陳寶剛, 費(fèi)業(yè)泰

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,長春 130033; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,合肥 230009)

齊次坐標(biāo)變換的測量機(jī)誤差修正模型

陳寶剛1, 費(fèi)業(yè)泰2

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,長春 130033; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,合肥 230009)

為提高結(jié)晶器坐標(biāo)測量機(jī)的測量精度,運(yùn)用齊次坐標(biāo)變換矩陣,建立測量機(jī)測頭中心相對(duì)于底座參考坐標(biāo)系的測量模型,并進(jìn)行誤差修正。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該測量模型可以綜合修正21項(xiàng)幾何誤差,使測量機(jī)測量精度提高 30%～40%。該研究以誤差補(bǔ)償來提高測量精度,使測量精度由注重零部件的制造轉(zhuǎn)向系統(tǒng)穩(wěn)定性的高精度檢測。

齊次坐標(biāo)變換;坐標(biāo)測量機(jī);誤差建模;21項(xiàng)幾何誤差

0 引 言

結(jié)晶器是生產(chǎn)工字鋼毛坯的模具,其內(nèi)腔精度高低對(duì)工字鋼毛坯有直接影響。在現(xiàn)有條件下,結(jié)晶器內(nèi)腔尺寸僅能使用卡尺測量,可測量范圍有限,測量精度和效率均較低,且測量結(jié)果也不能很好的反應(yīng)結(jié)晶器內(nèi)腔的真實(shí)磨損情況。三坐標(biāo)測量機(jī)雖然可以彌補(bǔ)這些不足,但市場價(jià)格昂貴,對(duì)環(huán)境的要求較高,且不能滿足結(jié)晶器內(nèi)腔特殊形貌的測量要求?；诖?筆者設(shè)計(jì)了結(jié)晶器專用三坐標(biāo)測量機(jī)。該測量機(jī)各部件的加工制造精度有限,測頭沿任一軸運(yùn)動(dòng)時(shí)難以實(shí)現(xiàn)理論上的沿坐標(biāo)軸方向的單一自由度,而是具有 6個(gè)自由度,所以必須建立誤差修正模型以確保測量精度[1]。為此,文中采用齊次坐標(biāo)[2]等數(shù)學(xué)工具建立測量模型,修正了 21項(xiàng)幾何誤差,以期通過誤差補(bǔ)償來提高測量精度。

1 測量機(jī)結(jié)構(gòu)

受測量條件限制,結(jié)晶器坐標(biāo)測量機(jī)采用懸臂式結(jié)構(gòu),如圖 1所示。在該測量機(jī)中,伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠帶動(dòng)滑座沿滾動(dòng)導(dǎo)軌做直線運(yùn)動(dòng),測桿上的測頭通過x、y、z三軸方向的直線運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)三維運(yùn)動(dòng)。當(dāng)測頭接觸到測量工件表面時(shí)產(chǎn)生觸發(fā)信號(hào),該信號(hào)通知測量系統(tǒng)采集記錄測頭相對(duì)于測量機(jī)絕對(duì)零位的空間坐標(biāo)值,即每一個(gè)坐標(biāo)軸上的滑座相對(duì)于絕對(duì)零位的位移,從而測得結(jié)晶器的內(nèi)腔尺寸。

圖1 測量機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.1 M echan ical structure of measuring machine

2 幾何誤差源分析

當(dāng)測量機(jī)沿任一坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)時(shí),理論上滑座在空間上被限制了 5個(gè)自由度,但事實(shí)上由于加工制造誤差、裝配誤差、負(fù)載等因素的影響,測頭在空間運(yùn)動(dòng)中表現(xiàn)出定位、直線度和轉(zhuǎn)角共 6項(xiàng)誤差。當(dāng)測頭沿三坐標(biāo)軸做空間運(yùn)動(dòng)時(shí)即有 18項(xiàng)誤差,又由于三坐標(biāo)軸相互之間還存在垂直度誤差,故該坐標(biāo)測量機(jī)共存在 21項(xiàng)幾何誤差[3]。為具體表達(dá)各項(xiàng)誤差源,將每種誤差源記作沿該軸軸向位移的函數(shù)。以y軸為例(圖 2),Δy(y)為沿y軸運(yùn)動(dòng)的定位誤差函數(shù),δx(y)、δz(y)分別為沿y軸運(yùn)動(dòng)的x向和z向運(yùn)動(dòng)誤差函數(shù)(直線度誤差),α(y)、β(y)、γ(y)分別為沿y軸運(yùn)動(dòng)的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏擺誤差函數(shù)。

圖 2 y軸導(dǎo)軌產(chǎn)生的 6項(xiàng)幾何誤差Fig.2 Six geometric errors ofyguideway

同理,Δx(x)、Δz(z)分別為沿x、z軸運(yùn)動(dòng)的定位誤差函數(shù);δy(x)、δz(x),δx(z)、δy(z)分別為沿x、z軸運(yùn)動(dòng)的直線度誤差函數(shù);α(x)、β(x)、γ(x),α(z)、β(z)、γ(z)分別為沿x、z軸運(yùn)動(dòng)的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏擺誤差函數(shù);θxy、θyz、θxz分別為三軸間的垂直度誤差。

3 齊次坐標(biāo)變換矩陣

剛體上某一點(diǎn)的總位移可以看作是剛體的角位移與參考點(diǎn)的線位移的矢量和。研究空間機(jī)構(gòu)的姿態(tài),利用齊次坐標(biāo)變換矩陣較簡便[4-6]。圖 3為齊次坐標(biāo)變換示意。由圖 3可見,固定坐標(biāo)系Oxyz經(jīng)過平移旋轉(zhuǎn)變換后得到一新的坐標(biāo)系O′x′y′z′,新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x0,y0,z0),新坐標(biāo)系繞原坐標(biāo)系x、y、z軸旋轉(zhuǎn)的角度分別為α、β、γ。

