馬新，平靜水

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

一類永磁同步電動(dòng)機(jī)的TSM控制器設(shè)計(jì)

馬新，平靜水

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

基于永磁同步電動(dòng)機(jī)精確的數(shù)學(xué)模型，針對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)繞組相電流和轉(zhuǎn)速強(qiáng)耦合特性,依據(jù)中繼切換控制機(jī)制和有限時(shí)間收斂的終端滑動(dòng)模態(tài)控制機(jī)制，考慮了永磁同步電動(dòng)機(jī)的有限時(shí)間跟蹤問題。給出了其終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方案。在所設(shè)計(jì)的控制作用下，閉環(huán)系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)。并且保證了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)的有界性和平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)精確地跟蹤給定的參考信號(hào)。最后對(duì)一具體的永磁同步電動(dòng)機(jī)模型進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果表明在所設(shè)計(jì)的終端滑?？刂破髯饔孟?，系統(tǒng)的跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到零，驗(yàn)證了所提算法的正確有效性。

終端滑動(dòng)模態(tài)；永磁同步電動(dòng)機(jī)；中繼切換控制

1 引言

永磁同步電動(dòng)機(jī)(PMSM)是工廠自動(dòng)化，生產(chǎn)自動(dòng)化不可缺少的基本技術(shù)裝備。不論在有功消耗，還是無功耗損方面都優(yōu)于大量使用的交流電動(dòng)機(jī)，可以說現(xiàn)代永磁同步電動(dòng)機(jī)是一種節(jié)能降耗的機(jī)械產(chǎn)品。因此，永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的快速性、穩(wěn)定性和魯棒性的好壞成為決定電動(dòng)機(jī)性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)。

永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)非線性多變量耦合系統(tǒng)，這樣傳統(tǒng)的線性控制方案已經(jīng)不能滿足人們對(duì)控制精確度的要求。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，永磁同步電動(dòng)機(jī)的控制技術(shù)也在不斷地更新，人們開始使用非線性控制系統(tǒng)的方法來設(shè)計(jì)新的控制方案，這方面的研究成果很多，如非線性解耦控制[1]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制[2-6]、變結(jié)構(gòu)控制[7]等新的控制策略。文獻(xiàn)[6]在滑?？刂撇呗灾幸肽：刂扑惴?，很好地解決了抖振問題，對(duì)參數(shù)變化和負(fù)載擾動(dòng)具有很好的魯棒性。

盡管永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題已經(jīng)有很多研究，但跟蹤控制問題卻很少有人研究，文獻(xiàn)[8]中采用了Backstepping方法對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化處理，設(shè)計(jì)電機(jī)全狀態(tài)反饋控制器，實(shí)現(xiàn)永磁同步電動(dòng)機(jī)的線性動(dòng)態(tài)解耦控制，其濾波跟蹤誤差迅速以指數(shù)特性收斂到零，達(dá)到較好的位置伺服控制特性。有限時(shí)間收斂控制器是一種快速控制機(jī)制[9-11]，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂時(shí)，它的性能達(dá)到理想點(diǎn)。對(duì)于強(qiáng)耦合高階系統(tǒng)，當(dāng)某些狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到零時(shí)，將對(duì)其它狀態(tài)不再有影響。文獻(xiàn)[12]中將該方法應(yīng)用于機(jī)器人模型，取得了很好的控制效果。目前，將有限時(shí)間收斂控制方法應(yīng)用于永磁同步電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的研究結(jié)果并不多見。本文通過引入TSM有限時(shí)間收斂控制機(jī)制，對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)分段全局跟蹤控制器。該控制器保證了永磁同步電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的跟蹤誤差以及控制信號(hào)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，并且永遠(yuǎn)保持為零。仿真結(jié)果說明該控制策略的有效性。

2 系統(tǒng)描述

為了研究方便，做如下假設(shè)：①磁路不飽和，磁滯及渦流的影響忽略不計(jì)；②空間磁勢(shì)及磁通呈正弦分布；③永磁同步電動(dòng)機(jī)的交、直軸電感相等。在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo) 下，永磁同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型可以描述為：

