張新建

(淮陰師范學院 數(shù)學科學學院,江蘇 淮安　223300)

0　引言

本文考慮的是有限群,G總是表示群,H?G表示H是G的正規(guī)子群,其他符號和概念是標準的,可參見文獻[1].

群G的子群H和T稱為是可置換的,如果HT=TH.群G的子群H稱為G的S-擬正規(guī)(或π-擬正規(guī))子群[2],如果H與G的每個Sylow子群可置換;H稱為G的S-擬正規(guī)嵌入子群[3],如果對每個整除H的素因子p,H的一個Sylowp-子群也是G的某個S-擬正規(guī)子群的Sylow p-子群.

一方面,在文獻[4]中,作者利用群G的所有pm階子群的S-擬正規(guī)嵌入性質研究群G的結構,得到了主要的定理:

定理A設p是G的階的最小素因子,P是G的一個Sylowp-子群,則G是p-冪零群當且僅當存在P的子群D滿足1<|D|<|P|使得P的所有階為|D|或4(當|D|=2時)的子群在G中S-擬正規(guī)嵌入.

定理B設p為G的階的奇素因子,P是G的一個Sylow p-子群,則G是p-冪零群當且僅當NG(P)是p-冪零群且存在P的子群D滿足1<|D|<|P|使得P的所有階為|D|的子群在G中S-擬正規(guī)嵌入.

另一方面,著名的Frobenius定理[1]斷言:如果群G的所有的p-子群H的正規(guī)化子NG(H)是p-冪零群,那么G是p-冪零群.

在本文中,我們利用群G的所有pm階子群H的正規(guī)化子的p-冪零性及H的S-擬正規(guī)嵌入性得到了群G的p-冪零性的一個判定定理:

定理2設p為G的階的奇素因子,P是G的一個Sylow p-子群,則G是p-冪零群當且僅當且存在P的子群D滿足1<|D|<|P|使得P的所有階為|D|的子群H在G中S-擬正規(guī)嵌入且NG(H)是p-冪零群.

1　主要引理

引理1[2]假設U是G的S-擬正規(guī)嵌入子群,H是G的子群,N是G的正規(guī)子群.

(a) 如果U≤H,則U是H的S-擬正規(guī)嵌入子群.

引理2[1]G的S-擬正規(guī)子群在G中次正規(guī).

引理3[5]設H是G的S-擬正規(guī)子群,P是H的Sylow p-子群,其中p是素數(shù).如果HG=1,那么P是G的S-擬正規(guī)子群.

引理4[4]設N是G的初等交換正規(guī)子群.如果N有子群D滿足1

引理5[6]假設p是素數(shù),G是非p-冪零群但G的每個真子群是p-冪零群.則

(a)G有正規(guī)的Sylowp-子群P且G=PQ,其中Q是非正規(guī)的Sylowq-子群,q≠p.

(c)P的冪指數(shù)為p或4.

2　主要結論

定理1設P為群G的一個Sylowp-子群,其中p∈π(G).則G是p-冪零群當且僅當P的每個極大子群P1在G中S-擬正規(guī)嵌入且NG(P1)是p-冪零群.

證明如果G是p-冪零群,那么G=[Op′(G)]P.設H是P的任一極大子群.NG(H)的p-冪零性是顯然的.由HOp′(G)?POp′(G)=G可知H在G中S-擬正規(guī)嵌入.

反之,假設結論不正確,G為滿足條件的極小階反例,則有

1)p為奇素數(shù).如果p=2,那么由文獻[7]中定理3.1可得G是p-冪零群,矛盾.

則P1Op′(G)?K,因此K=NK(P1)P1Op′(G)=NG(P1)Op′(G)≤K,這意味著

3) 設T是G的包含P的真子群,則T是p-冪零群.

設P1是P的任一極大子群.顯然NT(P1)≤NG(P1).由假設,我們有NT(P1)是p-冪零群.又由引理1,P1在T中S-擬正規(guī)嵌入.因此T滿足定理的假設,由G的極小性選擇可得T是p-冪零群.

5) |P|=|N|=p,最后的矛盾.

由4),Φ(G)=1,于是G有極大子群M使得G=MN且M∩N=1.顯然,P=N(P∩M).因為P∩M

因此反例不存在,結論得證.

定理2設p為群G的階的奇素因子,P是G的一個Sylow p-子群,則G是p-冪零群當且僅當且存在P的子群D滿足1<|D|<|P|使得P的所有階為|D|的子群H在G中S-擬正規(guī)嵌入且NG(H)是p-冪零群.

證明若G是p-冪零群,則由定理1可知結論是成立的.反之,假設結論不正確,G為滿足條件的極小階反例.

1) 設T是包含P的G的真子群,則T是p-冪零群.

證明類似于定理1的證明中的3).

2) |P:D|>p且|D|>p.

3)Op(G)≠1.令N是包含在Op(G)中的G的極小正規(guī)子群,則|N|<|D|.

因為G是非p-冪零群,由(1)和Glauberman-Thompson定理,NG(Z(J(P)))是非p-冪零群,其中J(P)是P的Thompson子群.注意到Z(J(P))是P的特征子群,NG(P)≤NG(Z(J(P))).由3),我們有NG(Z(J(P)))=G,這意味著Op(G)≠1.如果|N|=|D|,那么由假設,G=NG(N)是p-冪零群,矛盾.假設|N|>|D|,因為N≤Op(G),N是初等交換群.由引理4,N有極大子群在G中正規(guī),則由N的極小正規(guī)性可得|N|=p,從而|D|=1,矛盾于假設.因此|N|<|D|.

5) 得到結論.

參考文獻：

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