張永平， 魯亞男

(沈陽(yáng)化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽(yáng)110142)

李超三系作為一種代數(shù)體系，最初源于解物理上的Yang-Baxter方程.Susumu Okubo在研究Yang-Baxter方程的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了這個(gè)體系，并將其命名為李超三系.李超三系與其他諸多代數(shù)體系相聯(lián)系，尤其與李超代數(shù)關(guān)系極為密切.由文獻(xiàn)［1］可知，李超代數(shù)可生成李超三系.目前對(duì)quasi-classical李超三系已有文章對(duì)其進(jìn)行研究.但對(duì)李超三系的結(jié)構(gòu)、導(dǎo)子、表示論等一系列問(wèn)題的研究還不夠完善.本文對(duì)李超三系的結(jié)構(gòu)做了一些研究.

1 李超代數(shù)及三系的定義

定義1［2］如果超代數(shù)L=L0－⊕L1－有一個(gè)括積運(yùn)算［，］滿(mǎn)足如下條件:

則被稱(chēng)為一個(gè)李超代數(shù).

定義2［3］一個(gè)Z2-階化向量空間V被稱(chēng)為一個(gè)李超三系，如果它有一個(gè)三角積［4］:V⊕V⊕V→V滿(mǎn)足如下條件:

其中，σ(x)表示x的階化次數(shù)，指數(shù)上的x表示x的階化次數(shù).

2 相關(guān)的等式

通過(guò)應(yīng)用(4)式對(duì)(6)式做適當(dāng)?shù)淖冃?，可得如下幾個(gè)等式:

再應(yīng)用(5)、(7)、(8)、(9)式，有

其中，Q、R是(10)式中前4項(xiàng)通過(guò)(u，v)，(x，y)，(z，k)的循環(huán)得到.

3 李超三系的實(shí)現(xiàn)

由文獻(xiàn)［1］可知，在李超代數(shù)L上令［x，y，z］=［［x，y］，z］，則L在此定義下是一個(gè)李超三系.下面將說(shuō)明任意一個(gè)李超三系均可由這種方法得到.

需要說(shuō)明向量空間L=V⊕V×V可以構(gòu)成一個(gè)李超代數(shù).

3.1 定義的合理性

在L中，如果?a，b∈V，定義

如果?a，b，c，d∈V，定義

如此定義的［，］是雙線性的.

在(12)式中，左邊若每一個(gè)因子是零，那么右邊也是零.因?yàn)樵O(shè)∑［a，b］=0，根據(jù)商空間定義∑a×b∈R，由R的定義得∑［a，b，c］=0.因此，(12)式的定義是合理的，即單值的.

類(lèi)似可證，(13)、(14)式的定義也是合理的.

定義L中的一般乘法運(yùn)算［u，v］，a，b，c，d，e，f∈V，

令u=a+∑［b，c］，v=d+∑［e，f］，定義

由(12)～(14)式可知此定義是合理的.

3.2 驗(yàn)證L是一個(gè)李超代數(shù)

首先，說(shuō)明3.1中的定義［，］是反對(duì)稱(chēng)的，即需驗(yàn)證?a，b，c，d∈V時(shí)下面等式成立.

在李超三系中有

［a，b，x］=－(－1)ab［b，a，x］，即

［a，b，x］=－(－1)ab［b，a，x］=0，

則有

所以(15)式成立.

由(12)和(13)式可知(16)式成立.

將(17)式變形，得到

由(7)式可知(17)式成立.

其次，說(shuō)明Jacobi等式成立.需要考慮4種情形:

1)所有的元素均在V中;

2)兩個(gè)元素在V中，一個(gè)元素是［a，b］的形式;

3)一個(gè)元素在V中，兩個(gè)元素是［a，b］的形式;

4)所有元素均是［a，b］的形式.

第1種情形:?a，b，c∈V，由(12)式，有［［a，b］，c］=［a，b，c］，再由(5)式直接可得到

第2種情形:?a，b，c，d∈V，需要證明

將其變形得

由(8)式可知上式成立.

第3種情形:u=［a，b］，v=［c，d］，w=e，?a，b，c，d，e∈V，需要證明

將其變形得

由(9)式可知上式成立.

第4種情況:u=［a，b］，v=［c，d］，w=［e，f］，?a，b，c，d，e∈V，需要證明

將其變形得

其中，Q、R是上式中前4項(xiàng)通過(guò)(a，b)，(c，d) (e，f)的循環(huán)得到.

由(10)式可知上式成立.

綜上所述及文獻(xiàn)［1］，得到下面定理:

定理 李超代數(shù)與李超三系是一一對(duì)應(yīng)的.

［1］ Okubo S.Parastatistics as Lie-supertriple Systems［J］.J.Math.Phys，1994，35(6):2785－2803.

［2］ Kac V G.Lie Superalgebras［J］.Advances in Mathematics，1977，26:8－96.

［3］ Okubo S，Kamiya N.Quasi-Classical Lie Superalgebras and Lie Supertriple Systems［J］.Communications in Algebra，2002，30(8):3825－3850.

［4］ Okubo S.Triple Products and Yang-Baxter Equation (Ⅱ):Orthogonal and Symplectic Ternary Systems［J］.J.math.phys.，1993，34(7):3292－3315.