朱良華

（梧州學(xué)院，廣西 梧州 543002）

網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖中關(guān)鍵線路的求解方法探討
——以“生產(chǎn)與運(yùn)營(yíng)管理”課程的一道習(xí)題為例

朱良華

（梧州學(xué)院，廣西 梧州 543002）

關(guān)鍵線路主要應(yīng)用于項(xiàng)目進(jìn)度、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、項(xiàng)目索賠等，是項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)的瓶頸，準(zhǔn)確求解網(wǎng)絡(luò)圖中的關(guān)鍵線路具有十分重要的意義?！吧a(chǎn)與運(yùn)營(yíng)管理”課程中以一道習(xí)題為例，系統(tǒng)介紹了三種常用的求解關(guān)鍵線路的方法：時(shí)差法、線路時(shí)間比較法、破圈法。通過(guò)對(duì)比分析和思考，發(fā)現(xiàn)時(shí)差法并不適用于所有節(jié)點(diǎn)時(shí)差均為零的這一特殊網(wǎng)絡(luò)圖。由此得出，節(jié)點(diǎn)時(shí)差為零只是關(guān)鍵線路的必要條件，而非充分條件。在求解關(guān)鍵線路的時(shí)候，線路時(shí)間比較法和破圈法相對(duì)而言更加準(zhǔn)確可靠。

網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖；關(guān)鍵線路；時(shí)差法

有研究表明，在組織管理中引入網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)可比傳統(tǒng)管理方法在工期上縮短20%左右，節(jié)約成本10%以上[1]。網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃方法自上個(gè)世紀(jì)50年代中后期從美國(guó)逐漸發(fā)展起來(lái)后，目前正以其無(wú)可比擬的優(yōu)越性受到工程界的普遍推崇，成為了項(xiàng)目計(jì)劃管理的重要方法。在“生產(chǎn)與運(yùn)營(yíng)管理”課程中，關(guān)于網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃方法的研究、尤其是關(guān)于關(guān)鍵線路的判斷與優(yōu)化是課程中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)覺(jué)得比較吃力的一個(gè)內(nèi)容。在本文中，筆者主要根據(jù)個(gè)人對(duì)課程中的一道練習(xí)題的理解與思考，嘗試對(duì)箭線型網(wǎng)絡(luò)圖中關(guān)鍵線路求解方法進(jìn)行探討，期望能夠起到拋磚引玉的作用。

一、關(guān)鍵線路在項(xiàng)目管理中的主要應(yīng)用

關(guān)鍵線路（Critical Path）又稱(chēng)關(guān)鍵路線，在項(xiàng)目管理中，關(guān)鍵線路具有最長(zhǎng)的總工期并決定了整個(gè)項(xiàng)目的最短完成時(shí)間。關(guān)鍵線路是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的瓶頸環(huán)節(jié)。任何關(guān)鍵線路上的任何延遲都將推遲整個(gè)項(xiàng)目的完成時(shí)間，即在關(guān)鍵路徑上沒(méi)有浮動(dòng)時(shí)間。管理者應(yīng)以關(guān)鍵線路上的關(guān)鍵活動(dòng)為管理重點(diǎn)，調(diào)動(dòng)企業(yè)資源，以期更好、更快地完成計(jì)劃任務(wù)。具體而言，關(guān)鍵線路在項(xiàng)目管理中的主要應(yīng)用有以下3個(gè)方面。

（一）基于關(guān)鍵線路進(jìn)行項(xiàng)目進(jìn)度管理

進(jìn)度管理是項(xiàng)目管理的重要內(nèi)容之一?；陉P(guān)鍵線路對(duì)項(xiàng)目進(jìn)度進(jìn)行管理，這是人們研究關(guān)鍵線路的首要意義。所謂關(guān)鍵，那肯定是核心所在，相當(dāng)于項(xiàng)目的命脈。項(xiàng)目建設(shè)中的工作數(shù)量越多、邏輯越復(fù)雜，關(guān)鍵線路的重要性就越大。這是因?yàn)?，一方面，關(guān)鍵線路上的作業(yè)活動(dòng)都是關(guān)鍵活動(dòng)，這些活動(dòng)決定了項(xiàng)目的最短完成時(shí)間，抓住了關(guān)鍵線路就是抓住了項(xiàng)目進(jìn)度；另一方面，關(guān)鍵線路上的作業(yè)活動(dòng)數(shù)量較少，抓住了關(guān)鍵的少數(shù)后，管理者們就可以充分配置有限的資源，做到有的放矢，將“好鋼用在刀刃上”，節(jié)約資源。

（二）基于關(guān)鍵線路進(jìn)行項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化

基于關(guān)鍵線路主要可以實(shí)現(xiàn)兩大網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化。一是工期優(yōu)化。因?yàn)轫?xiàng)目工期是由關(guān)鍵線路決定的，所以可以通過(guò)調(diào)整關(guān)鍵線路上的施工方案，改變作業(yè)活動(dòng)的邏輯關(guān)系，縮短關(guān)鍵線路的長(zhǎng)度，從而縮短項(xiàng)目工期。這種網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化，既縮短了工期，但又沒(méi)有增加任何實(shí)質(zhì)的投入。二是針對(duì)關(guān)鍵線路上的作業(yè)活動(dòng)，有選擇性地采用增加投入加快項(xiàng)目進(jìn)度。只要增加的直接成本少于減少的間接成本，就可以實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的費(fèi)用優(yōu)化。

（三）基于關(guān)鍵線路進(jìn)行項(xiàng)目索賠管理

項(xiàng)目實(shí)施其實(shí)就是執(zhí)行合同的過(guò)程，或者說(shuō)項(xiàng)目管理的過(guò)程就是合同管理的過(guò)程。在擬定項(xiàng)目合同的時(shí)候，由于認(rèn)識(shí)的局限性和環(huán)境的不可預(yù)測(cè)性，不可能預(yù)測(cè)到項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程中所有可能發(fā)生的情形。當(dāng)項(xiàng)目在建設(shè)過(guò)程出現(xiàn)了合同中沒(méi)有規(guī)定的事情的時(shí)候，就需要對(duì)合同進(jìn)行調(diào)整，這往往就會(huì)產(chǎn)生索賠。索賠的內(nèi)容主要就是工期和費(fèi)用。在針對(duì)項(xiàng)目工期進(jìn)行索賠的時(shí)候，關(guān)鍵線路就起到了重要的作用。如果干擾事件是關(guān)鍵線路上的，那么索賠的工期就是干擾事件發(fā)生的持續(xù)時(shí)間。如果干擾事件是非關(guān)鍵線路上的，那么索賠則只能針對(duì)超過(guò)了總時(shí)差的那一部分時(shí)間長(zhǎng)度。

由此可見(jiàn)，關(guān)鍵線路在項(xiàng)目管理中具有舉足輕重的作用。因此，準(zhǔn)確求解關(guān)鍵線路，對(duì)開(kāi)展項(xiàng)目管理具有十分重要的作用。

二、關(guān)于關(guān)鍵線路求解方法的思考——以一道習(xí)題為例

筆者在講授“生產(chǎn)與運(yùn)營(yíng)管理”課程的時(shí)候，使用的教材《生產(chǎn)與運(yùn)營(yíng)管理》（第二版）是由陳榮秋、馬士華編著，高等教育出版社出版的。該教材第十四章——項(xiàng)目計(jì)劃管理后面附有一道這樣的練習(xí)題[2]411：按表a提供的資料， （1）繪制節(jié)點(diǎn)型網(wǎng)絡(luò)圖和箭線型網(wǎng)絡(luò)圖；（2）在箭線型網(wǎng)絡(luò)圖上計(jì)算事件的時(shí)間參數(shù)；（3）計(jì)算活動(dòng)的最早可能開(kāi)工時(shí)間和最遲必須開(kāi)工時(shí)間，求出關(guān)鍵線路。

表a 項(xiàng)目活動(dòng)的基本信息

筆者結(jié)合本文的主題，在這里主要是探討該道練習(xí)題中箭線型網(wǎng)絡(luò)圖的關(guān)鍵線路求解方法。

根據(jù)已知活動(dòng)的緊后邏輯關(guān)系，按照箭線型網(wǎng)絡(luò)圖的繪制原則畫(huà)出箭線型網(wǎng)絡(luò)圖，如下圖a所示。其中，網(wǎng)絡(luò)圖中的兩個(gè)虛箭線為虛活動(dòng)，僅代表活動(dòng)的先后關(guān)系，既不需要消耗時(shí)間，也不需要消耗其他資源。

圖a 箭線型網(wǎng)絡(luò)圖

常用的求解關(guān)鍵線路的方法主要有時(shí)差法、線路時(shí)間比較法、破圈法。下面分別運(yùn)用這三種方法來(lái)求解該網(wǎng)絡(luò)圖的關(guān)鍵線路。

（一）基于時(shí)差法求解關(guān)鍵線路

該方法是對(duì)關(guān)鍵線路的定義的運(yùn)用。陳榮秋、馬士華（2005）等人均認(rèn)為，從起始節(jié)點(diǎn)到終止節(jié)點(diǎn)順序地將所有事件時(shí)差為零的節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)的線路即為關(guān)鍵線路[2]387。于是，先計(jì)算出圖a中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)間參數(shù)（事件最早可能發(fā)生時(shí)間ET（i），事件最遲必須發(fā)生時(shí)間LT（i））；再求出網(wǎng)絡(luò)圖中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，即時(shí)差S（i）為零（S（i）=（LT（i）-ET（i）=0）的節(jié)點(diǎn)；最后，從起始節(jié)點(diǎn)到終止節(jié)點(diǎn)順序地將所有關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，所得到的線路即為關(guān)鍵線路。

