賈松芳

（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，重慶萬州 404100）

1 引 言

關(guān)于M/G/1排隊的許多研究成果推動了電話通訊系統(tǒng)、計算機(jī)和管理工程的迅速發(fā)展.近年來王成全[1]、王曉春[2]、陳佩樹[3]、朱仁祥[4]、Madan[5]和 Ke[6]利用微分方程或補(bǔ)充變量法對可繼續(xù)和輔助性服務(wù)的M/G/1排隊做了更深入的研究.基于此，本文將用嵌入Markov鏈的方法討論具有輔助性服務(wù)的多級適應(yīng)性 MX/G /1休假排隊.此模型在現(xiàn)實(shí)生活中例如汽車修理廠，汽車隨機(jī)到達(dá)汽車修理廠，到達(dá)后修理工通常對汽車做基本的護(hù)理（如清洗），但有些汽車需換輪胎，屏風(fēng)，燈或替換電池組等，在之前修理工檢修修理工具和修理后把修理工具放到一定的位置做準(zhǔn)備.

2 模型描述和嵌入馬爾可夫鏈

具有輔助性服務(wù)的多級適應(yīng) MX/G /1休假排隊策略為：一旦系統(tǒng)空出，服務(wù)員根據(jù)所從事的輔助工作量，要求進(jìn)行H次休假，相繼的每次休假時間Vk，k=1,2,…，都是獨(dú)立同分布的.若在這H次休假內(nèi)仍無顧客到達(dá)，結(jié)束第H次休假后服務(wù)員進(jìn)入通常的閑期，閑期內(nèi)批量到達(dá)的顧客均進(jìn)入系統(tǒng).一旦有顧客進(jìn)入系統(tǒng)，則系統(tǒng)開始經(jīng)歷一個隨機(jī)長度U的啟動時間；如果對自然數(shù) k （1≤ k≤H ），在第k次休假內(nèi)已有顧客進(jìn)入系統(tǒng)，休假期在第k次休假結(jié)束時提前終止，并經(jīng)歷一隨機(jī)長度為U的啟動時間，在休假期、啟動期及服務(wù)期批量到達(dá)的顧客均進(jìn)入系統(tǒng)，啟動期結(jié)束后開始為顧客服務(wù)，服務(wù)臺提供基本服務(wù)和輔助性服務(wù).（i）假設(shè)顧客的基本服務(wù)時間為S0，分布函數(shù) S0（t），其LST：（t），均值s0.（ii）一旦顧客的基本服務(wù)完成，顧客以概率ri要求類型i（i= 1,2,… J ）的服務(wù)，并且服務(wù)類型i立刻開始，或者以概率r0離開系統(tǒng)，隨后隊前的那位顧客將完成基本服務(wù)，且假設(shè)服務(wù)類型i（i= 1,2,… J）的服務(wù)時間Si，分布函數(shù) Si（t），LST：（t），均值si.且服務(wù)時間內(nèi)要求顧客完成一服務(wù)循環(huán).

令A(yù)I=｛忙 期第一個顧客在空閑狀態(tài)進(jìn)入系統(tǒng)｝ Av=｛忙 期第一個顧客在休假狀態(tài)進(jìn)入系統(tǒng)｝

這里 An+1是第n+1個顧客服務(wù)時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，其中｛An,n = 1,2…｝ 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列.而α是忙期開始時的顧客數(shù).則服務(wù)期有k（k≥1）個顧客的概率分布和母函數(shù)分別記為：

由于顧客批量到達(dá)服從復(fù)合泊松分布.一個服務(wù)期內(nèi)到達(dá)A個顧客數(shù)的概率和母函數(shù)為：

由Foster法則，可以證明，馬爾可夫鏈｛Ln,n≥ 1｝正常返，當(dāng)且僅當(dāng) ρ=λg s＜1.

3 穩(wěn)態(tài)隊長和等待時間的隨機(jī)分解

定理 1 若ρ＜1，穩(wěn)態(tài)隊長Π分解成兩個隨機(jī)變量的和 Π=Π0+Πd，其中Π0表示輔助性服務(wù)MX/G /1排隊模型的穩(wěn)態(tài)隊長，其LST在文獻(xiàn)[6]中已給出，附加隊長為：

由正規(guī)化條件下Π(1)=1和 L'Hospital 法則，得 π0= (1 - ρ)β-1.將之代入上式得：

由式(3)給出了式(1)和Π0(z).則附加隊長∏d的均值為：

定理 2 若ρ＜1，穩(wěn)態(tài)等待時間W可分解成兩個隨機(jī)變量的和，即 W=W0+Wd，W0表示輔助性服務(wù) MX/G /1排隊模型的穩(wěn)態(tài)隊長，其LST在文獻(xiàn)[6]中已給出，附加延遲Wd的LST為：

證明：假設(shè)在同一時刻到達(dá)的批量顧客看成一個超級顧客，那么超級顧客在M/G/1排隊系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)用下標(biāo)為g加以區(qū)別 MX/G /1排隊系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo).由于考慮在等待顧客是隨機(jī)選擇的，所以顧客在系統(tǒng)中的等待時間由兩部分時間獨(dú)立組成.一是逗留顧客屬于超級顧客的（這超級顧客還沒有接受服務(wù)）的等待時間Wg，它的LST用（θ）表示；另一個是逗留顧客在超級顧客服務(wù)內(nèi)的等待時間D，它的LST用 D*（θ）表示.一個超級顧客服務(wù)時間的概率和母函數(shù)為：

由式（3），相應(yīng) MX/G /1排隊系統(tǒng)中一個超級顧客的服務(wù)完后系統(tǒng)中超級顧客數(shù)的母函數(shù)為：

在等待時間獨(dú)立于到達(dá)時刻以后的輸入過程中，離去時留在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，仍然等于它的等待時間W和服務(wù)時間S內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)之和.由泊松到達(dá)過程的獨(dú)立增量性質(zhì)，等待時間與服務(wù)時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)相互獨(dú)立.

