王紹符 張喜榮

(河北大學(xué) 河北 保定 071002) (保定學(xué)院 河北 保定 071000)

阿基米德原理和帕斯卡定律是我們?cè)偈煜げ贿^的了，但是對(duì)這些知識(shí)的認(rèn)識(shí)，從概念的界定(何為“浮力”，何為“加在”液體上的壓強(qiáng)等等)，到定律(原理)的適用條件，卻一直存在著歧見.筆者也曾對(duì)此進(jìn)行過探討[1～2]，但都比較孤立，缺少系統(tǒng)地聯(lián)系.現(xiàn)在從靜液壓強(qiáng)形成的知識(shí)系統(tǒng)高度來審視，這些問題突然都變得簡單、明朗起來.

1 靜液壓強(qiáng)的形成

液體(包括氣體，以下同)的壓強(qiáng)是怎樣形成的？中外教科書歷來(直到現(xiàn)在)對(duì)此的描述都存在一些瑕疵與疏漏，正因?yàn)槿绱瞬旁斐闪朔椒矫婷娴幕靵y.

我們從教科書上得到的印象是，“重力是使液體產(chǎn)生壓強(qiáng)的唯一原因”，即所謂壓強(qiáng)的“重力解釋”.很多版本教科書對(duì)液體壓強(qiáng)的描述都是與固體相類比，說：“液體在容器里，就像一摞書放在桌子上一樣，書有重量對(duì)桌子有壓力和壓強(qiáng)；液體也有重量，因而對(duì)容器的底也有壓力和壓強(qiáng)；又因?yàn)橐后w能流動(dòng)，所以對(duì)器壁也有壓力和壓強(qiáng)”.就這樣，液體的“壓強(qiáng)是由重量產(chǎn)生的”在人們的頭腦中就深深地扎下了根，因而也就埋下了后患無窮的種子[3].

其實(shí)這種謬誤并不難破解，你只要認(rèn)真思考“沒有重量，液體就真的沒有壓強(qiáng)了嗎？”答案是顯然的；“沒有重量，液體也會(huì)有壓強(qiáng).”在失重狀態(tài)下的水滴，表面張力會(huì)將其束縛成球形，發(fā)生擠壓而產(chǎn)生壓強(qiáng).對(duì)于封閉在針管里的藥液，活塞和管壁等作用在藥液表面上的力，也會(huì)使藥液發(fā)生擠壓而產(chǎn)生壓強(qiáng).玩具氣球中的氣體受氣球橡膠膜對(duì)氣體表面的束縛作用，也會(huì)使氣體發(fā)生擠壓而產(chǎn)生壓強(qiáng)(此例中重力的作用微乎其微).很明顯除了重力以外表面力也是液體形成壓強(qiáng)的因素.可見上述教科書的描述是不恰當(dāng)?shù)?，至少說是片面的.

液體屬于彈性體，彈性體在發(fā)生形變時(shí)要產(chǎn)生應(yīng)力.一般彈性體的形變有多種形式，如拉伸、壓縮、彎曲、扭轉(zhuǎn)、剪切等等，各種形變的發(fā)生，都會(huì)伴隨著在彈性體內(nèi)產(chǎn)生相應(yīng)的應(yīng)力.然而液體只有體形變，也就是擠壓形變，相應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)力就是壓強(qiáng).宏觀地說壓強(qiáng)所描述的是液體的“擠壓程度”，這就是對(duì)液體壓強(qiáng)的“彈性解釋”.其實(shí)，早在200多年以前，玻意耳(1627～1791年)就提出了氣體壓強(qiáng)的彈性解釋.

只要是能使液體發(fā)生擠壓，就能使之產(chǎn)生壓強(qiáng)，重力是一種因素，但不唯一，表面力也是一種因素(還有其他如離心場力等，但已不是本文討論的范圍).但是不管是重力還是表面力首要的是要使液體發(fā)生擠壓形變才能產(chǎn)生壓強(qiáng)， 即

“力”與“擠壓(形變)”以及“壓強(qiáng)(應(yīng)力)”在概念上是三個(gè)層階，“力”與“壓強(qiáng)”之間還隔著一個(gè)“擠壓”層階，也就是說重力并不直接導(dǎo)致壓強(qiáng)(同樣，表面力也不能直接導(dǎo)致壓強(qiáng)).如此說來所謂的液體壓強(qiáng)的“重力解釋”與“彈性解釋”也不在一個(gè)層階上.

2 壓強(qiáng)的形成與壓強(qiáng)的計(jì)算

初中各種版本教科書在講解液體壓強(qiáng)時(shí)，幾乎無例外地都是借助于圖1所示裝置的實(shí)驗(yàn)得出如下結(jié)論.

