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        一類具(擬-)Baer性的特殊Morita Context環(huán)

        2011-12-08 11:34:40金海蘭樸哲林崔海蘭
        關(guān)鍵詞:自同構(gòu)單環(huán)同態(tài)

        金海蘭,樸哲林,崔海蘭

        (1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 延吉133002;2.吉林市朝鮮族中學(xué),吉林132021)

        一類具(擬-)Baer性的特殊Morita Context環(huán)

        金海蘭1,樸哲林1,崔海蘭2

        (1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 延吉133002;2.吉林市朝鮮族中學(xué),吉林132021)

        通過反例得出R為Baer環(huán)時(shí),斜群環(huán)R*G與固定環(huán)RG未必是Baer環(huán)的結(jié)論.進(jìn)而探討了斜群環(huán)和固定環(huán)構(gòu)成(擬-)Baer環(huán)的條件.通過對(duì)Morita Context環(huán)分解,得到斜群環(huán)和固定環(huán)構(gòu)成的Morita Context環(huán)作成(擬-)Baer環(huán)的條件.

        Baer環(huán);擬-Baer環(huán);Morita Context環(huán);斜群環(huán);固定環(huán);單環(huán)

        0 引言

        Baer環(huán)是一類經(jīng)典環(huán),其理論在數(shù)學(xué)的其他分支有著廣泛的應(yīng)用.所謂Baer環(huán)是指對(duì)于一個(gè)環(huán)R,如果R的非空子集(右理想)的右零化子是由冪等元生成的右理想,則稱R為)Baer環(huán)[1];如果R環(huán)的每個(gè)主右理想的右零化子是由冪等元生成的右理想,則R 稱為右主擬,簡(jiǎn)記為右環(huán)[2].Baer環(huán)的概念可以在模中推廣:對(duì)于一個(gè)右模MR,如果MR的非空子集(子模)的右零化子是由冪等元生成的右理想,則稱MR為模[3];環(huán)R為環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)RR為模[4].

        Morita Context理論最初是由K.Morita在文獻(xiàn)[6]中為證明單環(huán)結(jié)構(gòu)的 Wedderburn定理引進(jìn)的,后來成為一個(gè)重要的研究工具,尤其是在構(gòu)造環(huán)論中具有特性的環(huán)時(shí),常用Morita Context環(huán)來構(gòu)造.所謂 Morita Context指的是六位一體的代數(shù)結(jié)構(gòu)(R,V,W,S,ψ,φ),其中R和S 為環(huán),V =RVS為R-S雙模,W =SWR為S-R雙模,ψ∶V?SW →R為雙模中間線性同態(tài),φ∶W ?RV→S為雙模中間線性同態(tài),且對(duì)任意 ?v,v′∈V,w,w′∈W,滿足ψ(v?w)v′=vφ(w?v′),φ(w?v)w′= wψ(v? w′)[7].

        文獻(xiàn)[5]探討了C*_代數(shù)A和A的自同構(gòu)群G上的斜群環(huán)A*G和固定環(huán)AG的一些性質(zhì).文獻(xiàn)[1]證明了R為半素右.Baer環(huán),而且還證明了存在Baer環(huán),G為X-outer有限群時(shí),R*G為右p.q-沒有非零撓的半素Baer環(huán)R和它的X-outer有限群G,使得R*G不是Baer環(huán),但未能給出斜群環(huán)和固定環(huán)的環(huán)構(gòu)成條件.文獻(xiàn)[9-10]探討了具有一對(duì)模零同態(tài)的Morita Context環(huán)的性質(zhì),指出若R為含幺環(huán),G為群,則為Morita Context環(huán),但沒有給出關(guān)于斜群環(huán)R*G和固定環(huán)RG作成的Morita Context環(huán)的(擬Baer性的相關(guān)結(jié)論.本文首先通過反例給出R為Baer環(huán)時(shí),斜群環(huán)R*G和固定環(huán)RG未必是Baer環(huán)的結(jié)論,然后探討了斜群環(huán)和固定環(huán)的)Baer環(huán)構(gòu)成條件.進(jìn)一步,通過把Morita Context環(huán)分解成有限個(gè)Baer模的直和,得出判別斜群環(huán)R*G和固定環(huán)RG做成的Morita Context環(huán)的aer性的方法.本文中所有的環(huán)都是含幺結(jié)合環(huán),所有的模都是酉模.

