李連忠，李曉雯，陳 燕

(1.泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東泰安 271021;2.泰山學(xué)院附屬中學(xué)，山東泰安 271000)

可將系統(tǒng)(1)分為四種情況進(jìn)行討論，再由對稱性的考慮，可按以下兩種情況進(jìn)行討論，

從而對任意的β＞1，由(10)可得

本文考慮下列非線性耦合時(shí)滯泛函微分系統(tǒng)

的振動(dòng)性問題，其中函數(shù)a，b，σ，f，g滿足:

(H2)f∈C1(R，R)，g∈C(R，R)，且對任意的u≠0，有:

在一定的假設(shè)條件下，系統(tǒng)(1)存在連續(xù)解，我們的研究限制在系統(tǒng)(1)在右半?yún)^(qū)間［T0，∞］內(nèi)存在連續(xù)解的情況，其中T0≥t0為依賴于系統(tǒng)具體解的數(shù).通常的，一個(gè)定義在區(qū)間［T0，∞］上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)如果存在任意大的零點(diǎn)，則稱之為振動(dòng)的，否則稱為非振動(dòng)的.系統(tǒng)(1)的解(x(t)，y(t))稱為是振動(dòng)的，如果x(t)和y(t)都是振動(dòng)的，否則就稱(1)的解是非振動(dòng)的.

由系統(tǒng)(1)是否滿足條件

可將系統(tǒng)(1)分為四種情況進(jìn)行討論，再由對稱性的考慮，可按以下兩種情況進(jìn)行討論，

本文僅討論(2)成立的情況，關(guān)于條件(3)成立的情況我們將另行撰文討論.

1 預(yù)備知識(shí)

系統(tǒng)(1)的一種特殊情況是

對于系統(tǒng)(4)的振動(dòng)性及非振動(dòng)性研究，已經(jīng)取得了若干優(yōu)秀成果，讀者可以參考Kordonis與Philos文［1］，Kwong與Wong文［2］，Mirzov文［3－5］，以及Li與Cheng文［6］中的結(jié)果.

首先，由Philos文［7］，我們定義函數(shù)H=H(t，s)屬于函數(shù)類W，記為H∈W，如果D={(t，s)∶t≥s≥t0}，H∈C(D，R+)滿足:

(H3)H(t，t)=0，當(dāng)t0≤s＜t＜+∞時(shí)H(t，s)＞0;

(H4)H(t，s)關(guān)于s具有連續(xù)非正的偏導(dǎo)數(shù)?H/?s，且存在某個(gè)h∈Lloc(D，R)，p∈C1(［t0，∞)，(0，∞))使得

其次，我們還將用到下面引理.

引理1［8］假設(shè)條件(H1)、(H2)成立，再設(shè)函數(shù)a(t)在任意形如［T0，∞)的區(qū)間內(nèi)不恒為零，(x(t)，y(t))為系統(tǒng)(1)的非振動(dòng)解，則作為解的組成部分的函數(shù)x(t)亦是非振動(dòng)的.

同樣，如果函數(shù)b(t)在任意形如［T0，∞)的區(qū)間內(nèi)不恒為零，(x(t)，y(t))為系統(tǒng)(1)的非振動(dòng)解，則作為解的組成部分的函數(shù)y(t)亦是非振動(dòng)的.

因此，若下列假設(shè)條件(H5)成立，

(H5)函數(shù)a(t)和b(t)都在任意形如［T0，∞)的區(qū)間內(nèi)不恒為零，T0≥t0.

則系統(tǒng)(1)的任一非振動(dòng)解(x(t)，y(t))的組成部分x(t)與y(t)皆最終定號，且從系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程，由x(t)的振動(dòng)性可推出y(t)的振動(dòng)性.

Saker在文［8］中研究了微分系統(tǒng)(1)，給出了系統(tǒng)振動(dòng)的若干充分條件，我們列出文［8］的主要結(jié)果如下(文［8］中的函數(shù)p(t)≡1):

定理A［8］設(shè)條件成立，記r(t)=，如果存在函數(shù)ρ(t)∈C1(［t0，∞)，(0，∞))滿足

其中，q(t)=kk1b(σ(t))σ'(t)，Q(t，s)=h(t，s)

則系統(tǒng)(1)的任意解是振動(dòng)的.