圖1

各向同性——靜止的液體內(nèi)部各點(diǎn)，向各個(gè)方向都有壓強(qiáng)，且在同一點(diǎn)上向各方向的壓強(qiáng)大小相等.

水平分布均勻——同一深度(同一水平)各點(diǎn)壓強(qiáng)大小相等.

豎直分布不均——隨著深度的增加壓強(qiáng)增大.

上述實(shí)驗(yàn)是定性的，下面將從形成液體壓強(qiáng)的表面力和重力等因素分層次地、循序地來探討液體壓強(qiáng)的定量計(jì)算.

2.1 只考慮重力(不考慮表面力)

如圖2所示，在密度為ρ的液體中， 劃出了一個(gè)上下粗細(xì)均勻，截面積為S的豎直液柱.液柱由液面至深h處.深h處的壓強(qiáng)設(shè)為p.不考慮表面力，只考慮重力.已知液柱在側(cè)面所受各方向液體的水平壓力，大小相等相互平衡.在豎直方向受向下的重力G和向上的液體的壓力pS，由于液體處于靜止平衡狀態(tài)，故而可知

pS=G

即

pS=ρghS

從而可得

p=ρgh

(1)

這也就是各種版本初中教科書中所給出的唯一的液體壓強(qiáng)計(jì)算公式.這樣一個(gè)不考慮表面力的公式，具有片面性(只是相對(duì)壓強(qiáng))，使用不慎就會(huì)落入陷阱[3].

但是，這個(gè)公式卻說明了液體壓強(qiáng)的“豎直分布不均——隨著深度的增加壓強(qiáng)增大”，正是重力作用的結(jié)果，這也是浮力存在和阿基米德原理成立的根源所在.

圖2

重力與表面力不同，重力作用的特點(diǎn)是分散作用于物體組成的每個(gè)細(xì)小部分，這就是說重力屬于徹體力，也叫體積力或質(zhì)量力.重力使液體沿豎直方向?qū)訉訑D壓，越往下擠壓程度越甚，而在水平方向則擠壓程度相同.其結(jié)果是在同一水平各處壓強(qiáng)大小相等，而沿豎直方向越往下壓強(qiáng)越大.

計(jì)算式(1)體現(xiàn)了壓強(qiáng)形成的重力因素.

2.2 只考慮表面力(不考慮重力)

圖3

假設(shè)液體不受重力，從而可以只考慮表面力的作用.如圖3所示，所劃出來的上下粗細(xì)均勻，截面積為S的豎直液柱，在側(cè)面水平方向所受周圍液體的壓力相互平衡.豎直方向受兩個(gè)力：一個(gè)是上表面所受外力向下的壓力，大小為p外S，另一個(gè)是下表面所受液體向上的壓力，大小為pS.液體靜止，則此二力為平衡力，故有

pS=p外S

從而可得

p=p外

(2)

不難想到，所劃液柱不論在什么深度，所得結(jié)果都是一樣的.

這就是說表面外力使液體內(nèi)部產(chǎn)生的壓強(qiáng)“分布均勻，處處大小相等，且與外力作用在表面上的壓強(qiáng)大小相等”.這也正是帕斯卡定律的實(shí)質(zhì)所在.

計(jì)算式(2)體現(xiàn)了壓強(qiáng)形成的表面力因素.

2.3 既考慮重力又考慮表面力

真實(shí)液體(有重力存在，也有表面力存在)的情景如圖4所示.密度為ρ的液體靜止在容器中，1與2是在豎直方向高度差為h的兩個(gè)點(diǎn).

圖4

想像在液體中劃出一個(gè)上下粗細(xì)均勻、截面積為S的豎直液柱.液柱的上底面在點(diǎn)1處，下底面在點(diǎn)2處，且都與液體表面平行.液柱在側(cè)面水平方向所受液體的壓力相互平衡.在豎直方向受三個(gè)力： 一是受重力，其大小為G=ρghS，二是上底面所受液體向下的壓力，大小為p1S，三是下底面所受液體向上的壓力，大小為p2S.由于液體靜止，根據(jù)平衡條件可知

p2S-p1S=ρghS

即p2-p1=ρgh

(3)

式(3)叫做歐拉靜液平衡方程或壓強(qiáng)差公式.壓強(qiáng)差公式對(duì)靜止平衡的液體普遍適用，式(1)和式(2)是壓強(qiáng)差公式在一定條件下的應(yīng)用.只可惜在我國初高中教科書中不講這個(gè)公式，只講在特定條件下成立的式(1).

不難想像，即使點(diǎn)1取在液面上，式(3)依然成立.若只考慮重力不考慮表面力，即令p1=0，則

p2=ρgh

此即式(1).

若只考慮表面力不考慮重力，即令g=0，則

p2=p1

此即式(2).

