激震頻率相對結(jié)構(gòu)自振頻率較大時(shí)，瞬態(tài)自由振動(dòng)可以引起結(jié)構(gòu)很大的位移反應(yīng)，因而對于長周期高柔結(jié)構(gòu)或基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)而言，瞬態(tài)振動(dòng)不能被簡單地忽略。

簡諧震動(dòng)的位移解析解為地震瞬態(tài)反應(yīng)的研究提供了理論基礎(chǔ)。但在工程實(shí)踐中，研究結(jié)構(gòu)的實(shí)際地震反應(yīng)才更具有實(shí)用價(jià)值。問題的難點(diǎn)在于:實(shí)際地震動(dòng)是一種典型的寬頻帶非平穩(wěn)信號(hào)，地震反應(yīng)無法如簡諧荷載般用解析解來表示。當(dāng)采用數(shù)值計(jì)算時(shí)，所得的計(jì)算結(jié)果為全解，無法區(qū)分瞬態(tài)反應(yīng)與穩(wěn)態(tài)反應(yīng)，因此結(jié)構(gòu)的地震瞬態(tài)反應(yīng)在計(jì)算方法上具有一定的難度。本文將利用小波包分解［5］可將任意寬頻帶信號(hào)分解成若干個(gè)窄帶頻率成分之線性疊加的強(qiáng)大功能，以簡諧地震反應(yīng)為理論基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)長周期結(jié)構(gòu)在實(shí)際地震作用下的瞬態(tài)反應(yīng)計(jì)算與分析。

1 地震瞬態(tài)反應(yīng)的解析數(shù)值求法

為利用簡諧波瞬態(tài)反應(yīng)的解析法求解，現(xiàn)將地震動(dòng)通過小波包分解成若干個(gè)頻率的線性疊加。對每個(gè)分量按照小波包系數(shù)進(jìn)行線性調(diào)幅，從而將各分量擬合成簡諧波。于是，在小波空間內(nèi)可建立k振型等效單自由度體系的簡諧振動(dòng)方程:

經(jīng)推導(dǎo)，方程(1)的k振型等效單自由度體系位移yk(t)由三部分組成:

至此，小波空間內(nèi)等效單自由度體系在擬合簡諧波作用下的瞬態(tài)反應(yīng)yk1(t)+yk2(t)已得解，進(jìn)而通過一次線性調(diào)幅的逆過程即可實(shí)現(xiàn)小波空間到物理空間的映射。然后將各小波包分量產(chǎn)生的分項(xiàng)位移進(jìn)行線性疊加，即可獲得等效單自由度體系的瞬態(tài)反應(yīng)與穩(wěn)態(tài)反應(yīng)。

對于彈性多自由度體系而言，其動(dòng)力計(jì)算可利用各振型相互正交的特性轉(zhuǎn)化為若干個(gè)等效單自由度體系的問題。于是，N自由度體系i質(zhì)點(diǎn)的瞬態(tài)位移xti(t)和穩(wěn)態(tài)位移xsi(t)可分別表達(dá)為:

其中γk為第k振型的參與系數(shù)，Xki為振型幅值。

2 等效單自由度體系瞬態(tài)反應(yīng)分析

現(xiàn)以福州地區(qū)一座基本自振周期T1=2.10 s的27層長周期結(jié)構(gòu)為例分析瞬態(tài)反應(yīng)對長周期結(jié)構(gòu)的影響。輸入峰值為35 gal的Taft波，持時(shí)10 s，將其經(jīng)過8層“db4”小波包分解，并利用小波變換可安全有效地濾去地震動(dòng)超高頻成分，提高信噪比的特點(diǎn)［6］，選取其中前30個(gè)分量參與計(jì)算，這30個(gè)分量經(jīng)重構(gòu)后仍能較好地反映原始地震波的基本特性，如圖1所示。

2.1 等效單自由度體系反應(yīng)譜研究

圖1 Taft地震波及小波包分量重構(gòu)信號(hào)Fig.1 Taft earthquake and the reconstructed signal by wavelet packet components