定理B［8］設(shè)函數(shù)r，H，h，q，Q，W，ρ同定理A，且條件(H1)－(H3)成立，設(shè)下列條件(C2)與(C3)成立，

再設(shè)存在函數(shù)m∈C(［t0，∞)，R)滿足條件(C4)和(C5):

其中，m+(t)=max{m(t)，0}.則系統(tǒng)(1.1)的任意解是振動(dòng)的.

定理C［8］在定理B中將條件(C3)替換為

其它條件不變，則系統(tǒng)(1.1)的任意解同樣是振動(dòng)的.

2 主要結(jié)果

下面，應(yīng)用Philos文［7］和Li文［9］處理二階方程的方法，同時(shí)利用廣義Riccati技巧和積分平均技巧，我們給出系統(tǒng)(1)振動(dòng)的新準(zhǔn)則，本文的結(jié)論推廣和改進(jìn)了Kwong與Wong文［2］，Li與Cheng文［6］，以及Saker文［8］中的結(jié)論.

定理2.1設(shè)條件(H1)－(H5)成立，記r(t)=，如果存在兩個(gè)函數(shù)ρ(t)，p(t)∈C1(［t0，∞)， (0，∞))，對某個(gè)β≥1和H∈W，下式成立，

證明 采用反證法，假設(shè)系統(tǒng)(1.1)在區(qū)間［T0，∞)內(nèi)存在一個(gè)非振動(dòng)解(x(t)，y(t))，其中T0≥t0.于是由條件(H5)和引理1，函數(shù)x(t)亦是非振動(dòng)的，更進(jìn)一步，我們發(fā)現(xiàn)在變量替換u=－x，v=－y之下，系統(tǒng)(1)在相同的假設(shè)條件下變換為與其自身相同形式的系統(tǒng).不失一般性，我們假設(shè)x(t)和x(σ(t))在區(qū)間［T0，∞)內(nèi)恒為正.

定義函數(shù)

由Saker文［8］定理2.1的證明知ω(t)＞0且滿足下面微分不等式，

于是有

特別的，

從而下式成立，

于是可得

上式與假設(shè)條件(5)式矛盾，這樣就完成了定理2.1的證明.

推論2.2 在定理2.1中將條件(5)替換為

和

其它條件不變，則系統(tǒng)(1)的任意解是振動(dòng)的.

注2.3 在定理2.1的式(5)和推論2.2的式(8)中，將“l(fā)im sup”替換為“l(fā)im inf”，其它條件不變，仍可得到系統(tǒng)(1)的解振動(dòng)的結(jié)論.

定理2.4 設(shè)條件(H1)－(H5)成立，函數(shù)r，H，h，p，q，ρ，Q，W，ω同定理2.1，并假設(shè)H∈W滿足

并且，

如果存在函數(shù)m∈C(［t0，∞)，R)，對某個(gè)β＞1，對所有的t≥T≥t0，有

其中，m+(t)=max{m(t)，0}.則系統(tǒng)(1.1)的任意解是振動(dòng)的.

證明 采用反證法，假設(shè)系統(tǒng)(1.1)在區(qū)間［T0，∞)內(nèi)存在一個(gè)非振動(dòng)解(x(t)，y(t))，其中T0≥t0.由定理2.1前半部分的證明，對于某個(gè)β＞1和所有的t≥T≥T0，我們有

于是我們有

從而對任意的β＞1，由(10)可得

所以有

特別的下式成立，

下面證明

若不然，將有

由(9)，存在常數(shù)ξ＞0，滿足

令η為任意大的一個(gè)正數(shù)，由(15)，存在t1＞t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有

則當(dāng)t≥t1時(shí)，

由(16)，存在t2≥t1，對所有的成立，這意味著對所有的t≥t2，有z(t)≥η，由η的任意性，我們有)=∞，于是，

而這與(13)矛盾，所以(14)成立，由(12)與(14)易得

這與(11)矛盾，于是定理得證.

推論2.5在定理2.4中，將條件(10)和(11)中的“l(fā)im sup”替換為“l(fā)im inf”，其他條件不變，定理結(jié)論仍成立.

