陸世炎，李全艷，金光植＊

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系，河南 鄭州450001）

具有等待時(shí)間的復(fù)雜可修復(fù)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性

陸世炎1，李全艷2，金光植1＊

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系，河南 鄭州450001）

研究了具有等待時(shí)間的復(fù)雜可修復(fù)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.利用泛函分析的方法將模型方程組轉(zhuǎn)化成抽象的Cauchy問題，運(yùn)用強(qiáng)連續(xù)算子半群理論證明了系統(tǒng)動態(tài)非負(fù)解的指數(shù)穩(wěn)定性.

C0－半群；擬緊性；可修復(fù)系統(tǒng)；指數(shù)穩(wěn)定性

文獻(xiàn)［1］的作者建立了具有等待時(shí)間的復(fù)雜可修復(fù)系統(tǒng)模型，并用Laplace變換研究了系統(tǒng)的各項(xiàng)可靠性指標(biāo)，得到了Laplace變換下的狀態(tài)概率.在文獻(xiàn)［2－3］中作者分別運(yùn)用積分方程理論證明了此類模型動態(tài)非負(fù)解是存在唯一的.在文獻(xiàn)［4］中趙占峰等運(yùn)用泛函分析的方法，將問題轉(zhuǎn)化成了抽象的Cauchy問題，并運(yùn)用強(qiáng)連續(xù)算子半群理論證明了該系統(tǒng)動態(tài)非負(fù)解的適定性.本文將延續(xù)和推廣文獻(xiàn)［4］的結(jié)論，即證明該系統(tǒng)動態(tài)解的指數(shù)穩(wěn)定性.

1 系統(tǒng)假設(shè)與預(yù)備知識

首先對系統(tǒng)做如下假設(shè)：①最初，機(jī)器處于完好狀態(tài)；②機(jī)器有2個(gè)狀態(tài)，即好與故障；③機(jī)器有n個(gè)部件；④機(jī)器修復(fù)如新；⑤在修復(fù)的系統(tǒng)中只要有一個(gè)因素改變就可以使系統(tǒng)的狀態(tài)在任何瞬間發(fā)生改變；⑥機(jī)器只有在狀態(tài)6（state 6：machine failed and awaitingrepair.詳情見文獻(xiàn)［1］）的情況下才能被修理；⑦機(jī)器的各個(gè)組成部分的故障率和修復(fù)率是常數(shù)；⑧故障類型（硬件、人和系統(tǒng)故障）可能發(fā)生在機(jī)器的操作階段；⑨等待率是常數(shù).記λH1表示當(dāng)機(jī)器因?yàn)榘踩ъ`無法工作時(shí)硬件的故障率；λH2表示當(dāng)機(jī)器因?yàn)楣收蠠o法工作時(shí)硬件的硬件故障率；λh1表示當(dāng)機(jī)器因?yàn)榘踩ъ`無法工作時(shí)人為的故障率；λh2表示當(dāng)機(jī)器因?yàn)楣收蠠o法工作時(shí)人為的故障率；ωi表示部件從狀態(tài)i到6的等待率（i＝1，2，3，4）；ω5表示部件k（k＝1，2，…n）從狀態(tài)5到6的等待率；λ表示部件k（k＝1，2，…n）從狀態(tài)5到6的故障率；μ（x）表示風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)；pi（t）表示在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)i的概率（i＝0，1，2，3，4，5）；p6（x，t）表示在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)6，并且已經(jīng)用的修復(fù)時(shí)間是x的概率密度函數(shù).文獻(xiàn)［1］的系統(tǒng)模型可由積分 微分方程組表示如下：

根據(jù)實(shí)際情況可假設(shè)維修率的均值存在且不恒等于零［5－6］.

2 主要結(jié)果

為了證明系統(tǒng)解的指數(shù)穩(wěn)定性，先假設(shè)λ1＝λH1，λ2＝λh1，λ3＝λH2，λ4＝λh2，λ5＝λ，并給出以下幾個(gè)引理.

引理1［4］設(shè)算子為如上定義，則可得出以下3個(gè)結(jié)論：① 當(dāng)γ＞0時(shí)，γ∈ρ（A），并且在X中稠密；③T（t）為一正定壓縮C0半群.

引理2

證明 對任意γ∈C，Reγ＞0或γ＝ia（a∈R，a≠0），考慮預(yù)解方程（γI－A－B）P＝Y(jié)，Y∈X，有

解方程（6）得

因?yàn)閥6（x）∈L［0，∞）1，于是有故p6（x）∈L［0，∞）1.將（8）式代入（4）式并聯(lián)立（5）式得到1個(gè)方程組，記其系數(shù)矩陣為D（γ），則

定理1 系統(tǒng)（2）具有唯一非負(fù)時(shí)間依賴解P（x，t），滿足：P（·，t）＝T（t）P（0）且t∈ ［0，∞）.