抗震設(shè)計(jì)所關(guān)注的主要是結(jié)構(gòu)在地震作用下的最大反應(yīng)，反應(yīng)譜恰好表現(xiàn)出了這一要求，至于最大反應(yīng)究竟發(fā)生在結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)階段還是瞬態(tài)振動(dòng)階段，當(dāng)采用傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法時(shí)并不明確。在本文解析數(shù)值解法的基礎(chǔ)上，現(xiàn)以結(jié)構(gòu)第一自振周期T1與小波包分量振動(dòng)周期Tg之比為橫坐標(biāo)，分別繪制等效單自由度體系位移全解、瞬態(tài)解和穩(wěn)態(tài)解的反應(yīng)譜圖，見圖2。

圖2 等效單自由度體系位移全解、瞬態(tài)解、穩(wěn)態(tài)解反應(yīng)譜Fig.2 Response spectra of equivalent SDOF system for complete solution，transient solution and steady state solutions

由圖可見:

(1)三類反應(yīng)譜均在共振區(qū)出現(xiàn)峰值，這與動(dòng)力學(xué)及抗震理論的共振原理完全相符。

(2)全解反應(yīng)與瞬態(tài)反應(yīng)在長周期段的最大位移隨結(jié)構(gòu)基本自振周期的增長而增大，當(dāng)T1?Tg時(shí)，結(jié)構(gòu)的最大位移甚至可超過共振體系的最大位移。可見，大位移不僅可能發(fā)生在共振體系中，還可能發(fā)生在外載頻率較高，結(jié)構(gòu)基本自振頻率較低的長周期體系中。

(3)在長周期段，瞬態(tài)反應(yīng)譜的形態(tài)與全解反應(yīng)譜大致相同，而穩(wěn)態(tài)反應(yīng)譜則趨于一個(gè)小值常數(shù)，說明了當(dāng)?shù)卣饎?dòng)高頻分量極為豐富時(shí)，長周期結(jié)構(gòu)的最大位移往往出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)振動(dòng)階段，因而必須充分考慮到瞬態(tài)反應(yīng)對長周期結(jié)構(gòu)的影響。

2.2 等效單自由度體系瞬態(tài)反應(yīng)計(jì)算與分析

為討論外載頻率較高時(shí)長周期體系瞬態(tài)振動(dòng)的影響，現(xiàn)在30個(gè)小波包分量中，選取周期Tg≈0.32 s的高頻分量作用于上述長周期結(jié)構(gòu)各振型對應(yīng)的等效單自由度體系，按本文方法計(jì)算其位移瞬態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解。圖3顯示了第1、3、5階等效單自由度體系的計(jì)算結(jié)果。為驗(yàn)證本文推導(dǎo)公式(2)～(4)之正確性，將瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)疊加之總位移與Duhamel積分?jǐn)?shù)值全解進(jìn)行了比較。

圖3 第1、3、5階等效單自由度體系位移瞬態(tài)解、穩(wěn)態(tài)解、全解及Duhamel積分?jǐn)?shù)值解Fig.3 The transient solution，steady state solution and complete solution of No.1，No.3＆No.5 equivalent SDOF syst

由該圖可見:

(1)本文所提供的解析數(shù)值法能有效地從位移全解中區(qū)分出瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，二者疊加后與Duhamel積分結(jié)果基本吻合，說明該方法是有效的。

(2)當(dāng)?shù)卣饎?dòng)高頻分量作用于第一振型時(shí)，等效單自由度體系的瞬態(tài)反應(yīng)幅值較大且衰減緩慢，總位移的形態(tài)與幅值更接近于瞬態(tài)振動(dòng)?？梢姡?dāng)高頻地震動(dòng)作用于低階振型(Tj?Tgi)時(shí)，該等效體系的位移主要受控于瞬態(tài)振動(dòng)。

(3)當(dāng)?shù)卣饎?dòng)高頻分量作用于第三振型時(shí)，瞬態(tài)解約在4 s處衰減完畢，4 s內(nèi)瞬態(tài)振動(dòng)對于總位移的影響不可忽略，同一時(shí)刻穩(wěn)態(tài)位移與總位移在方向以及幅值上的差異正是由于瞬態(tài)振動(dòng)的存在引起的;當(dāng)?shù)卣饎?dòng)高頻分量作用于第五振型時(shí)，瞬態(tài)解約在1.5 s處就衰減完畢，說明此時(shí)瞬態(tài)振動(dòng)對總位移的貢獻(xiàn)幾乎可以忽略?？梢?，隨著振型階次的提高，瞬態(tài)反應(yīng)的衰減越來越快，位移的振動(dòng)由受瞬態(tài)反應(yīng)控制逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槭芩矐B(tài)與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的共同影響，最后轉(zhuǎn)變?yōu)槭芊€(wěn)態(tài)振動(dòng)控制。由于低階振型特別是第一階振型為結(jié)構(gòu)振動(dòng)提供了最主要的能量［7］，因此當(dāng)激震頻率較高時(shí)，長周期結(jié)構(gòu)受瞬態(tài)反應(yīng)的影響是很大的。

抗震基本原理［8］認(rèn)為:由于地震波在由震源向外擴(kuò)散傳播時(shí)，高頻分量衰減快而低頻分量衰減慢，因此當(dāng)長周期柔性建筑物處在大地震、遠(yuǎn)震中距時(shí)，易與低頻地震動(dòng)分量產(chǎn)生共振，其震害往往要比處于中小震級(jí)、近震中距時(shí)嚴(yán)重。然而在近年來的幾次大地震中，近場地震動(dòng)對長周期結(jié)構(gòu)都產(chǎn)生了不同于理論的顯著影響。通常我們將這種現(xiàn)象歸因于近場地震動(dòng)中的低頻分量對長周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了共振［9］，但經(jīng)過以上分析，還必須注意到，在近斷層場地，地面結(jié)構(gòu)主要受到地震動(dòng)中體波的影響。體波中含有豐富的縱波和橫波分量，其中縱波的周期短，振幅小，而橫波的周期較長，振幅較大。盡管振幅較小的縱波本身不會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的位移反應(yīng)，但如果再與橫波造成的結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)進(jìn)行疊加，那么高頻分量豐富的體波對地面結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)影響將是十分顯著的。

3 長、短周期結(jié)構(gòu)瞬態(tài)反應(yīng)比較

現(xiàn)將峰值為35 gal的Taft波分別輸入上述基本自振周期T1=2.10 s的27層長周期結(jié)構(gòu)和一座T1=0.22 s的3層短周期結(jié)構(gòu)中，按本文方法分別計(jì)算長、短周期結(jié)構(gòu)在實(shí)際地震動(dòng)作用下的頂層瞬態(tài)反應(yīng)與穩(wěn)態(tài)反應(yīng)，并將疊加后的總位移與傳統(tǒng)振型分解法進(jìn)行比較，見圖4、圖5。

如圖可見:

(1)采用本文所述的解析數(shù)值法進(jìn)行結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算，由瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)疊加之總位移與傳統(tǒng)振型分解法的結(jié)果是相近的，說明采用本方法討論結(jié)構(gòu)瞬態(tài)振動(dòng)的影響是可行的。

(2)在實(shí)際地震動(dòng)作用下，短周期結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)振動(dòng)因阻尼的存在而迅速衰減，頂層位移的形態(tài)與幅值更接近于穩(wěn)態(tài)解，說明短周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主要由穩(wěn)態(tài)反應(yīng)控制，正如動(dòng)力學(xué)理論所述，此時(shí)瞬態(tài)反應(yīng)可以不考慮;但在長周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)中，瞬態(tài)振動(dòng)對于結(jié)構(gòu)變形的形態(tài)、幅值、方向都起著至關(guān)重要的作用。特別是對于考慮了基底隔震的結(jié)構(gòu)，其周期遠(yuǎn)大于原基礎(chǔ)固定結(jié)構(gòu)的周期［10］，因而，瞬態(tài)反應(yīng)在總地震反應(yīng)中的作用是不可忽略的。