        1 斜群環(huán)的(擬Baer性

        定義1 設(shè)R為環(huán),G為群,δ∶G→Aut(R)為群同態(tài)映射.令只有有限個(gè)rg≠0},則R*G關(guān)于如下定義的加法和乘法和做成一個(gè)環(huán),其中rg= (δ(g-1))(r),稱之為斜群環(huán).

        定義2 設(shè)R為環(huán),g∈Aut(R),如果存在單位u∈U(R),使得對(duì)任意x∈R,g(x)=uxu-1,則稱g為環(huán)R的內(nèi)自同構(gòu);如果G的內(nèi)自同構(gòu)只有恒等映射,則稱G為outer群[7].

        設(shè)R為環(huán),如果R2≠0且R沒有真理想,則稱R為單環(huán);如果環(huán)R的所有極大左理想的交集J(R)=0,則稱環(huán)R為半單環(huán)[12].含幺單環(huán)為半單環(huán),若R為半單環(huán),則R為左Artinian環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)它為右 Artinian環(huán)[11].

        引理1[7]設(shè)R為含幺單環(huán),G為outer群,則R*G為單環(huán);若R為Artinian環(huán),則R*G為Artinian單環(huán).

        引理2[8]半單環(huán)為Baer環(huán).

        定理1 若R為含幺單環(huán),G為outer群,則R*G為Baer環(huán).

        由引理1和引理2,結(jié)論顯然成立.

        定義 3 設(shè)R為 半 素 環(huán),I為R的 理 想,AnnR(I)表 示I的 零 化 子. 令U=∪其中為R的理想且對(duì)于I,J∈U,f∈Hom(IR,RR),g∈Hom(JR,RR),定義U上的等價(jià)關(guān)系~:f~g?存在K∈U,使得K?I∩J且令,則Qr(R)關(guān)于如下定義的加法和乘法做成一個(gè)環(huán),稱之為Martindale右商環(huán).

        定義4 設(shè)R為半素環(huán),對(duì)于g∈Aut(R),如果,則稱g為X-outer自同構(gòu);如果任意1≠g∈G為X-outer自同構(gòu),則稱Aut(R)的子群G為X-outer群[1].

        定理2 設(shè)R為半素環(huán),G為X-outer群,若R為含幺單環(huán),則R*G為Baer環(huán).

        證明 因含幺單環(huán)為半單環(huán),所以由引理2知定理顯然成立.

        2 固定環(huán)的()Baer性

        定義 設(shè)R為環(huán),G為群,δ∶G→Aut(R)為群同態(tài)映射,令其中rg= (δ(g))(r),則稱RG為R在G下的固定環(huán).

        例2 設(shè)R為環(huán)那么RG=即RG表示與R中單位均可交換的元素的集合.

        例3 存在一個(gè)環(huán)R為Baer環(huán),但RG不是Baer環(huán).設(shè)R為例1所定義的環(huán),則U(R)=對(duì)于若,則a=c.由例2的結(jié)論知而RG的冪等元只有和,因此對(duì)其中e2=e∈RG,所以RG不是Baer環(huán).

        引理3[7]若R 為含幺環(huán),G 為群,則

        設(shè)M為右R -模,如果MR≠0且M沒有真子模,則稱M為單模;若M可以寫成一族單模的直和,則稱M為半單模.

        引理4[11]右Artinian含幺半單環(huán)R上的模M為半單模.

