沈焰焰

(福建交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院,福建福州 350007)

0 引 言

目前,考慮到非線性動力學(xué)系統(tǒng)有可能具有復(fù)雜的確定性響應(yīng)及隨機響應(yīng),Yim等[1]及Naess等[2,5-7]利用隨機響應(yīng)的概率密度分析混沌響應(yīng),即通過在具有確定性激勵的系統(tǒng)中引入隨機擾動,則確定性系統(tǒng)中的混沌吸引子的存在性可有效地利用隨機響應(yīng)在相空間的概率密度的演化來描述.本文主要利用路徑積分法[2,5-7]研究一類非線性動力系統(tǒng)的混沌響應(yīng),計算了lévy噪聲激勵的混沌系統(tǒng)的瞬時概率密度、邊緣概論密度及平均概率密度[2].并討論了lévy噪聲對確定性系統(tǒng)混沌運動的影響.研究表明,在噪聲強度一定的情況下,隨機系統(tǒng)的概率密度的演化可以用來刻畫該混沌吸引算子的結(jié)構(gòu)特征.

1 路徑積分法

在文獻[7]中,作者借助路徑積分法來尋求“非線性”FPK方程的形式解,并首先提出求解較高維FPK方程的路徑積分?jǐn)?shù)值方法.這里“非線性”指的是FPK方程漂移向量和擴散向量對系統(tǒng)狀態(tài)變量的非線性依賴關(guān)系.之所以對形式解感興趣,是因為路徑積分能給出繞確定性路徑的近似解的適當(dāng)初值點.最關(guān)鍵的一點是,路徑積分形式解可以在非平衡熱力學(xué)領(lǐng)域中延拓?zé)崃W(xué)平衡概念,如熱力學(xué)勢能等.

路徑積分法的基本思想是,在空間和時間上分別離散化,以路徑和代替積分,即通過連接短時的轉(zhuǎn)移概率密度形成全局的轉(zhuǎn)移概率密度,得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù).路徑積分法最優(yōu)越的特性在于可得到非負的、較準(zhǔn)確的尾部概率密度.此外,路徑積分法還可以計算系統(tǒng)的非平穩(wěn)瞬態(tài)概率密度以及首次穿越等問題[3,4].

定義路徑積分的最簡便方法是把連續(xù)過程離散化在空間和時間限定的充分小的網(wǎng)格點上.然而,一個連續(xù)過程的離散化并不唯一.因此,對于不同的離散規(guī)則,就產(chǎn)生了許多不同的路徑積分方法.為建立協(xié)變路徑積分,就需要選擇特定的離散化規(guī)則,這使得很多研究者致力于在不給出特定的離散化規(guī)則的情況下,提出各種推導(dǎo)協(xié)變路徑積分的方法.

2 考慮lévy噪聲對混沌運動的影響

本文嘗試著將高斯白噪聲改成lévy噪聲,采用的lévy過程是α-stable lévy過程[4].考慮如下的動力系統(tǒng),

其中:γ,ζ,β都是正的;Lt是α-stable lévy噪聲,其強度為ζ.f0,α分別表示周期項系統(tǒng)的強度和頻率,當(dāng)ζ=0時,方程(1)為確定性系統(tǒng),

對于確定性系統(tǒng),當(dāng)參數(shù)取,

時可以得到確定性系統(tǒng)的時間歷程圖(圖1(a))、相軌圖(圖1(b))及Poincaré截面圖(圖1(c)).

本文中所用的Poincaré映射[3,4]均定義為,

對于方程(2)所示確定性系統(tǒng),可直接數(shù)值求解,并得出其Poincaré截面圖.在lévy噪聲情況下,當(dāng)參數(shù)取值為式(3)及ζ=0.0005時,可得到相應(yīng)的時間歷程圖(圖2(a)),相軌圖(圖2(b)),Poincaré截面圖(圖2(c)).

對比圖1(a)和圖2(a),我們可發(fā)現(xiàn)動力系統(tǒng)(1)的確定性系統(tǒng)的時間歷程圖和隨機激勵下系統(tǒng)的時間歷程圖是相似的,均呈現(xiàn)出無規(guī)則性.對比圖1(b)和圖2(b),可見確定性系統(tǒng)的相軌程圖和隨機激勵下系統(tǒng)的相軌圖也是相似的,但進一步觀察可以發(fā)現(xiàn),確定性系統(tǒng)在隨機激勵的作用下,相軌圖稍微向外擴散,而且相對高斯噪聲的情況,擴散得更厲害.同樣對比圖1(c)和圖2(c)可以發(fā)現(xiàn)它們也是很相似的,確定性系統(tǒng)在隨機激勵的作用下, Poincaré截面圖有稍微向外擴散,但是相對高斯噪聲的情況,擴散得更厲害.基于上述的對比,可以認(rèn)為:在一定強度的隨機激勵下,可以利用路徑積分的方法來確定非線性混沌系統(tǒng).

下面利用路徑積分方法求解系統(tǒng)(1)在參數(shù)為,γ=0.3,β=1,δ=1,f0=0.6,α=1.2及ζ= 0.0005時,的瞬時概率密度函數(shù)、邊緣概率密度函等,結(jié)果如圖3～圖5所示.

在參數(shù)為,γ=0.3,β=1,δ=1,f0=0.6,α= 1.2及ζ=0.0005時,圖3所示系統(tǒng)(1)的聯(lián)合瞬時概率密度,圖4表示系統(tǒng)(1)的y1,t邊緣概率密度分析,圖5表示系統(tǒng)(1)的 y2,t邊緣概率密度分布.

圖5 系統(tǒng)的 y2,t邊緣概率密度

與高斯白噪聲的情況一樣,在求得瞬時隨機系統(tǒng)的性質(zhì)后,可進一步用隨機系統(tǒng)的概率密度形狀來表征相應(yīng)的確定性系統(tǒng)的混沌吸引子的結(jié)構(gòu).考慮系統(tǒng)(1)在參數(shù),γ=2,β=1,ω20=1,f0=0.3, α=1及ζ=0.0005時,應(yīng)用,

可表征出關(guān)于時間平均的聯(lián)合概率分布(見圖6).

圖6 系統(tǒng)的聯(lián)合概率分布

3 結(jié) 論

本文嘗試把高斯白噪聲改成lévy噪聲,討論了受lévy噪聲激勵的動力系統(tǒng)混沌運動在參數(shù)為,γ =0.3,β=1,δ=1,f0=0.6,α=1.2及ζ=0.0005時,與確定性系統(tǒng)混沌運動的時間歷程圖、相軌圖及Poincaré截面圖的關(guān)系.結(jié)論表明,它們有著相似性.因此,我們可以用概率密度來解釋混沌吸引子的存在性,即借助隨機系統(tǒng)的概率密度在一定程度上刻畫了確定性系統(tǒng)的混沌吸引子.同時,我們也發(fā)現(xiàn),由于lévy噪聲激勵對隨機噪聲的要求更嚴(yán)格,即lévy噪聲與高斯白噪聲相比,其噪聲強度要求相對更小,否則會使得確定性系統(tǒng)得到嚴(yán)重的破壞.

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