圖3 齊次坐標(biāo)變換示意Fig.3 Scheme of homogeneous coordinate transformation

三維空間的齊次變換矩陣 (包括平移和旋轉(zhuǎn))是一個(gè) 4×4階矩陣,其基本形式為

其中,C3×3矩陣為O′x′y′z′坐標(biāo)系相對(duì)于Oxyz坐標(biāo)系的方向余弦矩陣。

新坐標(biāo)系相對(duì)于原坐標(biāo)系平移x0、y0、z0的平移齊次變換矩陣

坐標(biāo)系分別繞三軸旋轉(zhuǎn)α、β、γ角度的旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣

為書寫方便,將 cosα和 sinα分別簡寫為 cα、sα,其他同理。如果旋轉(zhuǎn)的角度非常小,cosα可近似為 1,sinα可近似為α,兩項(xiàng)以上的正弦值乘積近似為 0。因此,旋轉(zhuǎn)變換矩陣 R可寫作

4 測量模型

為簡化計(jì)算,假設(shè)測量機(jī)各部件為剛體,部件之間的角度誤差相對(duì)很小,且只考慮誤差的一次項(xiàng)。將測量模型看作多桿件串連的小角度轉(zhuǎn)動(dòng)的多級(jí)關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)[7],如圖 4所示。圖中O0、O1、O2分別為y、x、z軸的零位,(x1,y1,z1)為x軸的零位在底座參考坐標(biāo)系O0x0y0z0中的坐標(biāo),(x2,y2,z2)為z軸的零位在坐標(biāo)系O1x1y1z1中的坐標(biāo),(x3,y3,z3)為測頭中心在坐標(biāo)系O2x2y2z2中的坐標(biāo),(xp,yp,zp)為測頭中心在底座參考坐標(biāo)系O0x0y0z0中的坐標(biāo)。為得到(xp, yp,zp),需進(jìn)行多級(jí)平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換。設(shè)坐標(biāo)系O1x1y1z1到O0x0y0z0的轉(zhuǎn)換矩陣為 T1,坐標(biāo)系O2x2y2z2到O1x1y1z1的轉(zhuǎn)換矩陣為 T2,坐標(biāo)系O3x3y3z3到O2x2y2z2的轉(zhuǎn)換矩陣為 T3,則坐標(biāo)系O3x3y3z3到O0x0y0z0的轉(zhuǎn)換矩陣為 T=T1×T2× T3。由

經(jīng)計(jì)算,測頭中心相對(duì)于底座參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)值表達(dá)式為

圖4 測量機(jī)多級(jí)齊次坐標(biāo)變換模型Fig.4 M odel of homogeneous coordinates transformation for measuring mach ine

5 實(shí) 驗(yàn)

使用雙頻激光干涉儀、水平儀等測量儀器檢測裝配完畢的測量機(jī)的 21項(xiàng)幾何誤差[8-9],并將這些誤差表示成沿其坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù),通過軟件程序自動(dòng)將這些函數(shù)存入數(shù)據(jù)庫,根據(jù)該測量模型編制測量程序,綜合修正 21項(xiàng)幾何誤差,分析其對(duì)測量結(jié)果的影響。使用該測量機(jī)在測量空間任意位置測量一組量塊,誤差修正前后結(jié)果比較如表 1所示,其中,實(shí)際值采用高精度坐標(biāo)測量機(jī)測量。由表1可以看出,測量數(shù)據(jù)經(jīng)過誤差修正后,測量機(jī)測量精度提高了30%～40%。

表 1 誤差修正前后測量量塊數(shù)據(jù)比較Table 1 M easure data compared before and after error correction

6 結(jié)束語

針對(duì)結(jié)晶器內(nèi)腔尺寸不易測量的實(shí)際情況,設(shè)計(jì)專用測量機(jī),采用齊次坐標(biāo)變換法,建立測量機(jī)測頭中心相對(duì)于底座參考坐標(biāo)系的測量模型。根據(jù)該測量模型編制測量程序,綜合修正 21項(xiàng)幾何誤差,使測量機(jī)的測量精度提高了 30%～40%。該方法促進(jìn)了由零部件制造精度向提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性的高精度檢測誤差的轉(zhuǎn)變,確保測量機(jī)的測量精度。

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Error compensation model for coordinate measuring machine based on transfor mation of homogeneous coordinate

CHEN Baogang1,FEI Yetai2
(1.Changchun Institute ofOptics FineMechanics&Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China; 2.School of Instrumentation&Opto-electronics Engineering,HefeiUniversity of Technology,Hefei 230009,China)

A imed at improving the measurement accuracy of coordinate measuring machine designed for crystallizers,thispaper introduces the use of homogeneous coordinate and its coordinate transformation to develop the model of the probe center relative to reference coordination system in the base.The results indicate that the measurement model allows a comprehensive compensation of 21 geometric errors and gives 30%～40%coordinate measuringmachine accuracy.The study of increasing accuracy bymeans of error compensation,which represents an improvement over the traditional design concept,means the change from the improved manufacture precision ofwork pieces to the improved stability of the system and increased measurement accuracy.

transformation of homogeneous coordinate;coordinate measuringmachine;errormodel; 21 geometric error

TH721

A

1671-0118(2010)02-0142-04

2010-03-01

陳寶剛(1982-),男,河北省衡水人,助理研究員,碩士,研究方向:精密機(jī)械與現(xiàn)代測試計(jì)量技術(shù),E-mail:cbg0813@163.com。

(編輯荀海鑫)