其中φ和ω分別表示電動(dòng)機(jī)的機(jī)械角度和角速度，（iq，id）和（uq，ud）為固定的定子框架上分別表示定子的電流和電壓，該電動(dòng)機(jī)的參數(shù)是定子電阻R和交、直軸等效電感L，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，粘滯摩擦系數(shù)B和電動(dòng)機(jī)極對(duì)數(shù)P，永磁磁通ψ，負(fù)載轉(zhuǎn)距TL，除TL外所有參數(shù)均為正數(shù)，假設(shè)φr和ω*分別表示理想的電動(dòng)機(jī)的機(jī)械角度和角速度。

控制任務(wù)是：通過調(diào)節(jié)定子的電壓，使得電動(dòng)機(jī)的機(jī)械角度φ和角速度ω分別在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到理想的機(jī)械角度φr和角速度ω*。

為方便計(jì)，定義跟蹤誤差：

這里v1，v2是一種廣義的電壓輸入信號(hào)，對(duì)于系統(tǒng)（4），原控制任務(wù)演化為設(shè)計(jì)控制信號(hào)v1，v2，使得跟蹤誤差x1e，x2e在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到零，實(shí)現(xiàn)完全跟蹤。

3 控制器設(shè)計(jì)

首先考慮系統(tǒng)（4）的最后一個(gè)方程，并取廣義電壓輸入信號(hào)v2為

則x4e到達(dá)零的時(shí)間T0為

由此驗(yàn)證了x4e在某一有限時(shí)間T0內(nèi)收斂到零，

于是，當(dāng) t＞T0時(shí)，由（4）可得

下面引入一個(gè)坐標(biāo)變換使得系統(tǒng)（9）化為可控標(biāo)準(zhǔn)形，使之在新坐標(biāo)系下更便于設(shè)計(jì)TSM控制器，定義非奇異的坐標(biāo)變換

其中 y1，y2，y3相應(yīng)于廣義跟蹤誤差， 于是系統(tǒng)（9）可化為

下面設(shè)計(jì) v1，使得 yi（i=1，2，3）在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，取TSM流行[10]為：

其中 β1，β2為正常數(shù)，pi＞qi（i=1，2）均為正奇數(shù)。

取

其中 K＞0，由文獻(xiàn)[10]可知，存在有限時(shí)間 T（T＞T0），當(dāng) t＞T 時(shí)，y1，y2，y3及 v1都收斂到零， 并且永遠(yuǎn)保持為零，由文獻(xiàn)[9]，當(dāng)參數(shù) pi＞qi（i=1，2）滿足條件（k=0，1，n=3）時(shí)，在 y1，y2，y3及 v1趨向于零的過程中，控制量v1是有界的。

當(dāng) y1，y2，y3收斂到零時(shí)，由可逆變換（10）可知,x1e，x2e，x3e在有限時(shí)間 T 之后變?yōu)榱?于是由（5）式得到v2也在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)零。由x1e，x2e的定義可知 φ（t），ω（t）在有限時(shí)間內(nèi)分別完全跟蹤理想狀態(tài) φr（t），ω*（t）。

由（5）式可求得定子的電壓為：

當(dāng)t＞T時(shí)，由上述分析易知電壓uq，ud為有界的信號(hào)。

定理：對(duì)于給定的永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)（1），設(shè)φr和ω*分別為理想的機(jī)械角度和角速度，廣義電壓輸入信號(hào) v1，v2分別由（13）和（6）給出，TSM 切換面由（12）式給出，則在某一有限時(shí)間T之后，電動(dòng)機(jī)的機(jī)械角度φ和角速度ω將精確地跟蹤到理想的機(jī)械角度φr和角速度ω*，跟蹤誤差達(dá)到零并且永遠(yuǎn)保持為零，且在整個(gè)跟蹤過程中，系統(tǒng)的所有信號(hào)是有界的。

永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)（1）的TSM控制器的設(shè)計(jì)步驟如下：

1.取控制律 v1=0，v2如（6）式所示，則 x4e在有限時(shí)間T0內(nèi)收斂到零.

