陳宜生 楊曉龍

(天津大學(xué) 天津 300072) (天津大學(xué)仁愛學(xué)院 天津 300072)

1 引言

數(shù)學(xué)是研究物理的有力工具，數(shù)學(xué)描述的概括性和抽象性令人敬畏，也令人敬佩.物理是一門定量的科學(xué)，必然大量使用數(shù)學(xué)；物理上出現(xiàn)的數(shù)學(xué)公式反映自然現(xiàn)象的規(guī)律和本質(zhì).學(xué)習(xí)物理時，既要弄清數(shù)學(xué)公式的數(shù)學(xué)意義，更要弄清物理內(nèi)涵，這樣才能對數(shù)學(xué)公式由敬畏變成敬佩，并產(chǎn)生學(xué)習(xí)的愉悅.以下將以學(xué)習(xí)麥克斯韋方程組為例談?wù)剛€人體會.

法拉第在物理學(xué)中引入“場”的概念，這是物理學(xué)的一大進步.法拉第又把這個抽象的、不可見的、在物體相互作用中起至關(guān)重要“作用” 的“場”，以形象的、易理解的、可用數(shù)學(xué)來操作計算的“場線”來描述，為麥克斯韋方程組的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ).

麥克斯韋方程組全面地反映了電磁基本規(guī)律，支配著一切電磁現(xiàn)象，它在電磁學(xué)中的地位可與力學(xué)中的牛頓定律的地位相比擬.

2 麥克斯韋方程組積分式隱含著什么

以下給出的是麥克斯韋方程組的積分形式

(1)

(2)

(3)

(4)

這四個式子不僅描述了電場、磁場各自的性質(zhì)，還表達了它們之間密不可分的聯(lián)系.初次見面,這四個式子會使你不知所云，忐忑不安,不過你不用太失望, 讓我來一一介紹吧!

2.1 電場 磁場高斯定理積分式訴說什么

依靜電場的高斯定理

(5)

依感生渦旋電場的高斯定理

(6)

這樣, 將式(1)分成了(5)、(6)兩式, 兩個原因產(chǎn)生的電場特性分開表示了.式(5)和式(3)不同,說明靜電場和磁場性質(zhì)有差別，靜電場通過閉合面Σ的電位移通量等于面內(nèi)自由電荷代數(shù)和，自由電荷代數(shù)和是正，電位移通量為正，有電位移線穿出閉合面Σ；面內(nèi)自由電荷代數(shù)和為負，電位移通量為負，有電位移線穿進閉合面Σ.

圖1

式(1)和式(3)是數(shù)學(xué)中的高斯定理在物理學(xué)中的具體表現(xiàn)，他們分別單獨描述了電場和磁場的一種性質(zhì)；式(2)和式(4)是數(shù)學(xué)中的斯托克斯定理在物理學(xué)中的具體表現(xiàn)，他們表達了電場和磁場的另一種性質(zhì)，更為重要的是表明電場和磁場可互相轉(zhuǎn)化.

2.2 電場 磁場環(huán)路定理積分式訴說什么

(7)

兩種電場的環(huán)量即沿同一閉合路徑其電場力做的功一樣嗎?

對于靜電場，由靜電場環(huán)路定理

(7a)

式(7a)表明靜電場力的功與路徑無關(guān)，僅與初末位置有關(guān).我們便說靜電力是保守力，靜電場是保守場.

(7b)

式(7b) 是感生渦旋電場的環(huán)路定理，它表明感生渦旋電場E(2)是非保守電場, 渦旋電場力是非保守力, 它所做的功不僅與初末位置有關(guān), 也與路徑有關(guān).

按照法拉第電磁感應(yīng)定律, 又有感生電動勢

(8)

式(8)中的Φ是通過由閉合環(huán)路L所圍開面S的磁通量

(9)

式(7)、(7a) 、(7b) 、(8) 、(9)聯(lián)立, 便可得麥克斯韋方程組的式(2).由此可知,式(2) 包含了法拉第電磁感應(yīng)定律, 靜電場、渦旋電場的環(huán)路定理, 說明了兩種電場性質(zhì)的另一個不同, 靜電場是保守場； 感生渦旋電場是非保守場, 存在環(huán)量, 這環(huán)量便是感生電動勢.

(10)

(10a)

兩種方式產(chǎn)生的磁場性質(zhì)相同,磁場強度H沿閉合曲線L的環(huán)流

(10b)

(10c)

S是閉合曲線L所圍的面.式(10b)、(10c)聯(lián)立便得麥克斯韋方程組的 (4) 式.

麥克斯韋方程組的積分形式側(cè)重從大范圍累積得到的結(jié)論.使用一些間接的量如電通量、電位移通量、磁通量、電荷代數(shù)和、電場的環(huán)量、磁場的環(huán)量、電流強度等，從而得到整體的場性質(zhì)描述.由于積分, 場中任意點的電磁量與鄰域點電磁量的時空關(guān)聯(lián)難于表露.為了看清電磁現(xiàn)象背后的本質(zhì)，我們需要得到麥克斯韋方程組的微分式.為此利用數(shù)學(xué)上的高斯定理和斯托克斯定理，引入散度、旋度的概念就能做到.

