高智中

(安徽科技學(xué)院 理學(xué)院,安徽 鳳陽　233100)

0　引言

在過去的40年中,混沌在數(shù)學(xué)和工程通信等方面得到了廣泛的研究,主要包括混沌生成、混沌分析、非線性電路實(shí)現(xiàn)及混沌應(yīng)用等.混沌生成是指有目的地產(chǎn)生新的混沌系統(tǒng)或者強(qiáng)化原有的混沌系統(tǒng)的混亂度,它不僅是混沌理論研究的需要,而且已成為混沌應(yīng)用的關(guān)鍵.自從1963年Lorenz[1]在分析氣候數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌吸引子以來,1999年Chen和Ueta利用混沌反控制方法成功實(shí)現(xiàn)了一個(gè)與Lorenz相似但不拓?fù)涞葍r(jià)的新混沌系統(tǒng),即Chen系統(tǒng)[2].2002年又通過混沌反控制的想法發(fā)現(xiàn)了Lü系統(tǒng)[3],這三個(gè)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上類似,但拓?fù)洳坏葍r(jià),同年,Chen和Lü還通過引入一個(gè)可變參數(shù),提出了一個(gè)統(tǒng)一的混沌系統(tǒng)[4].之后,人們不斷地發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)[5-10].為了更好地利用混沌,學(xué)者們提出了許多不同的混沌控制和同步方案,比如反饋控制,自適應(yīng)方法,驅(qū)動(dòng)響應(yīng)方法等[11-15]. 近年來,混沌理論、混沌控制和同步是非線性科學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[16].

本文構(gòu)造了一個(gè)新的連續(xù)自治系統(tǒng),通過理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真手段分析了其動(dòng)力學(xué)行為,證實(shí)了所構(gòu)造的系統(tǒng)是一個(gè)新混沌系統(tǒng).接著利用反饋控制法分別實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌控制與同步,數(shù)值仿真結(jié)果表明了該方法的實(shí)用性和開放性.

1　混沌模型及其混沌吸引子

構(gòu)造的新自治系統(tǒng)為

其中x,y,z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,a,b為系統(tǒng)的參數(shù).當(dāng)參數(shù)a=1,b=5時(shí),利用Wolf方法數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)的三個(gè)Lyapunov指數(shù)為λ1=0.1024,λ2=-0.0006,λ3=-1.0819,說明此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),由于系統(tǒng)的散度V=++=-1<0,所以系統(tǒng)始終是耗散的,并以指數(shù)形式=e-1收斂.也就是一個(gè)初始體積為V(0)的體積元在時(shí)刻t時(shí)收縮為體積元V(0)e-t.這意味著,當(dāng)t→∞時(shí),包含系統(tǒng)軌線的每個(gè)小體積元以指數(shù)速率-1收縮到零,所有系統(tǒng)軌線最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為零的極限子集上,其漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)將被固定在一個(gè)吸引子上,這就說明了吸引子的存在性.圖1給出了當(dāng)參數(shù)a=1,b=5的混沌吸引子的平面相圖.從相圖上可以看出系統(tǒng)的混沌吸引子具有復(fù)雜的折疊和拉伸軌線和復(fù)雜的幾何形狀,且系統(tǒng)的軌線是有界的.

圖1　系統(tǒng)的混沌吸引子

2　新自治系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)分析

2.1　平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

2.2　參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖可以很直觀地分析出系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變化情況.圖2給出了固定參數(shù)b=5,系統(tǒng)隨參數(shù)a變化關(guān)于x的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖.由圖2可見系統(tǒng)隨參數(shù)a經(jīng)歷倒倍周期分岔進(jìn)入穩(wěn)定的周期一軌道,且系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜是吻合的.圖3給出了在x-y平面的三種典型的周期軌道.

圖2　系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜圖

周期四(a=1.3) 　　　　　　　　周期二(a=1.4) 　　　　　　　　周期一(a=1.8)圖3　系統(tǒng)在x-y平面的典型周期軌圖

圖4給出了固定參數(shù)a=1,系統(tǒng)隨參數(shù)b變化關(guān)于x的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖. 由圖4可見系統(tǒng)隨參數(shù)b經(jīng)歷倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài),且系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜是吻合的. 圖5給出了在x-z平面的三種典型的周期軌道.

圖4　系統(tǒng)隨參數(shù)b變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜圖

周期一(b=1.5) 　　　　　　　　 周期二(b=2.5) 　　　　　　　　周期四(b=2.9)圖5　系統(tǒng)在x-z平面的典型周期軌圖

3　新自治系統(tǒng)的控制

為了控制不穩(wěn)定的平衡點(diǎn),利用線性反饋法進(jìn)行控制,受控系統(tǒng)為

取k=2,系統(tǒng)的軌道漸近穩(wěn)定到平衡點(diǎn)上.圖6給出了系統(tǒng)被控制到平衡點(diǎn)的響應(yīng)曲線圖.

圖6　系統(tǒng)被控制到平衡點(diǎn)的響應(yīng)曲線圖

4　新自治系統(tǒng)的同步

以新自治系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),則響應(yīng)系統(tǒng)為

其中,u1,u2,u3為非線性反饋控制器,并設(shè)誤差變量e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,則誤差系統(tǒng)為

設(shè)計(jì)了如下一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性控制器

則誤差系統(tǒng)進(jìn)一步可簡(jiǎn)化為

圖7　驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差曲線

5　結(jié)論

本文構(gòu)造了一個(gè)新自治系統(tǒng),分析了平衡點(diǎn)的性質(zhì)和系統(tǒng)隨單個(gè)參數(shù)變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖,通過對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的改變,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為.利用線性反饋控制法將系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)進(jìn)行了有效的控制,基于Lyapunov第二方法構(gòu)造了非線性函數(shù),并對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的非線性控制器,實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步.同時(shí)給出了數(shù)值模擬結(jié)果.

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