陳寶剛, 費業(yè)泰

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所,長春 130033; 2.合肥工業(yè)大學 儀器科學與光電工程學院,合肥 230009)

齊次坐標變換的測量機誤差修正模型

陳寶剛1, 費業(yè)泰2

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所,長春 130033; 2.合肥工業(yè)大學 儀器科學與光電工程學院,合肥 230009)

為提高結晶器坐標測量機的測量精度,運用齊次坐標變換矩陣,建立測量機測頭中心相對于底座參考坐標系的測量模型,并進行誤差修正。實驗結果表明,該測量模型可以綜合修正21項幾何誤差,使測量機測量精度提高 30%～40%。該研究以誤差補償來提高測量精度,使測量精度由注重零部件的制造轉向系統(tǒng)穩(wěn)定性的高精度檢測。

齊次坐標變換;坐標測量機;誤差建模;21項幾何誤差

0 引 言

結晶器是生產工字鋼毛坯的模具,其內腔精度高低對工字鋼毛坯有直接影響。在現(xiàn)有條件下,結晶器內腔尺寸僅能使用卡尺測量,可測量范圍有限,測量精度和效率均較低,且測量結果也不能很好的反應結晶器內腔的真實磨損情況。三坐標測量機雖然可以彌補這些不足,但市場價格昂貴,對環(huán)境的要求較高,且不能滿足結晶器內腔特殊形貌的測量要求?；诖?筆者設計了結晶器專用三坐標測量機。該測量機各部件的加工制造精度有限,測頭沿任一軸運動時難以實現(xiàn)理論上的沿坐標軸方向的單一自由度,而是具有 6個自由度,所以必須建立誤差修正模型以確保測量精度[1]。為此,文中采用齊次坐標[2]等數(shù)學工具建立測量模型,修正了 21項幾何誤差,以期通過誤差補償來提高測量精度。

1 測量機結構

受測量條件限制,結晶器坐標測量機采用懸臂式結構,如圖 1所示。在該測量機中,伺服電機驅動滾珠絲杠帶動滑座沿滾動導軌做直線運動,測桿上的測頭通過x、y、z三軸方向的直線運動實現(xiàn)三維運動。當測頭接觸到測量工件表面時產生觸發(fā)信號,該信號通知測量系統(tǒng)采集記錄測頭相對于測量機絕對零位的空間坐標值,即每一個坐標軸上的滑座相對于絕對零位的位移,從而測得結晶器的內腔尺寸。

圖1 測量機結構Fig.1 M echan ical structure of measuring machine

2 幾何誤差源分析

當測量機沿任一坐標軸運動時,理論上滑座在空間上被限制了 5個自由度,但事實上由于加工制造誤差、裝配誤差、負載等因素的影響,測頭在空間運動中表現(xiàn)出定位、直線度和轉角共 6項誤差。當測頭沿三坐標軸做空間運動時即有 18項誤差,又由于三坐標軸相互之間還存在垂直度誤差,故該坐標測量機共存在 21項幾何誤差[3]。為具體表達各項誤差源,將每種誤差源記作沿該軸軸向位移的函數(shù)。以y軸為例(圖 2),Δy(y)為沿y軸運動的定位誤差函數(shù),δx(y)、δz(y)分別為沿y軸運動的x向和z向運動誤差函數(shù)(直線度誤差),α(y)、β(y)、γ(y)分別為沿y軸運動的滾轉、俯仰、偏擺誤差函數(shù)。

圖 2 y軸導軌產生的 6項幾何誤差Fig.2 Six geometric errors ofyguideway

同理,Δx(x)、Δz(z)分別為沿x、z軸運動的定位誤差函數(shù);δy(x)、δz(x),δx(z)、δy(z)分別為沿x、z軸運動的直線度誤差函數(shù);α(x)、β(x)、γ(x),α(z)、β(z)、γ(z)分別為沿x、z軸運動的滾轉、俯仰、偏擺誤差函數(shù);θxy、θyz、θxz分別為三軸間的垂直度誤差。

3 齊次坐標變換矩陣

剛體上某一點的總位移可以看作是剛體的角位移與參考點的線位移的矢量和。研究空間機構的姿態(tài),利用齊次坐標變換矩陣較簡便[4-6]。圖 3為齊次坐標變換示意。由圖 3可見,固定坐標系Oxyz經過平移旋轉變換后得到一新的坐標系O′x′y′z′,新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為(x0,y0,z0),新坐標系繞原坐標系x、y、z軸旋轉的角度分別為α、β、γ。

圖3 齊次坐標變換示意Fig.3 Scheme of homogeneous coordinate transformation

三維空間的齊次變換矩陣 (包括平移和旋轉)是一個 4×4階矩陣,其基本形式為

其中,C3×3矩陣為O′x′y′z′坐標系相對于Oxyz坐標系的方向余弦矩陣。

新坐標系相對于原坐標系平移x0、y0、z0的平移齊次變換矩陣

坐標系分別繞三軸旋轉α、β、γ角度的旋轉齊次變換矩陣

為書寫方便,將 cosα和 sinα分別簡寫為 cα、sα,其他同理。如果旋轉的角度非常小,cosα可近似為 1,sinα可近似為α,兩項以上的正弦值乘積近似為 0。因此,旋轉變換矩陣 R可寫作

