龔相超，胡百鳴

（武漢科技大學冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學湖北省重點實驗室，湖北武漢，430065）

有關(guān)液壓缸臨界載荷的計算方法很多，但不同的計算方法和計算模型結(jié)果差別很大[1]，原因是液壓缸所受載荷的工作階段及環(huán)境因素的不同，致使液壓缸的失穩(wěn)因素具有某種不確定性，即模糊性和隨機性。常規(guī)液壓缸穩(wěn)定性計算采用的是安全系數(shù)法，該法較大程度上依賴于設(shè)計者的經(jīng)驗，因而不能充分反映實際存在的諸多不確定性因素的影響，為此，本文采用模糊可靠性方法來計算液壓缸的穩(wěn)定性。

1 模糊可靠度計算原理

設(shè)液壓缸工作壓力P和臨界壓力Pcr分別為論域U，V上的模糊子集S、R，故P∈U，Pcr∈V，且用數(shù)s、r來表述，s∈[0，1]，r∈[0，1]，s、r分別為S、R的隸屬度。S、R的隸屬函數(shù)分別為fs（P）、fr（Pcr）。模糊子集R中每個元素Pcr都可以作為穩(wěn)定性判據(jù)，因而將傳統(tǒng)設(shè)計中的單一判據(jù)擴大為判據(jù)空間，在此基礎(chǔ)上進行液壓缸穩(wěn)定性可靠度的計算，以此增大與實際情形相符的概率[2]。

設(shè)判據(jù)實空間Ω，對任意一個作為判據(jù)Pcr（Pcr∈Ω）都指定一個數(shù)μr∈[0，1]，即判據(jù)Pcr對模糊判據(jù)集（臨界壓力模糊子集R）的隸屬度，考慮到設(shè)計的安全因素，其隸屬度函數(shù)采用連續(xù)偏小型隸屬度函數(shù)。液壓缸的軸向壓力P可按隨機變量來設(shè)計，常見的分布有正態(tài)分布、威布爾分布等，一般根據(jù)實際工況來確定，本文計算采用正態(tài)分布。根據(jù)模糊等效隨機原理，將復雜的模糊不確定性等效為隨機不確定性[3]，得到工作壓力概率密度分布函數(shù)與液壓缸臨界壓力Pcr的隸屬函數(shù)組合，液壓缸穩(wěn)定性模糊可靠度可采用概率密度函數(shù)聯(lián)合積分法積分得到，也可采用功能密度函數(shù)積分法得到[4]。

2 臨界壓力隸屬函數(shù)

表1 臨界載荷計算值Pcr、實測值Pcr1及相對誤差δTable 1 Theoretical and experimental critical load values

傳統(tǒng)液壓缸穩(wěn)定性設(shè)計多采用歐拉公式和拉金公式[5]，且將液壓缸視為理想的等截面直桿，截面慣性矩取活塞桿與缸筒中較小者。研究表明，該法所得臨界壓力值趨于保守，作為判據(jù)的可信度為1。采用文獻[6]試驗數(shù)據(jù)，臨界載荷歐拉計算值、實測值及相對誤差如表1所示。從表1中可以看出，所有臨界載荷的實測值均較計算值大，最大相對誤差為30.7%，最小相對誤差為1.3%，平均相對誤差為19.2%。因此臨界載荷的隸屬度函數(shù)采用降半階正態(tài)分布[7]，如圖1所示。臨界壓力為正態(tài)型模糊變量，其隸屬度函數(shù)可表示為

式中：μr（Pcr）為模糊臨界壓力的隸屬度函數(shù)；Pcr為模糊臨界壓力；ar為等截面歐拉公式計算值；σr為模糊臨界壓力的標準差。

圖1 臨界載荷隸屬度函數(shù)Fig.1 Membership grade function of critical load

σr是反映液壓缸真實臨界壓力合理取值的重要參數(shù)，將液壓缸臨界壓力這一模糊變量等效為隨機變量，則模糊臨界壓力等效概率密度函數(shù)為

3 模糊可靠度

鑒于現(xiàn)場工況較為復雜，液壓缸所受荷載具有很大的隨機性，故將本文液壓缸隨機載荷視為正態(tài)分布形式，其概率密度函數(shù)為

式中：P為隨機載荷；as為隨機載荷均值；σs為隨機載荷標準差。

為了使計算結(jié)果盡可能符合實際情況，隨機載荷標準差σs應(yīng)根據(jù)實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定。基于現(xiàn)場諸多不確定性因素，as的離散性很大，故取

對于已知臨界壓力和工作載荷概率密度的情形，可采用概率密度函數(shù)聯(lián)合積分法得到可靠度[4]，概率密度函數(shù)聯(lián)合積分原理如圖2所示。代入載荷和臨界壓力的概率密度函數(shù)積分后可得液壓缸穩(wěn)定性可靠度R。

若式（4）積分得不到原函數(shù)，則可用數(shù)值積分計算出可靠度。由于本文液壓缸的臨界壓力和工作載荷均為正態(tài)分布，且二者為相互獨立的隨機變量，所以采用功能密度函數(shù)積分法[3]得到。定義隨機變量Z＝Pcr－P仍服從正態(tài)分布N（aZ，σZ），其中；可靠性指數(shù)則可靠度符合標準正態(tài)分布。

圖2 概率密度函數(shù)聯(lián)合積分Fig.2 Joint probability density function integral

液壓缸可靠度可查標準正態(tài)概率積分表得到。可見用式（5）來計算穩(wěn)定性可靠度簡單易行。

4 計算實例

沿用文獻[1]表2中的第5號液壓缸，等截面直桿臨界壓力計算值和試驗實測值分別為126.27 k N和153.46 k N，相對誤差為17.7%，將數(shù)值代入式（1），且σr＝0.192ar，可得臨界壓力的隸屬度函數(shù)和等效概率密度函數(shù)分別為

鑒于液壓缸工況環(huán)境復雜，取安全系數(shù)為k＝2，as＝ar／k，且令σs＝0.2as

對于工況特別復雜的情形，可取k＝2.5，令σs＝0.3as，則β＝3.235 0，R＝0.999 4?？紤]到液壓缸的臨界載荷受到液壓油、導向長度、約束等諸多因素的影響，參考表1中數(shù)據(jù)，宜取σr＝0.2ar和σs＝0.2as。

5 結(jié)語

本液壓缸穩(wěn)定性可靠度計算方法為復雜環(huán)境和載荷及特殊工況下的設(shè)計提供了一條新思路，可以降低傳統(tǒng)液壓缸設(shè)計中對設(shè)計者經(jīng)驗的依賴性。本文中的幾個重要參數(shù)的選取僅參考了表1中的1組實驗數(shù)據(jù)，要想獲得與實際情況吻合的理想?yún)?shù)值，尚需進行大量的試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析。本文各個參數(shù)和概率的計算采用了MATLAB軟件編程，MATLAB提供了豐富的概率統(tǒng)計函數(shù)，使得計算程序異常簡潔。

[1] 龔相超，胡百鳴.基于能量原理的液壓缸靜力穩(wěn)定性的計算[J].礦山機械，2011（3）：109－112.

[2] 郭書祥，呂震宙.概率模型含模糊分布參數(shù)時模糊失效概率計算方法[J].機械強度，2003，25（5）：527－529.

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[6] 郭應(yīng)龍.液壓缸穩(wěn)定性分析[J].武漢水力電力學院學報，1988（2）：23－29.

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