【摘要】切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng)，是指由一組連續(xù)或離散動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)組成，并按某種切換規(guī)則在各子系統(tǒng)間切換的動(dòng)力系統(tǒng)。對(duì)切換系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。切換控制在很多實(shí)際系統(tǒng)中得到了應(yīng)用，如:計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)等系統(tǒng)，并引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。本文概括了線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題以及證明穩(wěn)定性的Lyapunov函數(shù)方法。

【關(guān)鍵字】切換系統(tǒng) 穩(wěn)定性 Lyapunov函數(shù) 線性矩陣不等式

【中圖分類號(hào)】G633.7【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1673-8209(2010)07-0-02

切換系統(tǒng)是從控制科學(xué)的角度來(lái)研究混雜系統(tǒng)理論的重要模型。切換系統(tǒng)一般包括一組有限(或無(wú)限)個(gè)子系統(tǒng)和一個(gè)描述子系統(tǒng)之間如何切換的切換規(guī)則。每一個(gè)子系統(tǒng)由一個(gè)確定的微分方程或差分方程描述，且在某一時(shí)刻有且只有一個(gè)子系統(tǒng)處于激活狀態(tài)，具體是哪個(gè)子系統(tǒng)由切換規(guī)則決定。子系統(tǒng)之間發(fā)生切換時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)或保持不變或發(fā)生一定的跳變。

本文主要介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種勞斯穩(wěn)定判據(jù)研究方法和Lyapunov函數(shù)方法和一些常見(jiàn)的關(guān)于穩(wěn)定性方面的問(wèn)題，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究分門別類，以便于以后的研究。

對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性是我們研究的比較多的方面。穩(wěn)定性可以這樣定義:當(dāng)一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)處于一個(gè)平衡的狀態(tài)時(shí)，如果受到外來(lái)作用的影響時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)渡過(guò)程仍然能夠回到原來(lái)的平衡狀態(tài)，我們稱這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)振蕩是減幅的，而對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，振蕩是增幅的振蕩。前者會(huì)平衡于一個(gè)狀態(tài)，后者卻會(huì)不斷增大直到系統(tǒng)被損壞。

這些定理都是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)模型的形式，經(jīng)過(guò)一定的計(jì)算就能夠得出穩(wěn)定與否的結(jié)論，這些定理中比較有名的有:勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)、李亞譜若夫三個(gè)定理。這些穩(wěn)定性的判別方法分別適合于不同的數(shù)學(xué)模型，前兩者主要是通過(guò)判斷系統(tǒng)的特征值是否小于零來(lái)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，后者主要是通過(guò)考察系統(tǒng)能量是否衰減來(lái)判定穩(wěn)定性。

1 勞斯穩(wěn)定判據(jù)

閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由勞斯判據(jù)給出。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特性方程為

(1.1)

將式(1.1)的各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)造勞斯表1-1，從表的結(jié)構(gòu)知，勞斯表有(n+1)行，第一、二行各元素是特征方程各項(xiàng)的系數(shù)，以后各元素按表1-1所示規(guī)律逐行進(jìn)行，運(yùn)算中空位置為零。

1)勞斯穩(wěn)定判據(jù)

特征方程(1.1)所表征的線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，勞斯表中第一列各元素嚴(yán)格為正;如果勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一行各元素符號(hào)改變的次數(shù)，代表特征方程(1.1)正實(shí)根的數(shù)目。

2)勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

應(yīng)用勞斯判據(jù)建立的勞斯表，有時(shí)會(huì)遇到兩種情況，使計(jì)算無(wú)法進(jìn)行，因此需要進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理，而處理的原則是不影響勞斯穩(wěn)定判據(jù)的判斷結(jié)果。

勞斯表中某行第一列元等于零

如果出現(xiàn)這種情況，計(jì)算勞斯表下一行第一元時(shí)，會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮現(xiàn)象，使勞斯穩(wěn)定判據(jù)無(wú)法使用。例如系統(tǒng)特征方程為

(1.2)

列勞斯表為，見(jiàn)表2。

有兩種方法可以解決這種情況。第一種方法是用因子(s+a)乘原特征方程，a是正實(shí)數(shù)，再對(duì)新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷。如用(s+3)乘式(3-89)，得新特征方程為

列勞斯表為，見(jiàn)表3:

可見(jiàn)第一列元符號(hào)改變兩次，所以有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第二種方法是用一個(gè)小正數(shù)ε代替第一列中等于零的元素，繼續(xù)勞斯表的列寫，最后取即可。如式(3-89)的勞斯表為，見(jiàn)表4:

勞斯表第一列變符號(hào)兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。顯然兩種處理方法判斷結(jié)果相同。勞斯表中出現(xiàn)全零行。

若系統(tǒng)存在對(duì)稱坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)全零行這種情況。當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)全零行，可用全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程F(s)=0，并將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代替全零行的各元素，就可按勞斯穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運(yùn)算下去。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同符號(hào)相反的根數(shù)，而且這些根可由輔助方程求出。

2)勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用

勞斯穩(wěn)定判據(jù)雖然可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但不能表明系統(tǒng)特征根在s平面上相對(duì)虛軸的距離。當(dāng)需要知道系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性時(shí)，可以移動(dòng)s平面的坐標(biāo)軸線，然后再使用勞斯判據(jù)。其方法是將(a為常數(shù))代入系統(tǒng)的特征方程，寫出z變量的新多項(xiàng)式，并根據(jù)此新多項(xiàng)式應(yīng)用勞斯判據(jù)即可。由新多項(xiàng)式構(gòu)成的勞斯表中，第一列符號(hào)變化的次數(shù)，就等于位于垂線s=-a右邊根的數(shù)目。該法可以檢驗(yàn)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

2 共同Lyapunov函數(shù)

考慮系統(tǒng)…(1)[1，2，…N]。共同Lyapunov函數(shù)是從能量的角度考慮的，尋找一個(gè)共同的V(X)，使得從而判斷系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的。Lyapunov函數(shù)方法也是切換系統(tǒng)穩(wěn)定性比較常用的方法之。

3 多Lyapunov函數(shù)

共同Lyapunov函數(shù)方法對(duì)于系統(tǒng)(1)的要求比較嚴(yán)格，在很多情況下是很難滿足的，所以在科學(xué)家的努力下出現(xiàn)了多Lyapunov函數(shù)，共同Lyapunov函數(shù)要求的是存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)使得滿足1.1.1的條件。而多Lyapunov函數(shù)是存在有限個(gè)Lyapunov函數(shù)，在每一個(gè)子系統(tǒng)激活的區(qū)間里，相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)得導(dǎo)數(shù)是小于零的，而不在激活的時(shí)候，其導(dǎo)數(shù)可能是小于零的或者是大于零的。這樣對(duì)于系統(tǒng)(1)的要求條件比較小，而得到的結(jié)論比較好。是常用的方法。

以上方法是是切換系統(tǒng)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的常用方法。

切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性在切換系統(tǒng)是一個(gè)活躍的課題。關(guān)于切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性有以下幾個(gè)方面的研究方向:

1)線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

目前切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要有共同Lyapunov函數(shù)和多Lyapunov函數(shù)，若子系統(tǒng)都漸近穩(wěn)定，且各子系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣可以兩兩互換，則整個(gè)切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。這個(gè)理論是對(duì)于線性切換系統(tǒng)而言的。另外也有利用李代數(shù)對(duì)共同Lyapunov函數(shù)方法進(jìn)行了研究，主要思想是將共同Lyapunov函數(shù)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為切換系統(tǒng)李代數(shù)的可解性問(wèn)題，當(dāng)切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)為穩(wěn)定的線性系統(tǒng)時(shí)，證明了若對(duì)于的李代數(shù)是可解的，則系統(tǒng)存在共同Lyapunov函數(shù)，且對(duì)于任意切換序列都是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。具體的文獻(xiàn)參考[1]

2)基于平均駐留時(shí)間的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)顯著特點(diǎn)是，子系統(tǒng)的穩(wěn)定性不等于整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即存在這樣的情形:各個(gè)子系統(tǒng)都漸近穩(wěn)定的切換系統(tǒng)，如果切換的不恰當(dāng)時(shí)能導(dǎo)致切換系統(tǒng)的不穩(wěn)定;同樣的即便是子系統(tǒng)不穩(wěn)定，如果切換的恰當(dāng)切換可能變成穩(wěn)定。由于切換引起的“系統(tǒng)能量”增長(zhǎng)趨勢(shì)超過(guò)了各穩(wěn)定子系統(tǒng)對(duì)“系統(tǒng)能量”的衰減作業(yè)，但是如果在各穩(wěn)定子系統(tǒng)停留的時(shí)間足夠長(zhǎng)，以對(duì)消并超過(guò)切換引起的“系統(tǒng)能量”增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么系統(tǒng)就可以穩(wěn)定了。這以方法被稱為“駐留時(shí)間”。