若在同一水平面上，即令h=0則

p2=p1

這表示“水平分布均勻——同一深度(同一水平)各點(diǎn)壓強(qiáng)大小相等.”

計(jì)算式(3)全面體現(xiàn)了壓強(qiáng)形成的重力因素和表面力因素.

3 對(duì)帕斯卡定律的解讀

審視這個(gè)全面反映靜液壓強(qiáng)形成的壓強(qiáng)差公式，即式(3)，若保持液體內(nèi)任意兩點(diǎn)的高度差h不變(這意味著靜止、平衡、不流動(dòng))，則ρgh=恒量，即

p2-p1=恒量

在此條件下，在點(diǎn)1處另外再增加一個(gè)壓強(qiáng)Δp1,則在點(diǎn)2處跟著也會(huì)增加一個(gè)壓強(qiáng)Δp2，根據(jù)(3)式，有

(p2+Δp2)-(p1+Δp1)=ρgh

比較以上各式，則可知

Δp2=Δp1

這就是帕斯卡定律.這個(gè)定律通常表述為：“加在密閉液體上的壓強(qiáng)，能夠大小不變地傳遞到液體內(nèi)各處.”

這個(gè)表述很含糊以致引起了不少麻煩.但是與液體壓強(qiáng)的形成聯(lián)系起來，問題就變得非常簡單，一些混亂也就迎刃而解了.

3.1 適用條件

靜止平衡的液體.靜止平衡的液體才符合“任意兩點(diǎn)的高度差h不變”這個(gè)條件，上述定律表述中的“密閉液體”當(dāng)屬此意.像虹吸現(xiàn)象等流動(dòng)的液體不適于應(yīng)用此定律.

3.2 傳遞的壓強(qiáng)

對(duì)于已經(jīng)處于靜止平衡的液體，“另外再”增加的壓強(qiáng)才是被傳遞的壓強(qiáng)，定律表述中的“加在……上的壓強(qiáng)”當(dāng)屬此意.形成平衡的原有壓強(qiáng)不在此列.“傳遞……”只是通俗說法，實(shí)際是在液體內(nèi)各處都各自“增加……”

3.3 忽略重力

在表面力遠(yuǎn)大于重力的情況下(如萬噸水壓機(jī))，帕斯卡定律可以表述為：“由表面外力產(chǎn)生的壓強(qiáng)，能夠按照它原來的大小‘傳遞’到液體內(nèi)各處.”[4]這里所說‘傳遞’的壓強(qiáng)，不再限于 “另外”所加， “原有”的形成平衡的壓強(qiáng)也在此列；液體在密閉的容器內(nèi)可以移動(dòng)，不再限制“任意兩點(diǎn)的高度差h不變”，這里的“密閉”又有了新意.

如果重力不能忽略，在水壓機(jī)的小活塞上加向下的壓力，若大活塞不動(dòng)，則在大活塞處增加的壓強(qiáng)遵從帕斯卡定律；若大活塞上升，則不能應(yīng)用帕斯卡定律；如果重力能夠被忽略，則不管大活塞是否移動(dòng)，都適用帕斯卡定律.

這些問題，如果不是從靜液壓強(qiáng)形成的系統(tǒng)知識(shí)高度來審視是很難說清楚的.

4 對(duì)阿基米德原理的解讀

當(dāng)初阿基米德在他所著《論浮體》中的表述是：“物體在液體中減輕的重量,等于排去液體的重量.” 在現(xiàn)在的教科書中阿基米德原理通常表述為：“浸在液體(或氣體)里的物體，受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被該物體排開的液體所受的重力.” 這些表述都是來自實(shí)驗(yàn)，直到今天在初中物理的教學(xué)中仍然是通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證這一原理的成立，并根據(jù)原理的表述寫出下列表達(dá)式

F浮=ρV排g

(4)

這里不涉及浮力產(chǎn)生的機(jī)理.

4.1 浮力的本質(zhì)與浮力產(chǎn)生的原因

浮力概念最初來自生活中的感受，人的直覺感知物體在水中受到向上托的力，或說減輕了重量.

從液體壓強(qiáng)形成的系統(tǒng)探討可知，物體在液體中所以會(huì)受到浮力，是因?yàn)橐后w壓強(qiáng)豎直分布不均.在液體中的物體，下面所受到的向上的壓力大于上面所受到的向下的壓力.這個(gè)液體的向上的壓力與向下的壓力之差(或者說液體壓力的合力)就是浮力.這就是浮力的本質(zhì)所在.

從液體壓強(qiáng)的形成來看，壓強(qiáng)豎直分布不均完全是重力作用的結(jié)果，所以說產(chǎn)生浮力的根本原因是重力——這是多數(shù)教科書中始終沒有說清楚的問題.

