倪云松，鄧久根

（1.中國人民大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京市 100872；2.江西師范大學(xué)財政金融學(xué)院，江西 南昌 330022）

賠償限額和操作風(fēng)險的最優(yōu)保險分析

倪云松1，鄧久根2

（1.中國人民大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京市 100872；2.江西師范大學(xué)財政金融學(xué)院，江西 南昌 330022）

在巴塞爾新資本協(xié)議下，對于使用高級計量法的銀行，保險被認(rèn)可使用作為資本金的緩釋手段。要計提資本金，則必須先計算在險價值（VaR）。在保費固定的情況下，隨著賠償限額的上升，在險價值先下降之后震蕩，然后繼續(xù)上升，并存在一最小值；在險價值和銀行的期望損失存在一定程度的替代關(guān)系，且二者之間有一個最優(yōu)保險點，即低在險價值和低成本的組合點。

在險價值；操作風(fēng)險的保險；賠償限額

1995年巴林銀行因交易員里森的不當(dāng)交易破產(chǎn)后，銀行的操作風(fēng)險日益引起人們的注意。操作風(fēng)險指的是由于不完善或失靈的內(nèi)部程序、人員及系統(tǒng)或者外部事件而引起損失的風(fēng)險。銀行對操作風(fēng)險的管理也日益提上日程。為了應(yīng)對操作風(fēng)險，巴塞爾銀行業(yè)協(xié)會規(guī)定銀行須提取一定的資本金。

在計提風(fēng)險資本金之外，巴塞爾新資本協(xié)議開始將保險作為管理操作風(fēng)險的一個重要手段。協(xié)議規(guī)定，只有使用高級計量法的銀行可以使用保險作為緩釋資本金的手段，即用保險來降低對資本金的計提，但是降低的比例不能超過資本金的20%。[1]保險能減少銀行資金的不確定性，增加銀行資本的流動性，也能降低對資本金的計提，從而提高銀行資金的利用率和安全性。

到目前為止，已有一些學(xué)者對操作風(fēng)險保險的緩釋效應(yīng)進(jìn)行了研究。布萊茨（Brandts）等利用泊松沖擊模型考慮了共同沖擊和隨機(jī)沖擊對操作風(fēng)險的影響，利用了2002LDCE中沖擊頻數(shù)和成功概率的參數(shù)計算了操作風(fēng)險的尾部情況。[2]勒維斯（Lewis）等考慮了1980～2001年之間OpVar操作風(fēng)險損失庫中的100個未授權(quán)（Unauthorized Trade，UAT），分析了未授權(quán)的公平轉(zhuǎn)移價格。[3]巴扎爾羅（Bazzarello）等考慮了剩余期限、保險支付的不確定性和對手方交易風(fēng)險，在對這三者均作一定的折扣后，得出了銀行對被保險人的賠付。[4]布萊茨基于保費固定的情況，考慮了在不同的保費計算方法下，計算了免賠額和賠償上限，比較了不同賠付原則下的風(fēng)險降低（Risk Reduction）作用。[5]彼得斯（Peters）等基于穩(wěn)定分布，分析了在賠償上限固定的情況下，針對不同保單的制定原則，刻畫了被保險人的保險緩釋效應(yīng)和保險人的賠付比例，并確定了最優(yōu)的保險點。[6]

受到布萊茨等的啟發(fā)，本文試圖考慮：在保費固定的情況下，賠償限額和在險價值存在何種關(guān)系？對于銀行來說，購買保險期望損失是否會增加？有沒有一個在險價值和期望損失的較好的組合點？

文章結(jié)構(gòu)如下：在模型設(shè)定部分，給出了操作風(fēng)險損失服從的分布，闡述了對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整的方法，給出了合同的設(shè)定方法和四種保費的計算方法，也解釋了損失分布法的原理。需要注意的是，計算后的保費是固定的。在結(jié)果及其分析部分，文章分析了在險價值和賠償限額的關(guān)系、期望損失和賠償限額的關(guān)系，并指出在險價值和期望損失存在一定程度的替代關(guān)系。關(guān)于綜合在險價值和期望損失，本文對銀行的最優(yōu)保險點進(jìn)行了描述。最后部分是結(jié)論。

