周平原

(臨海市回浦中學(xué) 浙江 臺州 317000)

1 對心飛入問題

【例1】(2002年高考天津卷)電視機(jī)的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的.電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)，如圖1所示.磁場方向垂直于圓面.磁場區(qū)的中心為O，半徑為r.當(dāng)不加磁場時(shí)，電子束將通過O點(diǎn)而打到屏幕的中心M點(diǎn).為了讓電子束射到屏幕邊緣，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度θ，此時(shí)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？

圖1

圖2

又有

三式聯(lián)立解得

點(diǎn)評：粒子沿半徑方向飛入圓形勻強(qiáng)磁場，必沿半徑方向飛出磁場.

2 圓心出發(fā)問題

【例2】(2004年高考甘肅卷) 一勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xOy平面，在xOy平面上，磁場分布在以O(shè)點(diǎn)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi).一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，初速度為v，方向沿x軸正方向.后來粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖3所示.不計(jì)重力的影響.求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R.

圖3 圖4

解析：如圖4所示，粒子在磁場中軌跡的圓心C必在y軸上，且P點(diǎn)在磁場區(qū)之外.粒子從A點(diǎn)離開磁場區(qū)，設(shè)軌跡半徑為r.則

又

可求得

磁場區(qū)域的半徑

點(diǎn)評：畫軌跡時(shí)可先畫一個(gè)完整的圓，然后分析粒子從圓周上哪一點(diǎn)離開，速度方向才會與題意相符，只要找到了離場點(diǎn)，問題就能解決了.

3 最長時(shí)間(最大偏角)問題

圖5 圖6

要使粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，應(yīng)使粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓弧最長，即所對應(yīng)的弦最長.則以磁場圓直徑ab為弦時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長.

點(diǎn)評：粒子穿過圓形磁場時(shí)，以磁場圓直徑ab為弦時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，偏轉(zhuǎn)角最大.

4 最小半徑問題

【例4】(1994年高考全國卷) 如圖7所示,一帶電質(zhì)點(diǎn),質(zhì)量為m,電荷量為q,以平行于x軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域.為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于x軸的速度v射出,可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場.若此磁場僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi),試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑.重力忽略不計(jì).

圖7 圖8

點(diǎn)評：粒子穿過圓形磁場時(shí)，若軌跡是確定的，則以軌跡圓弧對應(yīng)的弦為直徑時(shí)，磁場圓最小.

5 會聚一點(diǎn)問題

【例5】(2009年高考浙江卷) 如圖9所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場.在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m，電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0

(1)從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向.

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由.

(3)若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由.

圖9 圖10

帶電微粒進(jìn)入磁場后，做圓周運(yùn)動(dòng)并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，則軌跡半徑r=R

(2)如圖10所示，從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，微粒從M點(diǎn)離開磁場.可證明四邊形PO＇MQ是菱形，則M點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)，故這束帶電微粒都通過坐標(biāo)原點(diǎn)O.

(3)帶電微粒在y軸右方(x>0)的區(qū)域離開磁場并做勻速直線運(yùn)動(dòng).靠近上端發(fā)射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向x軸正方向的無窮遠(yuǎn)處，靠近下端發(fā)射出來的帶電微粒會在靠近原點(diǎn)之處穿出磁場.所以，這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域范圍是x>0.

點(diǎn)評：一束帶電粒子以平行的初速度v垂直射入圓形勻強(qiáng)磁場，若帶電粒子的軌道半徑與磁場圓半徑相同，則這些帶電粒子將會聚于初速度方向與磁場圓的切點(diǎn).

6 平行離開問題

【例6】 電子質(zhì)量為m，電荷量為e，從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，速度大小均為v0，如圖11所示.現(xiàn)在某一區(qū)域加方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求熒光屏上光斑的長度.

圖11 圖12

點(diǎn)評：速度大小相等的一束帶電粒子從圓周上同一點(diǎn)沿不同方向垂直射入圓形勻強(qiáng)磁場，若粒子的軌道半徑與磁場圓半徑相同，那么所有粒子成平行線離開磁場，而且與磁場圓在入射點(diǎn)的切線方向平行.

7 最小面積問題

【例7】(2009年高考海南卷)如圖13所示，ABCD是邊長為a的正方形.質(zhì)量為m，電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域.在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場.電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場.不計(jì)重力，求：

(1)此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小；

(2)此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積.

圖13 圖14

解析：(1)讓平行粒子束射入圓形勻強(qiáng)磁場，若軌道半徑與磁場圓半徑a相同，則這些帶電粒子將會聚于初速度方向與磁場圓的切點(diǎn)A.

點(diǎn)評：此題也屬會聚一點(diǎn)問題，圓形磁場內(nèi)剛好能覆蓋粒子軌跡范圍的部分，就是所要求的磁場最小面積.

8 先散后聚問題

【例8】某平面內(nèi)有M,N兩點(diǎn)，距離為L，從M點(diǎn)向此平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為v的電子，請?jiān)O(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場分布，使得由M點(diǎn)發(fā)出的電子都能匯聚到N點(diǎn).要求畫出勻強(qiáng)磁場分布圖，并加以必要的說明，電子質(zhì)量為m，電荷量為e.

圖15

點(diǎn)評：此題是平行離開和會聚一點(diǎn)問題的綜合，需要較好的空間想象能力.

9 回歸起點(diǎn)問題

【例9】如圖16所示，半徑為R的圓筒形區(qū)域內(nèi)，分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶正電的微粒從圓筒壁上小孔A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場，且初速度方向垂直于磁場方向.若該微粒與筒壁碰撞時(shí)不損失電荷量，并能以大小相等的速度反向彈回，問初速度大小滿足什么條件時(shí)，微粒能回到A點(diǎn)，并求出微?；氐紸點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間.已知微粒質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)微粒重力.

圖16 圖17

點(diǎn)評：由于微粒軌跡有無數(shù)種可能，關(guān)鍵是理清幾何關(guān)系找到通式.

10 粒子束縛問題

圖18

(1)粒子沿環(huán)狀半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度;

(2)所有粒子不能穿越磁場的最大速度.

圖19

點(diǎn)評：應(yīng)分析粒子的可能軌跡，從中找到剛好不出磁場的臨界軌跡.

11 循環(huán)運(yùn)動(dòng)問題

圖20 圖21

點(diǎn)評：分析粒子的入場點(diǎn)和出場點(diǎn)從而確定軌跡是關(guān)鍵.

12 電磁綜合問題

【例12】(2009年高考江蘇卷)1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器.

圖22

回旋加速器的工作原理如圖22所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時(shí)間可以忽略不計(jì).磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場與盒面垂直.A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m，電荷量為q，在加速器中被加速，加速電壓為U.加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用.

(1)求粒子第2次和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；

(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間；

(3)實(shí)際使用中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場頻率都有最大值的限制.若某一加速器磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場頻率的最大值分別為Bm,fm，試討論粒子能獲得的最大動(dòng)能Ekm.

解得

(3)加速電場的頻率應(yīng)等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，即

當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bm時(shí)，加速電場的頻率應(yīng)為

粒子的動(dòng)能

當(dāng)fBm≥fm時(shí)，粒子最大動(dòng)能由fm決定vm=2πfmR，解得

點(diǎn)評：要綜合運(yùn)用帶電粒子在電場、磁場中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，尤其要理清電場、磁場的相互制約關(guān)系，才能正確求解.