把式（5）和式（6）代入式（7），并令 λ（1- Λg（z ））=θ，則可得：

用“離散時間形式”的更新理論的一個結(jié)果求 D*（θ），如果在超級顧客中的一個逗留顧客之前假定的顧客數(shù)為Λ-，這里用到更新過程，兩個連續(xù)更新點(diǎn)間隔為批量長Λ.而Λ-的概率分布和母函數(shù)分別（見文獻(xiàn)[8]，第2.1節(jié)）：

比較定理1和定理2，可得 E （Πd）= λgE(Wd)，且Little 公式成立.

4 假期循環(huán)，忙期，忙循環(huán)分析

假設(shè) B0（θ）和（θ）為輔助性服務(wù) MX/G /1休假排隊的忙期和LST.單個顧客服務(wù)時間為 S*（θ），由Takagi[9]，顧客忙期開始時的LST為：則假設(shè) Bv（θ），（θ）為具有輔助性服務(wù)的多級適應(yīng) MX/G /1休假排隊的忙期及其LST，當(dāng)無顧客到達(dá)時，關(guān)閉服務(wù)臺，當(dāng)至少有一顧客到達(dá)時，服務(wù)臺立即開啟但并未服務(wù).在開始服務(wù)之前需一隨機(jī)長度U的啟動期.啟動期結(jié)束，服務(wù)臺開始服務(wù).任意忙期結(jié)束時為系統(tǒng)的再生點(diǎn)，如果系統(tǒng)忙期開始時有k位顧客在等待，緊接的服務(wù)期包括k個相互獨(dú)立的服務(wù)期，則

其中E(Bv)的（θ）均值.

由于服務(wù)員也可能處在通常的空閑狀態(tài)，若休假期間又進(jìn)入，其后處于空閑狀態(tài)的時間為零；若休假時間內(nèi)無進(jìn)入，服務(wù)員處于空閑狀態(tài)的長度是一個到達(dá)間隔.以Iv表示服務(wù)員每次在空閑狀態(tài)上的逗留時

在穩(wěn)態(tài)條件下，記 PB,PV,PI,PU分別為系統(tǒng)在任意時刻服務(wù)臺處于忙期，假期，空閑期和啟動期的各狀態(tài)概率，應(yīng)用更新酬勞定理，則有

5 特 例

例如帶啟動時間的J種輔助性服務(wù) MX/G /1排隊.

具有輔助性服務(wù)多級適應(yīng)性休假 MX/G /1排隊中，當(dāng)H=∞， H（z）= 0，V=0時

從以上特例的具體指標(biāo)的結(jié)果可以看到，對于具有輔助性服務(wù)的多級適應(yīng)性 MX/G /1休假排隊和它的特例，驗(yàn)證了本模型的可行性和正確性.同時輔助性服務(wù)的多級適應(yīng)性 MX/G /1休假排隊中，當(dāng)批到達(dá)只有一個顧客， Λ （z）= z時，系統(tǒng)變?yōu)榫哂休o助性服務(wù)的多級適應(yīng)性M/G/1休假排隊.

[1]王成全，朱翼雋.具有第二次可選服務(wù)的帶反饋的 N一策略 MX/G /1(E，MV)排隊系統(tǒng)分析[J].運(yùn)籌與管理，2006，15（6）:91-96.

[2]王曉春，朱翼雋，陳燕.具有可選服務(wù)、反饋、一般重試時間的M/G/1排隊系統(tǒng)[J].運(yùn)籌與管理，2006，15（6）:54-59.

[3]陳佩樹，朱翼雋，王曉春.有兩個服務(wù)階段、反饋、強(qiáng)占型的M/G/1重試排隊[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報，2006，10（4）:71-80.

[4]朱仁祥，朱翼雋，方基奎.重試、反饋 M/M /s/k排隊的呼叫中心性能分析[J].系統(tǒng)工程學(xué)報，2006，21（6）:613-620.

[5]Madan K.C.，Al-Nasser A.D.On MX/G,G ）/1 queue with optional re-service[J].Applied Mathematics 2 and Computation ，2004，152:71-88.

[6]Ke J.C. An MX/G /1 system with startup server and J additional potions for service[J]. Appl.Math.Model，2007:1-16.

[7]高娃，斯琴.帶啟動時間的多重休假 MX/G /1排隊[J].運(yùn)籌與管理，2006，15（2）:37-40.

[8]Cooper R. Introduction to Queueing Theory( Second edition)[M].North-Holland Publishing Company，1981.

[9]Takagi H.Queueing Analysis:A Foundation of Performance Evaluation，Vacation and Priority Systems[M].Part I，vol.1，North Holland，Amsterdam，1991.