網(wǎng)絡(luò)圖a中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)間參數(shù)如表b所示。其中，運(yùn)用到的計(jì)算公式為：ET（i）=max{ET（i）+t（ i，j） }，LT（i） =min{LT（ i） -t（ i， j） }。式中，i和j分別代表箭尾時(shí)間和箭頭時(shí)間；t（i，j）為活動(dòng)（i，j）所需時(shí)間。由于網(wǎng)絡(luò)圖中的虛剪線只反映邏輯關(guān)系，不耗用時(shí)間和其他資源，因此，t（ 3， 4） =0， t（ 5， 6） =0。

表b 事件時(shí)間參數(shù)計(jì)算表

從表b計(jì)算的結(jié)果來(lái)看，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖比較特殊，圖中所有節(jié)點(diǎn)的時(shí)差均為0。也就是說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)圖中的9個(gè)節(jié)點(diǎn)均為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。那么從起始節(jié)點(diǎn)①號(hào)節(jié)點(diǎn)到終止節(jié)點(diǎn)⑨順序地將關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，多得到的任何一條線路都是項(xiàng)目的關(guān)鍵線路。顯然，這道題目不僅是存在著多條關(guān)鍵線路，而且是每條線路都是關(guān)鍵線路。根據(jù)箭線型網(wǎng)絡(luò)圖的邏輯關(guān)系，我們一共可以連接出5條線路。按照時(shí)差法的計(jì)算結(jié)果，則這5條線路都是關(guān)鍵線路了，如表c所示。這些線路果真都是所求的關(guān)鍵線路嗎？

表c 基于關(guān)鍵線路定義求解出的關(guān)鍵線路

我們不妨將上述5條關(guān)鍵線路的長(zhǎng)度求解出來(lái)，求解方法是對(duì)每條關(guān)鍵線路所包含的作業(yè)活動(dòng)的作業(yè)時(shí)間求和。計(jì)算結(jié)果如表c所示。但是，這里所求解出來(lái)的關(guān)鍵線路的長(zhǎng)度并不相同，最長(zhǎng)為46周，最短為37周。關(guān)鍵線路的性質(zhì)告訴我們，關(guān)鍵線路的長(zhǎng)度決定了整個(gè)工期的長(zhǎng)度，線路中各種活動(dòng)的時(shí)間之和一定是最大的[2]390。因此，如果有多條關(guān)鍵線路的話，那么所有關(guān)鍵線路的長(zhǎng)度應(yīng)該是相等的，并且是所有線路中長(zhǎng)度最大的。然而，表c的計(jì)算結(jié)果顯然與此相矛盾。莫非這5條關(guān)鍵線路并非都是關(guān)鍵線路？我們運(yùn)用其他方法來(lái)求解看看結(jié)果如何。

（二）基于線路時(shí)間比較法求解關(guān)鍵線路

該方法是對(duì)網(wǎng)絡(luò)圖中關(guān)鍵線路最長(zhǎng)這一特性的運(yùn)用。首先，找出網(wǎng)絡(luò)圖中所有可能的線路；然后，計(jì)算出這些線路的長(zhǎng)度，其中時(shí)間最長(zhǎng)的即為關(guān)鍵線路。先列出網(wǎng)絡(luò)圖a中包含的所有線路，共有表c中所列示的5條。既然，關(guān)鍵線路最長(zhǎng)，根據(jù)這5條線路的長(zhǎng)度來(lái)看，只有第2條和第5條線路，才是真正意義上的關(guān)鍵線路，它們的長(zhǎng)度都為46周，為這5條線路中的最大值，也就是該項(xiàng)目的工期。而第1條、第3條、第4條線路只是偽關(guān)鍵線路。真的是這樣嗎？我們且看看第三種方法的求解結(jié)果。

（三）基于破圈法求解關(guān)鍵線路

這一方法比較實(shí)用，而且簡(jiǎn)便易行，它不需要求時(shí)間與時(shí)差，而可以直接根據(jù)畫(huà)出的網(wǎng)絡(luò)圖進(jìn)行分析，并且很快就可以找出關(guān)鍵的線路。具體方法如下： 在網(wǎng)絡(luò)圖中，如果從某一個(gè)結(jié)點(diǎn)到另一個(gè)結(jié)點(diǎn)之間存在著兩條或兩條以上不同的線路，便形成了一個(gè)封閉的環(huán)，稱(chēng)之為圈。如果這兩條線路的時(shí)間不相等，則刪去線路時(shí)間較短的線路，保留下來(lái)作業(yè)時(shí)間較長(zhǎng)的線路， 即破圈；如果這兩條線路的時(shí)間都相等，則破圈時(shí)，要把兩條線路同時(shí)保留下來(lái)。把所有的圈都破除后，剩下的首尾連接的線路就是關(guān)鍵線路。破圈時(shí)應(yīng)堅(jiān)持從前向后，從內(nèi)向外的順序進(jìn)行。

