金海蘭，樸哲林，崔海蘭

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.吉林市朝鮮族中學(xué)，吉林132021）

一類具（擬－）Baer性的特殊Morita Context環(huán)

金海蘭1，樸哲林1，崔海蘭2

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.吉林市朝鮮族中學(xué)，吉林132021）

通過反例得出R為Baer環(huán)時(shí)，斜群環(huán)R＊G與固定環(huán)RG未必是Baer環(huán)的結(jié)論.進(jìn)而探討了斜群環(huán)和固定環(huán)構(gòu)成（擬－）Baer環(huán)的條件.通過對(duì)Morita Context環(huán)分解，得到斜群環(huán)和固定環(huán)構(gòu)成的Morita Context環(huán)作成（擬－）Baer環(huán)的條件.

Baer環(huán)；擬－Baer環(huán)；Morita Context環(huán)；斜群環(huán)；固定環(huán)；單環(huán)

0 引言

Baer環(huán)是一類經(jīng)典環(huán)，其理論在數(shù)學(xué)的其他分支有著廣泛的應(yīng)用.所謂Baer環(huán)是指對(duì)于一個(gè)環(huán)R，如果R的非空子集（右理想）的右零化子是由冪等元生成的右理想，則稱R為）Baer環(huán)［1］；如果R環(huán)的每個(gè)主右理想的右零化子是由冪等元生成的右理想，則R 稱為右主擬，簡(jiǎn)記為右環(huán)［2］.Baer環(huán)的概念可以在模中推廣：對(duì)于一個(gè)右模MR，如果MR的非空子集（子模）的右零化子是由冪等元生成的右理想，則稱MR為模［3］；環(huán)R為環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)RR為模［4］.

Morita Context理論最初是由K.Morita在文獻(xiàn)［6］中為證明單環(huán)結(jié)構(gòu)的 Wedderburn定理引進(jìn)的，后來成為一個(gè)重要的研究工具，尤其是在構(gòu)造環(huán)論中具有特性的環(huán)時(shí)，常用Morita Context環(huán)來構(gòu)造.所謂 Morita Context指的是六位一體的代數(shù)結(jié)構(gòu)（R，V，W，S，ψ，φ），其中R和S 為環(huán)，V ＝RVS為R－S雙模，W ＝SWR為S－R雙模，ψ∶V?SW →R為雙模中間線性同態(tài)，φ∶W ?RV→S為雙模中間線性同態(tài)，且對(duì)任意 ?v，v′∈V，w，w′∈W，滿足ψ（v?w）v′＝vφ（w?v′），φ（w?v）w′＝ wψ（v? w′）［7］.

文獻(xiàn)［5］探討了C＊_代數(shù)A和A的自同構(gòu)群G上的斜群環(huán)A＊G和固定環(huán)AG的一些性質(zhì).文獻(xiàn)［1］證明了R為半素右.Baer環(huán)，而且還證明了存在Baer環(huán)，G為X－outer有限群時(shí)，R＊G為右p.q-沒有非零撓的半素Baer環(huán)R和它的X－outer有限群G，使得R＊G不是Baer環(huán)，但未能給出斜群環(huán)和固定環(huán)的環(huán)構(gòu)成條件.文獻(xiàn)［9－10］探討了具有一對(duì)模零同態(tài)的Morita Context環(huán)的性質(zhì)，指出若R為含幺環(huán)，G為群，則為Morita Context環(huán)，但沒有給出關(guān)于斜群環(huán)R＊G和固定環(huán)RG作成的Morita Context環(huán)的（擬Baer性的相關(guān)結(jié)論.本文首先通過反例給出R為Baer環(huán)時(shí)，斜群環(huán)R＊G和固定環(huán)RG未必是Baer環(huán)的結(jié)論，然后探討了斜群環(huán)和固定環(huán)的）Baer環(huán)構(gòu)成條件.進(jìn)一步，通過把Morita Context環(huán)分解成有限個(gè)Baer模的直和，得出判別斜群環(huán)R＊G和固定環(huán)RG做成的Morita Context環(huán)的aer性的方法.本文中所有的環(huán)都是含幺結(jié)合環(huán)，所有的模都是酉模.