4.2 浮力的計(jì)算

既然浮力是液體對(duì)物體的向上的壓力與向下的壓力之差，那么我們就可以很容易根據(jù)式(3)也就是壓強(qiáng)差公式對(duì)浮力進(jìn)行計(jì)算.

可以設(shè)想，一個(gè)規(guī)則的立方體物塊，豎直放在液體中，其高度為h,上下底面(橫截面)與液面平行，大小為S.則此物塊所受浮力

F浮==p下底S-p上底S=(p下底-p上底)S

由壓強(qiáng)差公式

p下底-p上底=ρgh

可得

F浮=(p下底-p上底)S=ρghS==ρgV

V為物塊排開液體的體積, 此即上述式(4).對(duì)于不規(guī)則物體，根據(jù)壓強(qiáng)差公式，用積分的方法，亦可以得到同樣的結(jié)果[5].

4.3 浮力的界定與阿基米德原理的適用條件

浮力的嚴(yán)格界定應(yīng)該是符合阿基米德原理所規(guī)定的力.與液體壓強(qiáng)的形成聯(lián)系起來，有關(guān)浮力的界定和阿基米德原理的適用條件得以澄清.

(1)并非物體所受液體壓力的合力都是浮力——浮力的方向是豎直向上的，物體受液體壓力的合力不是豎直向上的，不能認(rèn)作浮力.

下列情形可以認(rèn)定物體受浮力，并適于應(yīng)用阿基米德原理：物體浮在液面上，一部分在液面以上，另一部分在液面以下；物體完全浸沒在液體之中，或浮于兩種液體的界面處，而周圍被液體所包圍.

水底的樹樁、橋墩以及固著于岸壁上凸入水中的巖石等等，均不能認(rèn)為受到了浮力，也不能應(yīng)用阿基米德原理計(jì)算.

(2)并非物體所受液體向上向下壓力差都是浮力——用水封閉在豎直管子中的氣泡，雖然上下都有水，但周圍不是被水包圍，所受向上向下壓力差也不符合阿基米德原理所規(guī)定的浮力.由此可知，現(xiàn)在教學(xué)中流傳的“乒乓球漏斗實(shí)驗(yàn)”并不能說明浮力的產(chǎn)生原因.

(3)阿基米德原理的適用條件——阿基米德原理屬于流體靜力學(xué)范疇，適用于靜止?fàn)顟B(tài)的液體(或氣體)，且在液體(或氣體)中的物體對(duì)液體(或氣體)無明顯相對(duì)運(yùn)動(dòng).對(duì)于游動(dòng)的魚等只能近似地應(yīng)用阿基米德原理.

從歷史上來說，阿基米德原理和帕斯卡定律原本都是實(shí)驗(yàn)定律，當(dāng)時(shí)只講其當(dāng)然，不問其所以然，在理論上并不清晰，在應(yīng)用上也存在著一些混亂[6].

自阿基米德(公元前287～前212年)以來，1 800多年以后到17～18世紀(jì)相繼出現(xiàn)了帕斯卡(1623～1662年),牛頓(1643～1727年)，伯努利(1700～1782年)以及歐拉(1707～1783年)等人，使流體力學(xué)發(fā)展成了內(nèi)容豐富、系統(tǒng)完整的一門學(xué)科，阿基米德原理和帕斯卡定律也就得到了從系統(tǒng)理論上的整合.然而我們的基礎(chǔ)教育教科書還在重演著古老的歷史.須知，知識(shí)的積累是無限的，現(xiàn)在的知識(shí)總量越來越多，然而人的生命的增長是極其有限的.人的一生中受教育，接受前人留下的知識(shí)的時(shí)間可以說是不好再延長的，因此教學(xué)改革應(yīng)當(dāng)追求知識(shí)的系統(tǒng)整合和簡化更新.在這方面趙凱華、羅蔚茵的《新概念物理教程》已有些嘗試，德國的KPK物理教材的理念也值得借鑒，而提倡重復(fù)歷史上走過的繁復(fù)的路途，甚至嘗試前人的錯(cuò)誤，是不符合社會(huì)現(xiàn)實(shí)的.

參考文獻(xiàn)

1 王紹符.初中物理靜流體壓強(qiáng)宏觀解釋的思考.物理通報(bào)，1996(9)，1996(10)

2 王紹符.基礎(chǔ)物理課程中的缺陷.物理教學(xué)參考，2000(1～2)

3 王紹符.我從錯(cuò)誤中走出來.物理教學(xué)，2001(2)

4 (蘇)Г.C.Лaндсбрга主編.王子昌譯.初等物理學(xué)(第一卷第二分冊(cè)).上海：上海教育出版社，1962

5 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué).北京：高等教育出版社，1995

6 黃敦.阿基米德原理.中國大百科全書物理學(xué)Ⅰ.北京：中國大百科全書出版社，1987