李林松，樸青松

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

廣義函數(shù)空間上Quadratic函數(shù)方程的Hyers－Ulam－Rassias型穩(wěn)定性

李林松，樸青松

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

利用熱方程的核，通過對廣義函數(shù)正則化的方法，給出了在廣義函數(shù)空間上二次函數(shù)方程的改進的Hyers－Ulam－Rassias型穩(wěn)定性定理，從而推廣了文獻［8］的結(jié)果.

熱方程的核；廣義函數(shù)；quadratic函數(shù)方程；穩(wěn)定性

函數(shù)方程的穩(wěn)定性研究是近年來比較活躍的研究領(lǐng)域，并且取得了大量的研究成果［1－5］.最近，J.Chung等從另一個角度在廣義函數(shù)空間上討論了函數(shù)方程的穩(wěn)定性，取得一些重要的研究成果［6－10］.本文根據(jù)上述文獻提供的方法，在廣義函數(shù)空間上討論了二次函數(shù)方程的改進的Hyers－Ulam－Rassias型函數(shù)方程穩(wěn)定性：

其中δ≥0，ψp（x）為非負(fù)連續(xù)p階齊次函數(shù)，0＜p＜2.文獻［3］討論了不等式（1）的右邊是常數(shù)的情況，而本文將常數(shù)用齊次函數(shù)來代替，因而進一步推廣了文獻［8］的結(jié)論.

1 基本概念和引理

首先給出幾個記號：x＝ （x1，…，xn）∈Rn，α＝ （α1，…，αn）∈Nn0，xα＝xα11…xαnn，?α＝?α11…?αnn，?j＝?／?xj，其中N0表示非負(fù)整數(shù)集.

定義［12－13］若Rn上的無窮可微函數(shù)φ，對 ?α，β∈Nn0，滿足不等式

則稱φ（x）為速降函數(shù).速降函數(shù)全體構(gòu)成的線性空間記為S（Rn）或者S，由擬范數(shù)族使S成為Frechet空間．我們將基本函數(shù)空間S上的連續(xù)線性泛函全體構(gòu)成的線性空間記作S′（Rn）或S′，即S′為S的對偶空間，S′中的元素稱為緩增廣義函數(shù)．由于f為廣義函數(shù)時，不等式（1）沒有意義，因此我們首先將不等式（1）在廣義函數(shù)空間上重新定義．設(shè)A，B，P1，P2分別為：A（x，y）＝x＋y，B（x，y）＝x－y，P1（x，y）＝x，P2（x，y）＝y(tǒng)，x，y∈Rn，則不等式（1）可重新描述為

其中uoA，uoB，uoP1和uoP2分別為廣義函數(shù)u∈S′關(guān)于函數(shù)A，B，P1和P2的拉回（pullback），則規(guī)定為：事實上，對于uoA，uoB，uoP1，uoP2有下列運算［12］：

并稱其為廣義函數(shù)u的高斯變換［12－14］．事實上，u的高斯變換Gu（x，t）∈C∞（Rn×R＋），且當(dāng)t→0＋時，Gu（x，t）→u（S′）．即，對于任意φ∈S（Rn），有

引理1 設(shè)fυ（x）是Rn上的函數(shù)列，滿足下列條件，則fυ在S′中收斂于零．

1）fυ（x）在Rn的任意緊子集上一致收斂于零；

2）存在常數(shù)C＞0，k＞0使得對所有的υ∈N，有

證明 由1）對任意ε＞0及X＞0，存在N∈N；?υ＞N及有另外，由于φ（x）∈S，對任意h＞0存在C1＞0，有．因此，當(dāng)υ＞N，并取h和X充分大時，有

引理2 設(shè)ψp（x）是非負(fù)連續(xù)p階齊次函數(shù)，其中0＜p＜2．若Ψp（x，t）＝ （ψp＊Et）（x）＝則對任意t＞0，級數(shù)在S′中收斂．

證明 首先證明對每個t＞0，級數(shù)在Rn的任意緊子集上一致收斂．為此我們只需證明對每個t＞0，Ψp（x，t／2j）在任意緊集上關(guān)于j∈N一致有界．即，對于每個t＞0及Rn的每個緊子集，存在與j∈N無關(guān)的常數(shù)C＞0，使得Ψp（x，t／2j）≤C．顯然，∫RnE（y，t／2j）dy＝1，并且對t＞0，δ＞0，h≥0，當(dāng)j→∞ 時，．設(shè)，則由ψp（x）連續(xù)性和齊次性有因此

其中M1與j無關(guān).故級數(shù)在任意緊集上一致收斂.再由式（3）及引理1，引理2得證.

引理3 設(shè)δ＞0，ψp（x）如引理2所定義，Ψp（x，t）＝ （ψp＊Et）（x）.若f∶Rn×（0，∞）→C是連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

則存在唯一的函數(shù)g（x，t），使得

并且

其中K是只與p有關(guān)的常數(shù).