對(duì)于線性切換系統(tǒng)，文獻(xiàn)[2]給出了這樣的結(jié)果:如果各個(gè)子系統(tǒng)均漸近穩(wěn)定，那么切換率滿足在各個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)的駐留時(shí)間足夠長(zhǎng)，即只要τ(引入一正常數(shù))，就可以保證線性切換系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定，并且還可以定量計(jì)算出逗留時(shí)間的下限，這為工業(yè)上的具體實(shí)現(xiàn)提供了解決的方法。關(guān)于駐留時(shí)間的介紹可以參考文獻(xiàn)[3]。文獻(xiàn)[5][6]也是關(guān)于切換系統(tǒng)穩(wěn)定性和能控性方面的文章。

以上兩種是對(duì)于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析，隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字式元部件、數(shù)字計(jì)算機(jī)特別是電腦的蓬勃發(fā)展帶動(dòng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展應(yīng)用，數(shù)字控制器在許多場(chǎng)合已經(jīng)發(fā)揮重要作用，其余工程實(shí)踐的需要，對(duì)作為分析和設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)的研究尤為重要。

在離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)中一處或數(shù)處的信號(hào)是脈沖序列或數(shù)字序列。為了把連續(xù)信號(hào)變成脈沖信號(hào)，需要使用采樣器; 而采樣器的工作過(guò)程，可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開(kāi)關(guān)， 其間隔閉合時(shí)間即為離散系統(tǒng)的采樣時(shí)間T。另一方面，為了控制連續(xù)元部件，又需要使用保持器將脈沖信號(hào)變換成連續(xù)信號(hào); 而保持器實(shí)際上是具有外推功能的元件，表現(xiàn)為現(xiàn)在時(shí)刻的輸出信號(hào)取決于過(guò)去時(shí)刻的離散信號(hào)的外推，工程上普遍采用零階保持器。關(guān)于離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的中文類文獻(xiàn)可以參考[4]。

在離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中，除了上面介紹的研究系統(tǒng)穩(wěn)定性外，比較常見(jiàn)的就是離散時(shí)間狀態(tài)反饋切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，和離散時(shí)間輸出反饋切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，時(shí)變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。工具除了上面介紹的三種方法外，LMI線性矩陣不等式也是比較常見(jiàn)的。

參考文獻(xiàn)

[1] 董學(xué)平.馬國(guó)梁，“線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析” 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Oct 2004 vol2007No.10.

[2] A.S.MORSE，“Supervisory control of families of linear ser-point controllers，part1:Exact ma-tching”IEEEtrans，Automat，1996.41(10):1413_1431.

[3] Daniel Liberzon， “Switching in systems and control”University of Illinois at Urbana-Champaign，1973 .

[4] 孫長(zhǎng)銀 張彭，“離散系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析” 三峽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)jun.2001 Vol23 No.3.

[5] 叢燦，費(fèi)樹(shù)岷，徐君祥.時(shí)滯切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與鎮(zhèn)定-Lyapunov函數(shù)方法[J].控制理論與應(yīng)用，2007，Vlo.24(3):465-470

[6] G. Xie，L. Wang and P. Yang “Stability of a Class of Hybrid Dynammic Systems”， IFAC 15th World Congress，2002， 1-6.

[7] Zhi-Hong Guang，David J.Hill，Xuemin Shen. On Hybrid Impulsive and Switching Systems and Application to Nonlinear Control[J]. IEEE，2005，Vol.50(7):1058-1062.

[8] Zhengdong Sun.Combined stabilizing strategies for switched linear systems[J].IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL，VOL.51(4)，2006.

[9] 向嶸，向偉明，陳慶偉.一類含擾動(dòng)的非線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J].控制與決策，2008，Vol.23(1):84-86.

[10]鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論(第二版)[M].清華大學(xué)出版社，2002，10.

[11]楊冬梅.張慶靈.姚波.廣義系統(tǒng)[M].科學(xué)出版社，北京，2004.