        引理5[8]若R為含幺環(huán),M為右半單R -模,則S=End(MR)為Baer環(huán).

        定理3 設(shè)R為含幺單環(huán),G為outer群,若R為Artinian環(huán),則RG為Baer環(huán).

        證明 因R為含幺單環(huán),G為outer群,所以由引理1知R*G為單環(huán),且R為Artinian環(huán),故R*G為含幺Artinian單環(huán),因此R*G為Artinian半單環(huán).由引理4知RR*G為半單模,再由引理5知End(RR*G)為Baer環(huán),進(jìn)而由引理3知RG為Baer環(huán).

        3 斜群環(huán)和固定環(huán)做成的Morita Context環(huán)的()Baer性

        引理6[12]半單模為Baer模.

        例4 設(shè)R為含幺環(huán),G為群,易得R為RG-R*G雙模.令R*= Hom(RR*G,R*GR*G),那么R*做成R*G-RG雙模.對(duì) ?γ,s∈R,α,β∈R*,規(guī)定:

        和RG為單環(huán).由定理4知且為擬aer環(huán)為Baer環(huán),

        [1]JIN Hailan.Principally Quasi-Baer Ske wGroup Ring and Fixed Ring[D].Pusan:Pusan National University,2003:1-19.

        [2]Birkenmeier G F,Kim J Y,Park J K.Principally Quasi-Baer Rings[J].Comm Algebra,2001,29(2):1-22.

        [3]Lee T K,Zhou Y.Reduced Modules[C]//Alberto Facchini,Evan Houstou,Luigii Salce.Rings,Modules,Algebras and Abelian Groups(Lecture Notes in Pure and Appl.Math 236).Ne wyork:Marcel Dekker,2004:365-377.

        [4]Ebrahim H.A Note on p.q.-Baer Modules[J].Ne wYork J Math,2008(14):403-410.

        [5]Ara P,Mathieu M.Local Multipliers of C*-Algebras[M].Ne wYork:Springer,Berlin-Heidelberg,2003:140-155.

        [6]Morita K.Duality for Modules and Its Application to the Theory of Rrings with Minimum Conditions[J].Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigoku Sect A,1958(6):83-142.

        [7]Montgomery S.Fixed Rings of Finite Automorphism Groups of Associative Rings[M].Ne wYork:Springer-Verlag,1980:4-23.

        [8]Lam T Y.Lectures on Modules and Rings[M].Ne wYork:Springer-Verlag,1999:246-272.

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        [10]王堯,任艷麗.具有一對(duì)零同態(tài)的 Morita Context環(huán)Ⅱ[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2007,27(4):687-692.

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        [12]Tariq Rizvi S,Roman Cosmin S.Baer and Quasi Baer Modules[J].Comm Algebra,2004,32(1):103-123.

        A Class of Special Morita Context Ring with(Quasi-)Baerness

        JIN Hai-lan1,PIAO Zhe-lin1,CUI Hai-lan2
        (1.Department of Mathematics,College of Science,Yanbian University,Yanji 133002,China;2.Jilin Korean Nationality Middle School,Jilin 132021,China)

        We provided a counterexample to prove when R is Baer ring,R*G and RGare not necessarily Baer ring.Accordingly,studied the conditions of ske wgroup ring and fixed ring to be(quasi-)Baer ring.By decomposing Morita Context ring we observed conditions of Morita Context ring formed of ske wgroup rings and fixed rings to be(quasi-)Baer ring.

        Baer ring;quasi-Baer ring;Morita Context ring;ske wgroup ring;fixed ring;simple ring

        O152.2

        A

        1004-4353(2011)03-0212-04

        2011 -03 -26 作者簡(jiǎn)介:金海蘭(1963—),女,理學(xué)博士,副教授,研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)(環(huán)論).

        吉林省教育廳“十一五”科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(吉教科合字[2010]第272號(hào))

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