一、保險緩釋的模型設(shè)定

文章的數(shù)據(jù)來自媒體和網(wǎng)絡(luò)的公開報道，由四大銀行（中國銀行、中國農(nóng)業(yè)銀行、中國工商銀行、建設(shè)銀行）1995～2006年間零售銀行業(yè)務(wù)線大于等于500萬元的86個操作風(fēng)險損失數(shù)據(jù)構(gòu)成。數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征參見表1。

表1

1.操作風(fēng)險損失分布的假定和調(diào)整

一般假定損失過程服從復(fù)合泊松分布。

χt表示第t年的操作風(fēng)險損失，Yτ表示第τ個損失的嚴(yán)重性或損失程度，參數(shù)服從對數(shù)均值為μ和對數(shù)方差為σ的對數(shù)正態(tài)分布。

損失的個數(shù)或損失頻數(shù)為N，一般假定參數(shù)服從均值為λ泊松分布。

不過，此處需注意的是，要對使用的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整。不能用公布的數(shù)據(jù)直接建模，否則就會犯模型誤設(shè)的錯誤。因為實際報告的數(shù)據(jù)往往是超過某個臨界點的數(shù)據(jù)，一些小的數(shù)據(jù)往往被忽略掉了，所以根據(jù)實際報告的數(shù)據(jù)直接得出的結(jié)果與真實的結(jié)果會有差距。為了簡單，本文的調(diào)整采用了布德（Baud）等的方法。[7]對損失程度的調(diào)整：

f（·）是分布函數(shù)，x是損失程度，H是臨界值，這里取500。I（·）是示性函數(shù)，具體表述如上。

對損失頻數(shù)的調(diào)整：

λ是發(fā)生頻率，此式的意思是：真實的發(fā)生頻率是觀測到的頻率除以損失程度大于等于H的概率值。

這里 是指μ和σ的極大似然估計量。

此外，計算銀行該業(yè)務(wù)線的損失頻數(shù)還應(yīng)考慮到銀行的規(guī)模。因為小銀行與大銀行操作風(fēng)險損失的量級是很不一樣的。文章只研究了大銀行的損失數(shù)據(jù)，具體而言是只研究了四大銀行的損失數(shù)據(jù)，具有較大的同質(zhì)性。對于每個銀行的損失頻數(shù)，還應(yīng)該在上面的頻數(shù)上除以4，作為每個銀行的損失頻數(shù)。

2.保險合同的設(shè)定和四種定價方法

合同是這樣設(shè)定的：合同以每年發(fā)生的損失總額為依據(jù)，在一定的免賠額（B）以下，保險公司不進(jìn)行賠付。在一定的損失（U）以上，保險公司的最多賠付也僅為U-B（考慮了免賠額）。賠付額為C，X為發(fā)生損失，其函數(shù)為：

而保費的計算方法即保費的定價方法，本文參考了古瓦而茨（Goovaerts）等（1984），選取了精算學(xué)中常用的四種定價方法，分別是期望價值定價法、方差定價法、Esshcer定價法和最大損失定價法，式子分別列在下邊。[8]

（1）期望價值定價法（EV）。

P是保費，α1是加成系數(shù)，C是賠付額，此式是指保費為期望賠付加上一定的比例。

（2）方差定價法（VA）。

此式是指保費為期望賠付加上一定比例的賠付的方差，因為方差膨脹得很快，所以取一個大于零的很小的正數(shù)。

（3）Esshcer定價法（ESH）。

α3是風(fēng)險規(guī)避系數(shù)。此式由經(jīng)濟(jì)學(xué)中保費的期望效用定價法演變而來。

（4）最大損失定價法（ML）。

保費由期望賠付和最大的賠付額加權(quán)而成。

3.在險價值和損失分布法模擬原理

在確定了損失分布和保費的定價法后，我們給出了銀行操作風(fēng)險的在險價值VaR，在險價值的定義是：

其中inf是指下確界，Pr是指概率，q指分位點，一般取95%、99.5%、99.9%，本文取99%。VaRq是指在分位點q下的在險價值，Y是經(jīng)過調(diào)整后的損失，即銀行獲得保險賠付后的損失。

本文用損失分布法進(jìn)行了Monte-Carlo模擬，計算了在險價值。損失分布法的模擬原理是：先模擬出損失頻數(shù)，該頻數(shù)服從均值為λ的泊松分布；在產(chǎn)生損失頻數(shù)后，再模擬出損失程度分布，參數(shù)服從對數(shù)均值為μ和對數(shù)方差為σ的對數(shù)正態(tài)分布。然后將損失分布加總并排列，在本文中99%的分位點的值就是所求的在險價值。文中進(jìn)行了50萬次的Monte-Carlo模擬。

