馬汝濤，紀(jì)友哲，賈 濤，韓 飛，朱英杰

(1.中國石油勘探開發(fā)研究院 研究生部，北京 100083;2.中國石油集團(tuán)鉆井工程技術(shù)研究院 機(jī)械所，北京 100195)

底部鉆具規(guī)則渦動(dòng)軌跡的內(nèi)擺線描述方法

馬汝濤1，紀(jì)友哲2，賈 濤2，韓 飛2，朱英杰2

(1.中國石油勘探開發(fā)研究院 研究生部，北京 100083;2.中國石油集團(tuán)鉆井工程技術(shù)研究院 機(jī)械所，北京 100195)

為了認(rèn)識(shí)和控制鉆井過程中的鉆柱渦動(dòng)，基于幾何學(xué)原理提出內(nèi)擺線描述方法。該方法將渦動(dòng)視為規(guī)則運(yùn)動(dòng)，從分析鉆柱外緣固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性入手，求解底部鉆具(BHA)與井壁的摩擦接觸的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，確定軌跡上各點(diǎn)的速度，分析鉆柱自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)速度對(duì)底部鉆具運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。結(jié)果表明：底部鉆具的渦動(dòng)可能造成鉆柱以遠(yuǎn)高于其自轉(zhuǎn)速度的角速度沿著井壁快速公轉(zhuǎn)，導(dǎo)致井下工具過早失效;鉆柱規(guī)則渦動(dòng)引起B(yǎng)HA外緣某點(diǎn)沿井壁的運(yùn)動(dòng)軌跡可用幾何方法進(jìn)行描述，軌跡方程證實(shí)線速度是影響井下工具磨損的重要參數(shù);根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試與室內(nèi)試驗(yàn)所獲得的鉆柱規(guī)則運(yùn)動(dòng)軌跡可以反推渦動(dòng)方程，從而掌握BHA的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);利用內(nèi)擺線描述法所得結(jié)果與文獻(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。

底部鉆具;鉆柱渦動(dòng);內(nèi)擺線;運(yùn)動(dòng)軌跡;過程監(jiān)測(cè)

底部鉆具(BHA)的渦動(dòng)現(xiàn)象普遍存在于鉆井過程中［1-6］，可能引起鉆鋌偏磨、鉆頭磨蝕、隨鉆測(cè)量工具損壞等破壞性后果。為了認(rèn)識(shí)BHA的渦動(dòng)機(jī)制，須建立描述鉆柱運(yùn)動(dòng)的合理方法。常見的方法有3類：基于機(jī)械振動(dòng)原理建立BHA動(dòng)力學(xué)模型，分析橫向力對(duì)鉆柱振動(dòng)的影響規(guī)律［1，7-10］;通過室內(nèi)試驗(yàn)測(cè)得特定結(jié)構(gòu)BHA的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，給出其軸線及外邊緣的運(yùn)動(dòng)軌跡［3，11-12］;在鉆井過程中采集鉆壓、轉(zhuǎn)速、鉤載等數(shù)據(jù)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)理論分析BHA渦動(dòng)狀態(tài)［2，13-15］。第 1類方法難以體現(xiàn) BHA外緣與井壁的摩擦狀況;第2類方法過程復(fù)雜且成本較高;第3類方法不能直觀顯示BHA運(yùn)動(dòng)狀況。筆者將BHA渦動(dòng)視為規(guī)則運(yùn)動(dòng)，引入內(nèi)擺線方程直觀、簡(jiǎn)潔地求解BHA外緣某一固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過分析軌跡特點(diǎn)了解鉆柱渦動(dòng)狀況。

1 內(nèi)擺線描述法基本方程

1.1 模型簡(jiǎn)化

考慮BHA與井壁發(fā)生接觸的情況，如圖1所示。圖1中外圓為井壁，內(nèi)圓為BHA截面的外壁。以井眼中心o為圓心建立平面直角坐標(biāo)系oxy，ox軸與內(nèi)圓交于點(diǎn)P，而P點(diǎn)同時(shí)也是內(nèi)圓與外圓的接觸點(diǎn)。將點(diǎn)P固定于內(nèi)圓上，分析P點(diǎn)在oxy坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)鉆鋌的橫向運(yùn)動(dòng)的描述。BHA的剖面可以選在任一位置，區(qū)別只是最終表達(dá)式相應(yīng)的加入一項(xiàng)鉆柱偏心量。

圖1 BHA渦動(dòng)示意圖Fig.1 Sketch map of BHA whirling

1.2 幾何內(nèi)擺線方程

對(duì)于圖1所示的幾何模型，假定小圓沿大圓內(nèi)側(cè)做無滑動(dòng)滾動(dòng)，那么由小圓上一固定點(diǎn)P所形成的軌跡就稱為內(nèi)擺線，其參數(shù)方程為

式中，R為外圓半徑，m;r為內(nèi)圓半徑，m;θ為大圓中心o與小圓中心o'的連線沿逆時(shí)針方向擺動(dòng)時(shí)與ox軸之間的夾角，rad。

若令R/r=k，則當(dāng)k為整數(shù)時(shí)內(nèi)擺線為封閉曲線，且曲線帶有k個(gè)尖角;若k為有理數(shù)，令k=m/n為其最簡(jiǎn)形式，則內(nèi)擺線具有m個(gè)尖角。

1.3 BHA渦動(dòng)軌跡方程

BHA旋轉(zhuǎn)過程中可能發(fā)生正向渦動(dòng)(順時(shí)針公轉(zhuǎn))或負(fù)向渦動(dòng)(逆時(shí)針公轉(zhuǎn))，現(xiàn)以負(fù)向渦動(dòng)為例求解固定點(diǎn)P的軌跡方程(圖1)。為保證方程的合理性，假設(shè)：井壁為剛性，與BHA相互作用后不發(fā)生變形;井壁與BHA接觸類型為點(diǎn)接觸;BHA與井壁相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持相互接觸。固定點(diǎn)P的參數(shù)方程為

式中，Ω為公轉(zhuǎn)角速度，rad/s;ω為鉆柱自轉(zhuǎn)角速度，rad/s，自鉆頭上部向下看為順時(shí)針方向，本文中取逆時(shí)針方向?yàn)檎?，故ω前添加了?fù)號(hào);x和y分別為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

對(duì)比分析方程(1)和方程(2)發(fā)現(xiàn)，如果令ω/Ω=R/r－1，則方程(2)即為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)擺線方程。實(shí)際上，這種情況相當(dāng)于鉆鋌沿井眼內(nèi)壁做無滑動(dòng)滾動(dòng)，稱為“負(fù)向純滾動(dòng)”。除去這種特殊情況，渦動(dòng)都將伴隨鉆柱與井筒的相對(duì)滑動(dòng)并磨損鉆具。

若將ω和Ω作為變量處理，并考慮兩者作用時(shí)間不一致，可引入?yún)?shù)t1和t2將方程(2)改寫為

其中Rref=R－r－h(huán)(t)，h(t)是考慮到BHA可能脫離井壁的情況而引入的函數(shù)，其含義為BHA截面外緣到井壁的最短距離。實(shí)際應(yīng)用中，可在鉆鋌的適當(dāng)位置裝入加速度計(jì)和位移計(jì)，測(cè)得BHA旋轉(zhuǎn)和位移參數(shù)，代入方程(3)，即能描繪出合理的BHA運(yùn)動(dòng)軌跡圖。

2 典型軌跡曲線

方程(2)是內(nèi)擺線描述法的理論依據(jù)。根據(jù)方程特點(diǎn)可以判斷當(dāng)ω/Ω為某些特殊值時(shí)，P點(diǎn)軌跡應(yīng)表現(xiàn)出與內(nèi)擺線相似的性質(zhì)。圖2為R=120.65 mm，r=88.9 mm，ω=－12.56 rad/s時(shí)Ω取不同值對(duì)應(yīng)的BHA外緣渦動(dòng)軌跡。圖2(a)中BHA只是圍繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)同時(shí)與井壁的一側(cè)發(fā)生接觸，此時(shí)的軌跡就是BHA的外緣輪廓。

圖2(b)為Ω=ω時(shí)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，這種運(yùn)動(dòng)稱為“正向同步渦動(dòng)”，其特點(diǎn)是P點(diǎn)始終與井壁保持接觸，沿井壁劃出完整的圓形曲線。運(yùn)動(dòng)過程中，鉆鋌上除P點(diǎn)之外其他各點(diǎn)均未接觸井壁。

圖2(c)為Ω=ω/(R/r－1)=58.61 rad/s時(shí)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，此時(shí)Ω是ω的數(shù)倍，即鉆柱以大大高于其自轉(zhuǎn)速度的角速度沿著井壁快速公轉(zhuǎn)。Johnson［11］通過試驗(yàn)認(rèn)為，PDC鉆頭出現(xiàn)負(fù)向純滾動(dòng)的幾率比正向渦動(dòng)高許多;章?lián)P烈［3］、Kesaven［5］等也在模擬試驗(yàn)中得出類似結(jié)論，說明這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)較為常見。圖2(c)的軌跡為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)擺線，容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在每個(gè)尖角處不可導(dǎo)，其物理意義表示尖角處P點(diǎn)線速度為0，而尖角之外的曲線上速度不為0，即在完成一條完整的內(nèi)擺線時(shí)，BHA截面各點(diǎn)速度已經(jīng)完成了多次周期性變化。BHA內(nèi)應(yīng)力的周期性變化勢(shì)必對(duì)井下工具造成損傷。

圖2 BHA外緣渦動(dòng)軌跡Fig.2 Trajectories of BHA whirling

實(shí)際上，如果BHA發(fā)生了負(fù)向純滾動(dòng)，則不僅P點(diǎn)，其他所有與井壁接觸的點(diǎn)的速度都可用式(4)計(jì)算。Shyu［16］也得到了與方程(5)相同的結(jié)果并將該速度作為關(guān)鍵參數(shù)分析了鉆鋌渦動(dòng)對(duì)其磨損程度的影響。

其中

由ζ表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，v為周期函數(shù)，其周期

3 內(nèi)擺線描述方法的應(yīng)用

Johnson［11］提出了一種提高PDC鉆頭橫向穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)方法，為檢驗(yàn)該方法的可靠性試制了多種專用鉆頭并進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)。其中一種鉆頭用于校驗(yàn)渦動(dòng)對(duì)鉆進(jìn)的影響，試驗(yàn)結(jié)果給出了一種典型的渦動(dòng)軌跡(圖3)。Johnson指出發(fā)生負(fù)向純滾動(dòng)時(shí)鉆頭切削齒外緣將生成瓣?duì)钋邢骱圹E，且瓣?duì)钋€出現(xiàn)頻率很高，但并未說明曲線的成因。

由圖3可以看出，鉆頭滾動(dòng)軌跡主要有如下特征：?jiǎn)我环忾]曲線，自身沒有交叉;具有15個(gè)波瓣;波瓣之間光滑連接。根據(jù)內(nèi)擺線描述法可以作如下推理：曲線處于穩(wěn)定狀態(tài)，則公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)角速度之比Ω/ω為整數(shù);波瓣數(shù)量說明井眼半徑與鉆頭外徑之比可以表示為R/r=15/n，其中n為與15互質(zhì)的整數(shù);波瓣中未出現(xiàn)尖角，嚴(yán)格來說并非達(dá)到無滑動(dòng)的滾動(dòng)效果，但考慮到實(shí)際試驗(yàn)條件對(duì)軌跡的影響，可以認(rèn)為已經(jīng)形成標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)擺線。

圖3 典型的鉆頭負(fù)向純滾動(dòng)軌跡(由Jonhson原圖修改)Fig.3 Typical locus of bit whirling(after Jonhson)

不妨驗(yàn)證一下給出的推理，令ω=－12.56 rad/s，則 Ω =rω/(R －r)=175.84 rad/s，而 Ω/ω =14 為整數(shù)，合乎推理。按上述參數(shù)繪制軌跡如圖4所示，與圖3有很大的相似性。

圖4 推理得到標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)擺線Fig.4 Deduced hypocycloid curve

4 結(jié)論

(1)底部鉆具的渦動(dòng)可能造成鉆柱以遠(yuǎn)高于其自轉(zhuǎn)速度的角速度沿井壁快速公轉(zhuǎn)，導(dǎo)致井下工具過早失效。

(2)鉆柱規(guī)則渦動(dòng)引起B(yǎng)HA外緣某點(diǎn)沿井壁的運(yùn)動(dòng)軌跡可以用幾何方法進(jìn)行描述，線速度是影響井下工具磨損的重要參數(shù)。

(3)根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試與室內(nèi)試驗(yàn)所獲得的鉆柱規(guī)則運(yùn)動(dòng)軌跡可以反推該點(diǎn)的渦動(dòng)方程，從而掌握BHA的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

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Hypocycloid method for describing regular whirling of bottom hole assembly

MA Ru-tao1，JI You-zhe2，JIA Tao2，HAN Fei2，ZHU Ying-jie2
(1.Post Graduate School of Research Institute of Petroleum Exploration ＆ Development，PetroChina，Beijing 100083，China;2.Department of Drilling Machinery of Drilling Research Institute，CNPC，Beijing 100195，China)

On the basis of geometry，a hypocycloid method was proposed to identify and control drillstring whirling.Treating the whirling as a regular pattern，this method was used to describe motion characteristics of a fixed point on drillstring circumference，to solve equations representing bottom hole assembly(BHA)motion trajectories，to define velocities of each point on the trajectory，and to analyze the impacts of rotation and revolution speeds on BHA whirling.The results show that whirling might cause drillstring rolling around borehole wall with a revolution speed much higher than rotating，inducing downhole tools premature failures.The regular motion patterns of a fixed point on BHA circumference can be expressed by geometry measures，and the trajectory equation indicates that the linear velocity plays an important role in tool wear.The whirling equations representing BHA motion can be worked out from inversions of field and laboratory tests and the results properly match documented tests.

bottom hole assembly;drillstring whirling;hypocycloid;motion trajectories;process monitoring

TE 243

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.03.015

1673-5005(2011)03-0076-03

2010－08－30

國家“863”高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2006AA06A107)

馬汝濤(1982－)，男(漢族)，山東青島人，博士研究生，從事套管鉆井工作機(jī)制研究和井下工具研發(fā)工作。

(編輯 李志芬)