周 俊

（長(zhǎng)江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023）

曲線最小二乘擬合的自適應(yīng)方法

周 俊

（長(zhǎng)江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023）

文章提出了一種自適應(yīng)的最小二乘曲線擬合方法.根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)該方法自適應(yīng)地選擇擬合函數(shù)模型.數(shù)值結(jié)果表明，所提出的自適應(yīng)方法能更好地?cái)M合觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.

曲線擬合；最小二乘；自適應(yīng)方法；函數(shù)模型

0 引言

科學(xué)研究與工程計(jì)算中，常常需要從一組觀測(cè)數(shù)據(jù)｛（x i，y i），i＝1，2，…，m｝出發(fā)，尋找變量x，y的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）.絕大多數(shù)情況下很難找到它們之間的精確表達(dá)式，這時(shí)就要根據(jù)觀察點(diǎn)，利用最小二乘曲線擬合去構(gòu)造一個(gè)近似解析式y(tǒng)＝f（x）≈F（C，x）.利用該方法擬合出的函數(shù)曲線雖然不能保證通過(guò)所有的樣本點(diǎn)，但是很好地逼近了它們，充分反映了已知數(shù)據(jù)間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，在實(shí)踐中具有廣泛的應(yīng)用前景［1］.

最小二乘曲線擬合的關(guān)鍵是選擇曲線擬合函數(shù)

現(xiàn)有的曲線擬合方法大多數(shù)是根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的分布狀況來(lái)選取相應(yīng)的擬合函數(shù)模型，有時(shí)所選定的擬合函數(shù)模型并不能準(zhǔn)確地反映出數(shù)據(jù)間的關(guān)系.因此如何根據(jù)數(shù)據(jù)的總體分布狀況，減少主觀影響因素，選取恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)模型越來(lái)越受到研究者的重視.

在本文中，我們將提出一種自適應(yīng)最小二乘曲線擬合方法，即根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)自適應(yīng)地選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)模型.方法減少了人為因素，能夠恰當(dāng)?shù)財(cái)M合觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.數(shù)值結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)擬合方法，自適應(yīng)擬合方法能更好地反映數(shù)據(jù)間的關(guān)系.

1 自適應(yīng)方法

根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，不妨假設(shè)擬合函數(shù)模型具有如下形式：

考慮到常微分方程基礎(chǔ)解系能夠包含多種簡(jiǎn)單函數(shù)形式，因此將擬合基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），…，Φn（x），視為如下常微分方程

的基礎(chǔ)解系，并且滿足節(jié)點(diǎn)函數(shù)條件，即y1＝F（x1），…，y m＝F（x m）.

對(duì)于常微分方程（2）系數(shù)的確定，可以由觀測(cè)數(shù)據(jù)y1，y2，…，y m（m＞n）確定，這就是所謂的常微分方程的反問(wèn)題［2］：

通過(guò)求解常微分方程中的系數(shù)a0，a1，…，an－1，得出擬合基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），…，Φn（x），最后采用最小二乘法，得到擬合函數(shù)模型.

2 計(jì)算方法

3 數(shù)值試驗(yàn)

為了說(shuō)明自適應(yīng)擬合方法的優(yōu)越性，本節(jié)我們對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)（表1）采用自適應(yīng)法選擇擬合模型，確定y與x的關(guān)系.

表1 觀測(cè)數(shù)據(jù)

算法1 求解y″＋βy′＋γy＝0，y（x r）＝f（x r），r＝1～10.利用式（7）確定常數(shù)β，γ，并求出擬合基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），再作最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)為：

算法2 求解y″＋ay＝0，y（x r）＝f（x r），r＝1～10.利用式（6）求出基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），再作最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)為［3］：

算法3 用y″＋ay＝0，y（x r）＝f（x r），r＝1～10.利用式（4）求出基函數(shù)Φ1（x），再作最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)為［3］：

利用MATLAB畫出三種算法得到的擬合函數(shù)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合情況，從圖1-a可以看出算法1效果最好，所以取擬合函數(shù)為：

此時(shí)殘差平方和‖Y－y‖2＝0.003 4.

算法4 對(duì)數(shù)據(jù)y作自然對(duì)數(shù)變換，取對(duì)數(shù)U＝lny，再利用算法1，根據(jù)式（7）確定常數(shù)β，γ，并求出擬合基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），再作最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)為［3］：

此時(shí)殘差平方和‖Y－y‖2＝1.3×10－4，從圖1-b中也可以看出，對(duì)數(shù)據(jù)作自然對(duì)數(shù)變換后得到的擬合函數(shù)，其擬合效果比算法1的效果更好.

圖1 觀測(cè)數(shù)據(jù)與曲線擬合

4 結(jié)論

最小二乘曲線擬合就是一種揭示數(shù)據(jù)間內(nèi)在聯(lián)系的非常重要的方法，在數(shù)據(jù)處理和誤差分析中應(yīng)用非常廣泛，可提高數(shù)據(jù)處理的效率和精確度.本文提出一種自適應(yīng)的最小二乘曲線擬合方法，根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)自適應(yīng)選擇擬合模型.數(shù)值結(jié)果表明，該方法能有效地反映數(shù)據(jù)間的聯(lián)系.

［1］陳 忠，朱建偉.數(shù)值計(jì)算方法［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2003

［2］東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2006

［3］薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004

An Adaptive Least Square Method for Fitting Curve

Zhou Jun
（School of Information and Mathematics，Yangtze University，Jingzhou 434023，China）

An adaptive least square method for fitting curve is proposed.Following the observed datas，the method proposed can choose the fitting functions adaptively.The numerical results show that the adaptive method can fit the relationship among the observed datas perfectly.

fitting curve；least square；adaptive method；function model

王映苗】

1672-2027（2011）03-0017-04

O241.5

A

2011-03-25

湖北省教育廳A類重點(diǎn)項(xiàng)目（D20101304）.

周 ?。?975-），男，湖北天門人，碩士，長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事最優(yōu)化理論方面的教學(xué)與研究.