4 測量模型

為簡化計算,假設測量機各部件為剛體,部件之間的角度誤差相對很小,且只考慮誤差的一次項。將測量模型看作多桿件串連的小角度轉動的多級關節(jié)結構[7],如圖 4所示。圖中O0、O1、O2分別為y、x、z軸的零位,(x1,y1,z1)為x軸的零位在底座參考坐標系O0x0y0z0中的坐標,(x2,y2,z2)為z軸的零位在坐標系O1x1y1z1中的坐標,(x3,y3,z3)為測頭中心在坐標系O2x2y2z2中的坐標,(xp,yp,zp)為測頭中心在底座參考坐標系O0x0y0z0中的坐標。為得到(xp, yp,zp),需進行多級平移和旋轉坐標變換。設坐標系O1x1y1z1到O0x0y0z0的轉換矩陣為 T1,坐標系O2x2y2z2到O1x1y1z1的轉換矩陣為 T2,坐標系O3x3y3z3到O2x2y2z2的轉換矩陣為 T3,則坐標系O3x3y3z3到O0x0y0z0的轉換矩陣為 T=T1×T2× T3。由

經計算,測頭中心相對于底座參考坐標系的坐標值表達式為

圖4 測量機多級齊次坐標變換模型Fig.4 M odel of homogeneous coordinates transformation for measuring mach ine

5 實 驗

使用雙頻激光干涉儀、水平儀等測量儀器檢測裝配完畢的測量機的 21項幾何誤差[8-9],并將這些誤差表示成沿其坐標軸運動的位移函數(shù),通過軟件程序自動將這些函數(shù)存入數(shù)據(jù)庫,根據(jù)該測量模型編制測量程序,綜合修正 21項幾何誤差,分析其對測量結果的影響。使用該測量機在測量空間任意位置測量一組量塊,誤差修正前后結果比較如表 1所示,其中,實際值采用高精度坐標測量機測量。由表1可以看出,測量數(shù)據(jù)經過誤差修正后,測量機測量精度提高了30%～40%。

表 1 誤差修正前后測量量塊數(shù)據(jù)比較Table 1 M easure data compared before and after error correction

6 結束語

針對結晶器內腔尺寸不易測量的實際情況,設計專用測量機,采用齊次坐標變換法,建立測量機測頭中心相對于底座參考坐標系的測量模型。根據(jù)該測量模型編制測量程序,綜合修正 21項幾何誤差,使測量機的測量精度提高了 30%～40%。該方法促進了由零部件制造精度向提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性的高精度檢測誤差的轉變,確保測量機的測量精度。

[1] 張國雄.三坐標測量機[M].天津:天津大學出版社,1999.

[2] 徐旭松,楊將新,曹衍龍,等.基于齊次坐標變換的制造誤差建模研究[J].浙江大學學報,2008,42(6):1 021-1 026.

[3] 曲巍崴,高 峰,杜發(fā)榮,等.三坐標測量機誤差源分析與修正技術[J].機械設計,2009,26(6):76-78.

[4] 王家騏,金 光,顏昌翔.機載光電跟蹤測量設備的目標定位誤差分析[J].光學精密工程,2005,13(2):105-116.

[5] 費業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M].北京:機械工業(yè)出版社,2004.

[6] 王 晶,高利民,姚俊峰.機載測量平臺中的坐標轉換誤差分析[J].光學精密工程,2009,17(2):388-394.

[7] 趙英劍,郭敬濱,張國雄.弱剛度三坐標測量機的誤差補償[J].制造技術與機床,2000,15(4):38-40.

[8] 郭俊杰,張 琳,皮 彪.坐標測量機的空間誤差檢測及 21項幾何誤差分離的方法[J].中國機械工程,2002,18(13): 1 081-1 084.

[9] 王慶霞,李蓓智.工件位置加工誤差的分析與建模[J].組合機床與自動化加工技術,2005,31(5):6-8.

Error compensation model for coordinate measuring machine based on transfor mation of homogeneous coordinate

CHEN Baogang1,FEI Yetai2
(1.Changchun Institute ofOptics FineMechanics&Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China; 2.School of Instrumentation&Opto-electronics Engineering,HefeiUniversity of Technology,Hefei 230009,China)

A imed at improving the measurement accuracy of coordinate measuring machine designed for crystallizers,thispaper introduces the use of homogeneous coordinate and its coordinate transformation to develop the model of the probe center relative to reference coordination system in the base.The results indicate that the measurement model allows a comprehensive compensation of 21 geometric errors and gives 30%～40%coordinate measuringmachine accuracy.The study of increasing accuracy bymeans of error compensation,which represents an improvement over the traditional design concept,means the change from the improved manufacture precision ofwork pieces to the improved stability of the system and increased measurement accuracy.

transformation of homogeneous coordinate;coordinate measuringmachine;errormodel; 21 geometric error

TH721

A

1671-0118(2010)02-0142-04

2010-03-01

陳寶剛(1982-),男,河北省衡水人,助理研究員,碩士,研究方向:精密機械與現(xiàn)代測試計量技術,E-mail:cbg0813@163.com。

(編輯荀海鑫)