1 斜群環(huán)的（擬Baer性

定義1 設(shè)R為環(huán)，G為群，δ∶G→Aut（R）為群同態(tài)映射.令只有有限個(gè)rg≠0｝，則R＊G關(guān)于如下定義的加法和乘法和做成一個(gè)環(huán)，其中rg＝ （δ（g－1））（r），稱之為斜群環(huán).

定義2 設(shè)R為環(huán)，g∈Aut（R），如果存在單位u∈U（R），使得對(duì)任意x∈R，g（x）＝uxu－1，則稱g為環(huán)R的內(nèi)自同構(gòu)；如果G的內(nèi)自同構(gòu)只有恒等映射，則稱G為outer群［7］.

設(shè)R為環(huán)，如果R2≠0且R沒有真理想，則稱R為單環(huán)；如果環(huán)R的所有極大左理想的交集J（R）＝0，則稱環(huán)R為半單環(huán)［12］.含幺單環(huán)為半單環(huán)，若R為半單環(huán)，則R為左Artinian環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)它為右 Artinian環(huán)［11］.

引理1［7］設(shè)R為含幺單環(huán)，G為outer群，則R＊G為單環(huán)；若R為Artinian環(huán)，則R＊G為Artinian單環(huán).

引理2［8］半單環(huán)為Baer環(huán).

定理1 若R為含幺單環(huán)，G為outer群，則R＊G為Baer環(huán).

由引理1和引理2，結(jié)論顯然成立.

定義 3 設(shè)R為 半 素 環(huán)，I為R的 理 想，AnnR（I）表 示I的 零 化 子. 令U＝∪其中為R的理想且對(duì)于I，J∈U，f∈Hom（IR，RR），g∈Hom（JR，RR），定義U上的等價(jià)關(guān)系～：f～g?存在K∈U，使得K?I∩J且令，則Qr（R）關(guān)于如下定義的加法和乘法做成一個(gè)環(huán)，稱之為Martindale右商環(huán)．

定義4 設(shè)R為半素環(huán)，對(duì)于g∈Aut（R），如果，則稱g為X－outer自同構(gòu)；如果任意1≠g∈G為X－outer自同構(gòu)，則稱Aut（R）的子群G為X－outer群［1］．

定理2 設(shè)R為半素環(huán)，G為X－outer群，若R為含幺單環(huán)，則R＊G為Baer環(huán)．

證明 因含幺單環(huán)為半單環(huán)，所以由引理2知定理顯然成立．

2 固定環(huán)的（）Baer性

定義 設(shè)R為環(huán)，G為群，δ∶G→Aut（R）為群同態(tài)映射，令其中rg＝ （δ（g））（r），則稱RG為R在G下的固定環(huán)．

例2 設(shè)R為環(huán)那么RG＝即RG表示與R中單位均可交換的元素的集合．

例3 存在一個(gè)環(huán)R為Baer環(huán)，但RG不是Baer環(huán)．設(shè)R為例1所定義的環(huán)，則U（R）＝對(duì)于若，則a＝c．由例2的結(jié)論知而RG的冪等元只有和，因此對(duì)其中e2＝e∈RG，所以RG不是Baer環(huán)．

引理3［7］若R 為含幺環(huán)，G 為群，則

設(shè)M為右R -模，如果MR≠0且M沒有真子模，則稱M為單模；若M可以寫成一族單模的直和，則稱M為半單模．

引理4［11］右Artinian含幺半單環(huán)R上的模M為半單模．

引理5［8］若R為含幺環(huán)，M為右半單R -模，則S＝End（MR）為Baer環(huán)．

定理3 設(shè)R為含幺單環(huán)，G為outer群，若R為Artinian環(huán)，則RG為Baer環(huán)．

證明 因R為含幺單環(huán)，G為outer群，所以由引理1知R＊G為單環(huán)，且R為Artinian環(huán)，故R＊G為含幺Artinian單環(huán)，因此R＊G為Artinian半單環(huán)．由引理4知RR＊G為半單模，再由引理5知End（RR＊G）為Baer環(huán)，進(jìn)而由引理3知RG為Baer環(huán)．