文章給出了未經(jīng)保險的在險價值（其值為V）、保險后各合約在不同定價方法下的在險價值、原始的期望損失（未經(jīng)保險的期望損失）和保險后的期望損失（包括保費在內(nèi)）。用于購買保險的保費為8000萬元，保費的取值對文章的結(jié)論沒有太大的影響。

二、計算結(jié)果和分析

1.調(diào)整后操作風(fēng)險損失分布的計算結(jié)果

本文以500萬元為下限，用對數(shù)正態(tài)擬合了操作風(fēng)險損失大于等于500萬元的數(shù)據(jù)，得出μ為8.74，σ為 1.53。文章運用了 Kolmogorov-Smirnov（KS）、Anderson-Darling（AD）檢驗。經(jīng)檢驗，KS 的值為0.1073，p 值 為 0.2688，AD 值 為 1.0371，p 值 為0.3382，這些檢驗結(jié)果說明，可以用對數(shù)狀態(tài)來擬合損失的嚴(yán)重性，而其他常用分布的擬合效果經(jīng)檢驗后都不太好，在此不予列出。假定損失頻數(shù)服從泊松分布，擬合后λ為7.25，利用PearsonX2檢驗，其值為64，而p值為0.2162。檢驗后說明對數(shù)正態(tài)和泊松分布的假定是成立的。

在此基礎(chǔ)上，用前文所述的方法進(jìn)行了調(diào)整，估算出損失程度的系數(shù)μ為8.24，σ為1.9。調(diào)整后的每家銀行的發(fā)生頻數(shù)為2.12。

2.賠償限額和在險價值的關(guān)系

本文計算了在免賠額變動情況下，賠償限額（U）和在險價值、保險后的期望損失（ES）的關(guān)系，未經(jīng)保險的期望損失（OES）為47052。限于篇幅，僅列出了期望價值定價法下這些變量的值，如表2所示。其中，V是操作風(fēng)險未經(jīng)保險的在險價值，為674899，C是銀行獲得賠付后的損失，等于U-B，EC指期望損失。

經(jīng)計算，未經(jīng)保險的操作風(fēng)險的在險價值是674899。經(jīng)計算，當(dāng)免賠額B=0時，在期望價值定價法下，U=8685，此時在險價值為661486（參見表2）。在方差定價法下，U=12727，在險價值為649244，在 Esshcer定價法下，U=12729，在險價值為649221，在最大損失定價法下，U=12737，在險價值為649225。隨著U的上升，毫無例外的，在險價值都是先下降（U大于511174），之后震蕩（U介于511174和726595），然后繼續(xù)上升，在U=590429時在險價值達(dá)到最小值。

3.賠償限額和期望損失的關(guān)系

經(jīng)計算，未經(jīng)保險的期望損失（OES）為47052，在期望價值定價法下，當(dāng)B=0時，期望損失為47162，較之未經(jīng)保險的期望要稍高，而其他三種定價法下期望損失較之未經(jīng)保險的期望要稍低。在期望價值定價法下，期望損失是先上升之后小幅震蕩然后小幅下降，其他三種定價法下期望損失是先上升之后小幅震蕩然后上升。

而從上文可以看出，在險價值是先下降后震蕩再上升，而期望損失在期望價值定價法下是先升后降再升再降，而其他三種定價法下是先升后降再升。所以，隨著賠償限額的上升，在險價值于期望損失存在一定程度的替代關(guān)系。

銀行在決定保險時，既要考慮到它的收益，即在險價值的降低，也要考慮它的成本，即期望損失的上升。低在險價值和低成本的組合點是銀行的最優(yōu)保險點。

不過，相比而言，在這個過程中，在險價值的降低效應(yīng)更為顯著。以期望價值定價法為例，當(dāng)賠償限額（U）取 8700時，期望損失（ES）為 45614，在險價值為656876；而U=590429時，ES=49897，在險價值為390422.8。在此過程中，在險價值的降低為266453，而ES的上升僅為4283?？梢匀绱丝紤]：在險價值的計提是需要成本的，因為這些資金不能流動，在險價值降低的部分意味著銀行可以用這筆錢來進(jìn)行投資或者放貸，從而獲得更高的收益率。以保守的5%計算，所獲收益為13322，要高于期望損失4283。所以，考慮了期望損失和在險價值的替代關(guān)系后，最優(yōu)保險點仍為U=590429。