2.在 T0時(shí)間之后，取 v1如（13）所示，則 y1，y2，y3在有限時(shí)間T內(nèi)收斂到零， 即x1e，x2e，x3e在有限時(shí)間T內(nèi)收斂到零。且控制量v1，v2在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零并在整個(gè)收斂過程中是有界的。

4 仿真研究

對(duì)于給定的永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)（1），設(shè)其參數(shù)設(shè)置如下：

定子的電阻R=0.18Ω，等效電感L=0.0699H，永磁磁通 ψ=0.175Wb，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=0.006kg·m2，粘滯摩擦系數(shù)B=0.01kg/s，電動(dòng)機(jī)極對(duì)數(shù)P=4，負(fù)載轉(zhuǎn)距 TL=2sint（N·m）。TSM 參數(shù)取為：q=q1=q2=3，p=p1=p2=5，β=β1=β2=5，k=5，初始值為：x1e（0）=2，x2e（0）=1，x3e（0）=1，x4e（0）=1。

理想的機(jī)械角度 φr和角速度 ω*為：φr=sint（rad），ω*=cost（rad/s）。

圖1（a）—（d）為跟蹤誤差和控制律隨時(shí)間的變化曲線。圖2（a）—（d）為定子電壓以及實(shí)際機(jī)械角度和角速度跟蹤理想的機(jī)械角度和角速度隨時(shí)間的變化曲線。

圖1 跟蹤誤差和控制律隨時(shí)間的變化曲線

由圖1（a）可知跟蹤誤差x4e在大約0.5秒的時(shí)間收斂到零；圖 1（b）和（c）表明跟蹤誤差x1e，x2e，x3e及控制律 在大約6.5秒的時(shí)間收斂到零；圖1（d）表明控制律v1在6.5秒以后達(dá)到零并永遠(yuǎn)保持為零。

圖2 電壓及機(jī)械的角度和角速度隨時(shí)間的變化曲線

由圖2（a）-（b）可以看出電壓在整個(gè)控制過程中始終是有界的.由圖 2（c）-（d）可以看出實(shí)際機(jī)械的角度φ和角速度ω在有限時(shí)間（6.5秒）以后可以實(shí)現(xiàn)對(duì)理想的機(jī)械角度φr和角速度ω*的完全跟蹤。

5 結(jié)論

本文將遞推TSM有限時(shí)間收斂的控制方法應(yīng)用于永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，充分利用了有限時(shí)間跟蹤控制方法的分析簡(jiǎn)單，動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，應(yīng)用廣泛等優(yōu)勢(shì)，保證了系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到完全跟蹤的目的，仿真結(jié)果充分顯示了該控制策略的有效性。

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Terminal sliding mode controller design for a class of permanent-magnet synchronous motor

MA Xin，PING Jing-shui

The precise position control of a permanent magnet synchronous motor is a more complicated problem due to the multi-input multi-output nature of the motor and the significant nonlinear coupling among its phase winding currents and the rotor velocity.Based on the exact model of the PMSM，finite time tracking controller design is considered using the relay switching control mechanism and the terminal sliding mode control scheme.Under the designed controller，the system state of the closed-loop system will reach the equilibrium in a finite time.Moreover，the boundedness of all the signals of the closed-loop system and the global stability of equilibrium point are guaranteed and the system states accurately track the states of the reference signal in a finite time.Finally，a numerical simulation was given for a concrete PMSM model.The simulation results show that the system tracking error can become zero in a finite time under the designed terminal sliding mode controller，and numerical simulations validate the efficiency of the control scheme.

terminal sliding mode；permanent-magnet synchronous motor；relay switching control

O231

A

1009-9530（2011）04-0076-04

2011-04-22

安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目（KJ2011Z344）；淮南師范學(xué)院青年科研項(xiàng)目（2010QNL02）

馬新（1980-），女，山東高密人，淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系助教，碩士研究生，研究方向：非線性控制與變結(jié)構(gòu)控制。平靜水(1964-)，男，安徽鳳臺(tái)人，淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系副教授，主要研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用。