3 斜群環(huán)和固定環(huán)做成的Morita Context環(huán)的（）Baer性

引理6［12］半單模為Baer模．

例4 設(shè)R為含幺環(huán)，G為群，易得R為RG－R＊G雙模.令R＊＝ Hom（RR＊G，R＊GR＊G），那么R＊做成R＊G－RG雙模.對(duì) ?γ，s∈R，α，β∈R＊，規(guī)定：

和RG為單環(huán).由定理4知且為擬aer環(huán)為Baer環(huán)，

［1］JIN Hailan.Principally Quasi－Baer Ske wGroup Ring and Fixed Ring［D］.Pusan：Pusan National University，2003：1－19.

［2］Birkenmeier G F，Kim J Y，Park J K.Principally Quasi－Baer Rings［J］.Comm Algebra，2001，29（2）：1－22.

［3］Lee T K，Zhou Y.Reduced Modules［C］／／Alberto Facchini，Evan Houstou，Luigii Salce.Rings，Modules，Algebras and Abelian Groups（Lecture Notes in Pure and Appl.Math 236）.Ne wyork：Marcel Dekker，2004：365－377.

［4］Ebrahim H.A Note on p.q.－Baer Modules［J］.Ne wYork J Math，2008（14）：403－410.

［5］Ara P，Mathieu M.Local Multipliers of C＊－Algebras［M］.Ne wYork：Springer，Berlin－Heidelberg，2003：140－155.

［6］Morita K.Duality for Modules and Its Application to the Theory of Rrings with Minimum Conditions［J］.Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigoku Sect A，1958（6）：83－142.

［7］Montgomery S.Fixed Rings of Finite Automorphism Groups of Associative Rings［M］.Ne wYork：Springer－Verlag，1980：4－23.

［8］Lam T Y.Lectures on Modules and Rings［M］.Ne wYork：Springer－Verlag，1999：246－272.

［9］王堯，任艷麗.具有一對(duì)零同態(tài)的 Morita Context環(huán)I［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，44（3）：318－324.

［10］王堯，任艷麗.具有一對(duì)零同態(tài)的 Morita Context環(huán)Ⅱ［J］.數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2007，27（4）：687－692.

［11］T.W Hungerford Algebra［M］.Ne wYork：Springer－Verlag，1980：429－439.

［12］Tariq Rizvi S，Roman Cosmin S.Baer and Quasi Baer Modules［J］.Comm Algebra，2004，32（1）：103－123.

A Class of Special Morita Context Ring with（Quasi－）Baerness

JIN Hai－lan1，PIAO Zhe－lin1，CUI Hai－lan2
（1.Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China；2.Jilin Korean Nationality Middle School，Jilin 132021，China）

We provided a counterexample to prove when R is Baer ring，R＊G and RGare not necessarily Baer ring.Accordingly，studied the conditions of ske wgroup ring and fixed ring to be（quasi－）Baer ring.By decomposing Morita Context ring we observed conditions of Morita Context ring formed of ske wgroup rings and fixed rings to be（quasi－）Baer ring.

Baer ring；quasi－Baer ring；Morita Context ring；ske wgroup ring；fixed ring；simple ring

O152.2

A

1004－4353（2011）03－0212－04

2011 -03 -26 作者簡(jiǎn)介：金海蘭（1963—），女，理學(xué)博士，副教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)（環(huán)論）.

吉林省教育廳“十一五”科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目（吉教科合字［2010］第272號(hào)）