表2

三、結(jié)論和建議

文章分析了賠償限額和在險價值的關(guān)系，刻畫了賠償限額和期望損失的關(guān)系，并認(rèn)識到期望損失和在險價值存在一定程度的替代關(guān)系。在綜合在險價值下降和期望損失上升的效應(yīng)后，文章得出了銀行的最優(yōu)保險點。文章的分析結(jié)果有助于銀行在操作風(fēng)險的保險時確定合適的賠償限額。

文章僅僅考慮了單一的業(yè)務(wù)線，如果考慮所有的業(yè)務(wù)線，巴塞爾新資本協(xié)議規(guī)定保險減讓對資本金的計提不能超過總的計提資本金的20%。文章沒有考慮業(yè)務(wù)線加總的情況，所以也就沒有考慮這一限制，這是文章在實踐中有待深入研究的地方。

[1]Basel Committee on Banking Supervision，International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards[Z].Supporting Document to the New Basel Accord，2004：144.

[2]Silke N.Brandts.Operational Risk and Insurance：Quantitative and Qualitative Aspects [Z].Working Paper，2004. http：//papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id =493082，2011-03-16.

[3]Christopher Lewis，Yakov Lantsman.What is a Fair Price to Transfer the Risk of Unauthorized Trading?A Case Study on Pricing Operational Risk[Z].Working Paper，F(xiàn)itch Risk Management，Greenwich，CT，2005.http：//papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=667103，2011-02-26.

[4]David Bazzarello，Bert Crielaard.Fabio Piacenza，Aldo Soprano.Modeling Insurance Mitigation on Operational Risk Capital[J].Journal of Operational Risk，2006（5）：57-65.

[5]Silke N.Brandts，Nicole Branger.“Simple measures for operational risk reduction?An Assessment of Implications and Drawbacks”in Operational Risk toward BaselⅢ：Best Practice and Issues in Modelling Management and Regulation，G.Gregoriou，Eds.[M].New Jersey：John Wiley&Sons，2009：337-357.

[6]Gareth W. Peters， Aaron Byrnes， Pavek V.Shevchenko.Impact of Insurance for Operational Risk：is it Worthwhile to Insure or be Insured for Severe Losses?[J]Insurance：Mathematics and Economics，2010（12）：1.

[7]Nicolas Baud，Antoine Frachor，Thierry Roncalli.Internal Data，External Data and Consortium Data for Operational Risk Measurement：How to Pool Data Properly，Technical Report[Z].Working Paper，Groupe de Recherché Operaionnelle，Credit Lyonnais， France，2002：http：//www.thierry-roncalli.com/，2011-01-20.

[8]Marc Goovaerts，F(xiàn)lorent.De Vylder，Jean Haezendonck，Insurance Premiums[M].Amsterdam North Holland Publishing，1984：37-45.

Compensation Limit and the Operational Risk Optimal Insurance

NiYun-song1and DENG Jiu-gen2

（1.Renmin University of China，Beijing100872，China；2.Jiangxi Normal University，Nanchang，Jiangxi330022，China）

The Basel II Framework allows banks using AMA to recognize the risk mitigating impact of insurance in calculating operational risk regulatory capital.Calculating the VaR is a prerequisite for regulatory capital.The authors first consider the relationship between VaR and compensation limit.It shows that VaRs，as the premiums are fixed，decrease in the beginning and fluctuate later and then increase.To some extent，in this article there is a trade-off between VaR and the expected loss of banks.The authors try to calibrate the optimal insurance point as the VaR and the expected loss are both considered.The data are from retail banking operational risk loss of the major four banks in China.

VaR；operational risk insurance；compensation limit

F840.32

A

1007－8266（2011）05－0119－04

倪云松（1979－），男，浙江省杭州市人，中國人民大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院博士研究生，主要研究方向為數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)；鄧久根（1968－），男，江西省吉安縣人，江西師范大學(xué)財政金融學(xué)院副教授，主要研究方向為演化經(jīng)濟(jì)學(xué)。

林英澤