3 麥克斯韋方程組微分式隱含著什么

3.1 電場 磁場的散度和高斯定理的微分式

數(shù)學(xué)上，一個矢量場可用一個矢量函數(shù)A(x,y,z)表示.若該矢量函數(shù)的三個分量分別為Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)，則A(x,y,z)=Ax(x,y,z)i+Ay(x,y,z)j+Az(x,y,z)k，矢量場A(x,y,z)在數(shù)學(xué)上的高斯定理可表為

(11)

式中

如果矢量場是靜電場A=D(1), 將物理上靜電場高斯定理式(5) 與數(shù)學(xué)上的高斯定理式(11) 聯(lián)合便得

▽·D(1)=ρ0

(11a)

如果矢量場是感生渦旋電場A=D(2)，將物理上感生渦旋電場高斯定理式(6) 與數(shù)學(xué)上的高斯定理式(11) 聯(lián)立，有

▽·D(2)=0

(11b)

D=D(1)+D(2)

由式(11a)、(11b)得電場高斯定理微分形式

▽·D=ρ0

(12)

圖2 靜電場和渦旋電場的散度

由 (11a) 式, 并參照圖2(a) 可知,靜電場電位移在某點的散度等于該點自由電荷的密度ρ0,哪點有ρ0,哪點就能發(fā)射或吸收電位移線； 哪點ρ0越大, 發(fā)射或吸收電位移線越多,哪點在空間其他點產(chǎn)生靜電場的能力越強.所以,一點的靜電場散度, 表明該點在空間其他點產(chǎn)生靜電場的能力.散度函數(shù)表明有源場場源的分布, 對于隨時間變化的磁場產(chǎn)生的渦旋電場, 式(11b)和圖2(b) 表明渦旋電場的散度是零, 它的電位移線是自閉合的, 是無源矢量場.

而對于磁場來說，A=B, 由式(3) 和式(11) , 可得

▽·B=0

(13)

磁場的散度是零, 故磁場是無源矢量場.

3.2 電場 磁場的旋度和環(huán)路定理的微分式

在急流的水中我們見過旋渦，那是一個有旋的速度場；平穩(wěn)流動的水，速度場是無旋的.電流周圍存在渦旋磁場，隨時間變化的磁場周圍存在渦旋電場.靜電場卻是無旋的.為了判斷矢量場是否有旋, 并量度某點激起渦旋場的能力,引入旋度概念.

若矢量場A(x,y,z)=

Ax(x,y,z)i+Ay(x,y,z)j+Az(x,y,z)k

其中Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則數(shù)學(xué)上矢量場的斯托克斯定理可表為

(14)

旋度是對某個點而言的，存在旋度的點具備在空間其他點激起有旋場的能力，旋度可認為是由該點在其周圍激起渦旋矢量場的能力，某點旋度為零,則該點不會在其他點激起渦旋矢量場.若矢量場A處處的旋度為零(▽×A=0)，則稱A為無旋場.

由一般到特殊,當矢量場A=E,由式(14)、(2)有

(15)

因E=E(1)+E(2)，上式可分為兩個式子

▽×E(1)=0

(15a)

(15b)

當矢量場A=H，由式(4)、(14)有

必有

(16)

如圖3所示, 某點p的傳導(dǎo)電流密度j,位移電流密度jd都能在空間其他點激起渦旋磁場.所以某點H的旋度表明該點在空間其他點產(chǎn)生磁場的能力.因H=H(1)+H(2)，(16)式可以分解成兩個式子，分別表示兩個原因產(chǎn)生的磁場

▽×H(1)=j

(16a)

(16b)

圖3 某點磁場的旋度等于該點的電流密度

式 (15b)、(16b)表明磁場、電場可以相互轉(zhuǎn)化,說明電磁波能脫離電荷和電流傳播的內(nèi)在機制.(15b)式右邊是某點磁場隨時間的變化,左邊是渦旋電場的旋度，即電場如何隨空間變化，該點磁場隨時間的變化向前激起電場.式(16b)右邊是某點電場隨時間的變化,左邊是磁場的旋度, 即磁場如何隨空間變化，該點電場隨時間的變化向前激起磁場.式(15b)、(16b)真切地指明了電磁波中的電場、磁場如何手拉手相互鼓勵著向前進.

綜合前面所述，麥克斯韋方程組的微分形式為

(17a)

(17b)

(17c)

(17d)

解一切電磁學(xué)問題，其出發(fā)點就是該微分形式麥克斯韋方程組，再輔以具體系統(tǒng)的物態(tài)方程，如對于各向同性系統(tǒng)，物態(tài)方程是D=εE,B=μH,j=σE及電場、磁場的邊界條件和初始條件等.解此微分方程組便可得到系統(tǒng)中各電磁量的時空函數(shù)，從而得知電磁場的分布，并判斷系統(tǒng)功能.