注2.6 定理2.4中我們?nèi)サ袅薙aker定理B、C中的限制條件(C3)和(C6)，仍然得到了系統(tǒng)(1)振動(dòng)的結(jié)論，所以我們的結(jié)果要優(yōu)于Saker文［8］的結(jié)果.

注2.7 對H，h，p的不同取法可以給出系統(tǒng)(1)振動(dòng)的若干準(zhǔn)則.例如令β=1，取p(t)≡1，t∈［t0，∞)，本文定理2.1退化為Saker定理A;在此基礎(chǔ)上再取H(t，s)=(t－s)λ，其中λ≥0為常數(shù)，則當(dāng)λ=n為整數(shù)時(shí)，我們的定理2.1退化為Saker文［8］中的定理2.1;當(dāng)λ=0時(shí)，我們的定理2.1退化為Saker文［8］中的定理2.2;

另外取p(t)≡1，H(t，s)=(t－s)λ，t≥s≥t0，則h(t，s)=，其中λ≥0為常數(shù)，并且對任意的s≥t0，有

即定理2.4中的條件(9)自然成立，于是由定理2.4，我們有以下討論.

推論2.8 設(shè)條件(H1)、(H2)和(H5)成立，函數(shù)r，q，ρ，Q，W，ω同定理2.1，λ≥0為常數(shù)，如果存在函數(shù)m∈C(［t0，∞)，R)，對某個(gè)β＞1，對所有的t≥T≥t0，

與(11)成立.則系統(tǒng)(1)的任意解是振動(dòng)的.

再分別取λ=2，0，我們有:

推論2.9 推論2.8中的條件(17)替換為

其他條件不變，仍可得系統(tǒng)(1)的任意解是振動(dòng)的.

推論2.10 推論2.8中的條件(17)替換為

其他條件不變，仍可得系統(tǒng)(1)的任意解是振動(dòng)的.

例2.11 考慮下列簡單的微分系統(tǒng)

并且有

即(11)與(19)式成立，從而由推論2.10知微分系統(tǒng)(20)的任意解是振動(dòng)的.

例2.12 考慮下列非線性時(shí)滯泛函微分系統(tǒng)

其中，

于是有

又容易驗(yàn)證(11)式成立，從而由推論2.9知系統(tǒng)(21)的任意解是振動(dòng)的.

然而，可以驗(yàn)證下列兩式成立，

即Saker定理B、C中的限制條件(C3)和(C6)不成立，定理B、C不能應(yīng)用于非線性時(shí)滯泛函微分系統(tǒng)(2.21)，這也說明了我們的結(jié)論要優(yōu)于以往的結(jié)論.

［1］I.G.Kordonis，Ch.G.Philos.On the oscillation of nonlinear two－dimensional differential system［J］.Proc.Amer.Math.Soc.，1998，126:1661－1667.

［2］M.K.Kwong，J.S.W.Wong.Oscillation of Emden－Fowler system［J］.Diff.Integ.Eqns.，1988，(1):133－141.

［3］D.D.Mirzov.Oscillatory properties of solutions of a system of nonlinear differential equations［J］.Differentsial＇nye Uravaneniya.，1973，9:581－583.

［4］D.D.Mirzov.The oscillation of solutions of a system of nonlinear differential equations［J］.Math.Zametki，1974，16:511－567.

［5］D.D.Mirzov.Oscillatory properties of solutions of a nonlinear Emden－Fowler differential system［J］.Differentsial＇nye Uravaneniya，1980，16:1980－1984.

［6］W.T.Li，S.S.Cheng.Limiting behaviors of nonoscillatory solutions of a pair of coupled nonlinear differential equations［J］.Proc.Ednb.Math.Soc.，2000，43，457－473.

［7］Ch.G.Philos.Oscillation theorems for linear differential equation of second order［J］.Arch.Math，1989，53:483－492.

［8］S.H.Saker，L.H.Erbe.Oscillation of solutions of a pair of coupled nonlinear delay differential equations［J］.Portugaliae Mathematica，2003，60:319－336.

［9］H.J.Li.Oscillation criteria for second order linear differential equations［J］.J.Math.Anal.Appl.，1995，194:217－234.