4 結(jié)論

(1)本文利用小波包分解將地震信號(hào)分解成有限窄帶信號(hào)，并通過線性調(diào)幅擬合簡諧波形，借助簡諧地震反應(yīng)解析解實(shí)現(xiàn)等效單自度體系瞬態(tài)反應(yīng)與穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的分離，最后通過振型疊加及小波包分量疊加，求得結(jié)構(gòu)在實(shí)際地震動(dòng)作用下的分項(xiàng)位移，這一方法為地震瞬態(tài)振動(dòng)的研究奠定了基礎(chǔ)。嚴(yán)格說來，幅值調(diào)整和線性疊加等方法只適合于線性時(shí)不變系統(tǒng)。但基于結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的分項(xiàng)定量計(jì)算目前尚無其他計(jì)算方案可資比較，并且非線性彈性階段仍可以用分段線性作為計(jì)算依據(jù)，因此，本文方法仍具有較大的工程實(shí)用意義。如何進(jìn)一步增強(qiáng)對非線性反應(yīng)的適應(yīng)性、實(shí)現(xiàn)在實(shí)際工程中的合理應(yīng)用將是我們下一步的工作，以期真正對工程設(shè)計(jì)有所裨益。

(2)從等效單自由度體系的反應(yīng)譜來看，對于基本自振周期遠(yuǎn)大于激震卓越周期的長周期結(jié)構(gòu)而言，最大反應(yīng)不僅可能發(fā)生在共振情況下，還可能發(fā)生在自由瞬態(tài)振動(dòng)階段。因此，長周期結(jié)構(gòu)抗震不僅要避免共振發(fā)生，還須充分考慮到瞬態(tài)自由振動(dòng)階段的位移破壞。

(3)在高頻分量豐富的體波作用下，長周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)主要受控于瞬態(tài)振動(dòng)，隨振型階次的提高，位移的振動(dòng)逐漸由受瞬態(tài)反應(yīng)控制過渡到受穩(wěn)態(tài)振動(dòng)控制。由于低階振型為結(jié)構(gòu)振動(dòng)提供了最主要的能量，因此，高頻分量引起了長周期結(jié)構(gòu)很大的位移，該位移甚至超過結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)期間所發(fā)生的共振位移，這是除共振外，近場地震動(dòng)頻頻引發(fā)中心城市高層建筑破壞的重要原因之一。

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Earthquake transient response of a long period structure

WU Chen1，ZHOU Rui-zhong2

(1.Department of Civil Engineering，F(xiàn)ujian College of Technology，F(xiàn)uzhou 350108，China;2.College of Civil Engineering，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350108，China)

The transient response of a structure is usually ignored in traditional dynamic analysis.Based on the theory of harmonic earthquake response and wavelet packet analysis，the transient vibration of a MDOF system subjected to real earthquake ground motion was studied.Response spectra and transient vibration rules of the equivalent SDOF system were analyzed.It was concluded that the maximum displacement of a long period structure may occur in transient vibration and its value is greater than its resonance displacement.By comparing the transient response of a long period building with that of a short period one，it was shown that short period structures are mainly controlled by steady state vibration and the effects of transient vibration on a long period structure is prominent.Therefore，transient displacement and resonance one should be considered in earthquake-resistant design of long period structures.

vibration＆wave;long period structure;transient response;wavelet packet analysis;response spectra

TV312

A

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2010J05103);福建省教育廳A類科研項(xiàng)目(JA08173);福建工程學(xué)院引進(jìn)人才科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(GY－Z0804)

2009－09－08 修改稿收到日期:2010－03－29

吳 琛 女，博士，1978年生