證明 定義算子T：Tf（x，y，t，s）＝f（x＋y，t＋s）＋f（x－y，t＋s）－2f（x，t）－2f（y，s），并設(shè)F（x，t）＝f（x，t）－f（0，t），則由式（4）有

在（7）式中，令x＝y(tǒng)，t＝s，兩邊再除4可得

依此類推，并由三角不等式可得

容易證明，對于r＞0，Ψp（rx，r2t）＝rpΨp（x，t）.故對上面不等式的右邊做計算，得

其中K1是只與p有關(guān)的常數(shù).

同理，在（4）式中，令x＝y(tǒng)＝0，t＝s，兩邊再除2可得

其中K2是只與p有關(guān)的常數(shù).現(xiàn)令

其中C3＝Ψp（x，t／2n）＋Ψp（y，s／2n）＋Ψp（0，t／2n）＋Ψp（0，s／2n），C4＝Ψp（0，t）＋Ψp（0，s）.由于limt→0Ψp（x，t）＝ψp（x），因此令n→ ∞ 即得到（5）式.由（8）、（9）、（10）式可得

其中K＝K1＋K2.再令n→∞，即得到（6）式.

現(xiàn)在我們考慮g（x，t）的唯一性.設(shè)G（x，t）＝g（x，t）－g（0，t），由文獻［8］知，對任意有理數(shù)r，有G（rx，t）＝r2G（x，t）.現(xiàn)假設(shè)h（x，t）也滿足（5）和（6）式，并且令H（x，t）＝h（x，t）－h(huán)（0，t），則由（6式及三角不等式可得

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)δ≥0，ψp（x）如引理2所定義.若u∈S′（Rn）滿足不等式

證明 對不等式（11）用熱方程的核的張量積Et（x）Es（y）做卷積，則由文獻［7，8，10］的方法可得到

其中Gu（x，t）是u的高斯變換，Ψp（x，t）＝ （ψp＊Et）（x）.由引理3知，存在唯一的函數(shù)g（x，t），使得g（x＋y，t＋s）＋g（x－y，t＋s）－2g（x，t）－2g（y，s）＝0，并且

因為高斯變換Gu（x，t）是無窮可微函數(shù)，所以由引理3的證明過程可知g（x，t）必為連續(xù)函數(shù)，因此由文獻［11］有對不等式（12），令t→0＋，則由引理2可知，其中證畢.

［1］Czerwik S.On the Stability of the Quadratic Mapping in Normed Spaces［J］.Abh Math Sem Univ Hamburg，1992，62：59－64.

［2］Rassias T M.On the Stability of the Functional Equations in Banach Spaces［J］.J Math Anal Appl，2000，250：264－284.

［3］Chang I S，Kim H M.Hyers－Ulam－Rassias Stability of a Quadratic Functional Equation［J］.Kyungpook Math J，2002，42：71－86.

［4］Czerwik S，Dlutek K.Stability of the Quadratic Functional Equation in Lipschitz Spaces［J］.J Math Anal Appl，2004，293：79－88.

［5］Fechner W.On the Hyers－Ulam Stability of Functional Equations Connected with Additive and Quadratic Mappings［J］.J Math Anal Appl，2006，322：774－786.

［6］Baker J A.Distributional Methods for Functional Equations［J］.Aeq Math，2001，62：136－142.

［7］Chung J，Chung S Y，Kim D.The Stability of Cauchy Equations in the Space of Schwartz Distributions［J］.J Math Anal Appl，2004，295：107－114.

［8］Chung J.Stability of Functional Equations in the Space of Distributions and Hyperfunctions［J］.J Math Anal Appl，2003，286：177－186.

［9］Chung S Y.Reformulation of Some Functional Equations in the Space of Gevrey Distributions and Regularity of Solutions［J］.Aeq Math，2000，59：108－123.

［10］Li L，Chung J，Kim D.Stability of Jensen Equations in the Space of Generalized Functions［J］.J Math Anal Appl，2004，299：578－586.

［11］Chung J，Lee S Y.Some Functional Equations in the Spaces of Generalized Functions［J］.Aeq Math，2003，65：267－279.

［12］H¨ormander L.The Analysis of Linear Partial Differential Operator I［M］.Berlin，Ne wYork：Springer－Verlag，1983.

［13］Schwartz L.Théorie Des Distributions［M］.Paris：Hermann，1966.

［14］Matsuzawa T.A Calculus Approach to HyperfunctionsⅢ［J］.Nagoya Math J，1990，118：133－153.

Hyers－Ulam－Rassias Stability of Quadratic Functional Equation in Distributions

LI Lin－song，PIAO Qing－song
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

Making use of heat kernel and the method of regularizing generalized functions we prove the Hyers－Ulam－Rassias stability of quadratic functional equation in distributions，which generalized the result of［8］.

heat kernel；distributions；quadratic functional equation；stability

O178；O177.4

A

1004－4353（2011）03－0189－05

2011－05－21

教育部回國留學(xué)基金資助項目（教外司留［2008］第890號）

李林松（1968—），男，博士，副教授，研究方向為應(yīng)用泛函分析.