具體到網(wǎng)路圖a，求解過(guò)程如下： （1）從節(jié)點(diǎn)②到節(jié)點(diǎn)④存在著兩條線路：②④和②③④，其中線路②④要短于線路②③④，所以首先將②④破掉。（2）依此類(lèi)推，活動(dòng)H、活動(dòng)C先后被破除。從節(jié)點(diǎn)③到節(jié)點(diǎn)⑧存在著兩條線路：③⑤⑧和③④⑦⑧，其中③⑤⑧線路要短，于是活動(dòng)G被刪除。（3）至此，所有圈均被破除，剩下兩條線路①②③⑤⑥⑧⑨和①②③④⑦⑧⑨，其長(zhǎng)度均為46，即為該網(wǎng)絡(luò)圖的關(guān)鍵線路，如下圖b所示。

圖b 破圈法求解關(guān)鍵線路示意圖

顯然，破圈法求解出來(lái)的關(guān)鍵線路與線路時(shí)間比較法所求解出來(lái)的結(jié)果是相同的，并且這兩條線路上節(jié)點(diǎn)時(shí)差都為零，也都是網(wǎng)絡(luò)圖中最長(zhǎng)的線路，完全符合“關(guān)鍵線路至少有一條，可能有多條”和“關(guān)鍵線路所有活動(dòng)時(shí)差均為零，沒(méi)有任何緩沖余地”的特征[2]390。從另一個(gè)角度來(lái)講，時(shí)差法并不適用于這道練習(xí)題。

筆者所用教材中的這道練習(xí)題比較特殊，就是網(wǎng)絡(luò)圖中所有的節(jié)點(diǎn)的時(shí)差都為零。但是由于并不是每項(xiàng)活動(dòng)所需要的時(shí)間都相等，網(wǎng)絡(luò)圖中的線路長(zhǎng)度肯定是有差異的，因此，基于時(shí)差法所得出的所有線路都是關(guān)鍵線路的結(jié)論肯定是站不住腳的。我們反過(guò)來(lái)看運(yùn)用線路時(shí)間比較法和破圈法所求解出來(lái)的兩條關(guān)鍵線路①②③⑤⑥⑧⑨和①②③④⑦⑧⑨，恰好涵蓋了網(wǎng)絡(luò)圖中的9個(gè)節(jié)點(diǎn)。這道練習(xí)題反映出由時(shí)差為零的節(jié)點(diǎn)所連接形成的線路不一定是關(guān)鍵線路，但是關(guān)鍵線路上節(jié)點(diǎn)的時(shí)差一定為零?？梢?jiàn)，節(jié)點(diǎn)時(shí)差為零并不是判斷關(guān)鍵線路的充分條件，而只是必要條件。

三、結(jié)論

關(guān)鍵線路是整過(guò)網(wǎng)絡(luò)的瓶頸環(huán)節(jié)。求解關(guān)鍵線路對(duì)科學(xué)開(kāi)展項(xiàng)目管理具有重要意義。但是，在時(shí)差法、線路時(shí)間比較法和破圈法這三種求解箭線型網(wǎng)絡(luò)圖常用方法中，時(shí)差法并不適用于所有節(jié)點(diǎn)時(shí)差均為零的這一特殊網(wǎng)絡(luò)圖。節(jié)點(diǎn)時(shí)差為零只是關(guān)鍵線路的必要條件，而非充分條件。在求解關(guān)鍵線路的時(shí)候，線路時(shí)間比較法和破圈法相對(duì)而言更加準(zhǔn)確可靠。

[1]楊青.關(guān)鍵線路在工程網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中的作用及確定[J].山西煤炭管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2010（2）.

[2]陳榮秋,馬士華.生產(chǎn)與運(yùn)作管理[M].北京:高等教育出版社,2005.

F224.33

A

1673-8535（2011）02-0095-05

2011-01-20

新世紀(jì)廣西高等教育教學(xué)改革工程“十一五”第4批啟動(dòng)項(xiàng)目（2008CD82）階段性成果

朱良華（1980-），男，湖北仙桃人，梧州學(xué)院講師、經(jīng)濟(jì)師，企業(yè)管理碩士，主要研究方向：人力資源管理。

高 堅(jiān)）