證明 非負(fù)時(shí)間依賴解P（·，t）可以表示成P（·，t）＝T（t）P（0），（P（0）＝ （1，0，0，0，0，0，0））.由引理知另一方面，因?yàn)镻（·，t）∈D（A＋B）且P（·，t）滿足方程組（1），故有因此

定理2 0是算子A＋B的簡單本征值.

證明 考慮方程（γ－A－B）P＝0，取其系數(shù)行列式為

證明 同樣考慮方程（γI－A－B）P＝Y(jié)，類似引理2中的做法，得出D（γ）.不難得出是解析函數(shù).此外，當(dāng)時(shí)，故存在N＞0，c＞0，使得時(shí)，因此，當(dāng)－μ＜Reγ≤0時(shí)，有至多可數(shù)個(gè)重?cái)?shù)有限的零點(diǎn)，且均含在區(qū)域中.由此易知這些零點(diǎn)均為代數(shù)重?cái)?shù)有限的本征值，并且這些零點(diǎn)的幾何重?cái)?shù)有限，故代數(shù)重?cái)?shù)有限，定理得證.

以上定理中零點(diǎn)不屬于算子A＋B的本質(zhì)譜為σess（A＋B），于是－μ｝，最后根據(jù)etσess?σess（T（t））可得出Wess（A＋B）≥－μ.我們先考慮以下算子A生成的半群S

顯然，算子B為緊算子，對任意P∈D（A），有

易證算子A生成的C0－半群S（t）對任意φ∈X滿足

定理4 系統(tǒng)算子A＋B生成的C0－半群T（t）是擬緊半群.

證明 以下證明A的本質(zhì)增長階Wess（A）＜－μ.對于φ∈X，由假設(shè)條件（3）并結(jié)合（9）式可得，所以因?yàn)锽為緊算子，于是得到Wess（A＋B）＝Wess（A）＝W（A）＝－μ.因此，由文獻(xiàn)［8］中性質(zhì)2.8知，系統(tǒng)算子生成的C0－半群T（t）是擬緊半群.

性質(zhì)1［8］系統(tǒng)算子A＋B生成的C0－半群T（t）可以分解為T（t）＝＋R（t），其中ˉP0是本征值0對應(yīng)的留數(shù)，且 ?C，ε＞0，使得R（t）≤Ce－εt成立.

定理5 系統(tǒng)（2）的非負(fù)時(shí)間依賴解以指數(shù)形式收斂于穩(wěn)態(tài)解，即

證明 由定理1，系統(tǒng)（2）的非負(fù)時(shí)間依賴解可以表示為P（t）＝T（t）P（0），t∈ ［0，∞），所以于是得到

［1］Gupta P P，Arvind Kumar.Reliability and MTTF Evaluation of Repairable Complex System under Waiting［J］.Microeletron Reliab，1987，27（3）：429－432.

［2］郭衛(wèi)華.一個(gè)可靠機(jī)器，一個(gè)不可靠機(jī)器和一個(gè)緩沖庫構(gòu)成的系統(tǒng)的定性分析［J］.數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識，2002，32（6）：939－943.

［3］郭衛(wèi)華.一類兩個(gè)相同部件并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)解的存在性和唯一性［J］.數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識，2002，32（4）：632－634.

［4］趙占峰，王鴻燕，亓正申.具有等待時(shí)間的復(fù)雜可修復(fù)系統(tǒng)解存在的唯一性［J］.平頂山學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，24（5）：78－81.

［5］Hu W W，She Z F，Xin Y H，et al.Exponential Stability of a Repairable System with Imperfect Switching Mechanism［J］.Asymptotic Analysis，2007，54（1）：93－102.

［6］Hu W W，Xu H B，Yu J Y，et al.Exponential Stability of a Reparable Multi－state Device［J］.Journal of Systems Science and Complexity，2007，20（3）：437－443.

［7］程云鵬.矩陣論［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

［8］Arendt W，Nagel.One－parameter Semigroups of Positive Operators［M］.Ne wYork：Springer－Verlag，1986.

［9］Pazy A.Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Diffierential Equations［M］.Ne wYork Springer，1983.

Exponential Stability of a Repairable Complex System under Waiting

LU Shi－yan1，LI Quan－yan2，JIN Guang－zhi1＊
（1.DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China；2.DepartmentofMathematics，ZhengzhouUniversity，Zhengzhou450001，China）

This paper studied the exponential stability of a repairable complex system under waiting.We transfered equations of the model into an abstract Cauchy problem using the method of the functional analysis.Applying the theory of strong continuous semi－group，we proved the exponential stability of the dynamic nonnegative solution of the system.

C0－semigroup；quasi－compactness；repairable system；exponential stability

O177

A

1004－4353（2011）03－0226－04

2011 -06 -11

＊通信作者：金光植（1959—），男，副教授，研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué).