王憶鋒，唐利斌，岳 清

(昆明物理研究所， 昆明650223)

有機(jī)發(fā)光二極管(Organic Light Emitting Diode，OLED)是由光刻電極基板與有機(jī)發(fā)光材料構(gòu)成的顯示器件，長壽命、高亮度、低功耗是OLED器件的發(fā)展方向[1-2]。驅(qū)動(dòng)電壓的變化規(guī)律在某種程度上是OLED壽命衰退機(jī)制的反映。一般而言，驅(qū)動(dòng)電壓隨著點(diǎn)亮?xí)r間的延長而增加，亮度(或電發(fā)光效率)隨時(shí)間而降低[3]。在實(shí)際測試過程中，即使電流密度恒定，驅(qū)動(dòng)電壓也會(huì)發(fā)生變化。本文從計(jì)算的角度，介紹了OLED器件壽命衰退模型的MATLAB分析方法。

1 OLED驅(qū)動(dòng)電壓與離子濃度的關(guān)系

通常的OLED器件壽命測試是在一定電流密度下檢測器件亮度隨點(diǎn)亮?xí)r間的變化關(guān)系，然后外推到器件亮度衰減至起始亮度的一半時(shí)進(jìn)行評(píng)估的。一般認(rèn)為OLED器件的偏置電壓引入一個(gè)與外部電場方向相反的內(nèi)部極化電場，使得驅(qū)動(dòng)電壓隨著點(diǎn)亮?xí)r間的延長而增加。引起內(nèi)部極化電場的機(jī)制有若干種，其中之一是運(yùn)動(dòng)離子在外加偏置電壓下的重新分布[3]。

OLED中瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)離子的分布及其與驅(qū)動(dòng)電壓的關(guān)系可由下列方程描述[3]

式中， C(x， t)為運(yùn)動(dòng)離子濃度；D為擴(kuò)散系數(shù)， μ為遷移率， E為電場強(qiáng)度；ΔV(t)為驅(qū)動(dòng)電壓的變化量， q為電子電荷量， ε0為真空介電常數(shù)， εr為相對(duì)介電常數(shù)；L為OLED陰極與陽極之間的距離。

式(1)是一個(gè)線性偏微分方程，其初始條件為

另外

其中

粒子數(shù)守恒要求

根據(jù)上述條件，利用MATLAB提供的laplace()命令對(duì)式(1)做拉普拉斯變換，有

式(7)是一個(gè)常微分方程，調(diào)用MATLAB的dsolve()命令，可以求出

如果能求出上式的拉普拉斯逆變換，那么即可得到C(x， t)。但是利用MATLAB提供的拉普拉斯逆變換命令ilaplace()，無法求解式(8)。

如果引入變量

則式(8)可以化為

雖然可以用 ilaplace()命令求出式(10)對(duì)應(yīng)的C(x， T)，但是要實(shí)現(xiàn)從C(x， T)→C(x， t)的轉(zhuǎn)換并不容易。事實(shí)上，利用數(shù)學(xué)物理方程理論中介紹的常見方法均無法求出該模型的解析解。

2 模型的近似求解

滿足式(3)和(4)的函數(shù)C(x， t)應(yīng)該具有下列形式

其中待定函數(shù)f(ξt)要滿足條件f(0)=1， f(∞)=0。若干這樣的函數(shù)形態(tài)可以列出如下

式中， erf()為誤差函數(shù)，定義為

erfc()為余誤差函數(shù)，定義為

MATLAB中有erf()和erfc()命令可供直接調(diào)用。另外，由于負(fù)指數(shù)函數(shù)可以用有理函數(shù)近似[4]，所以實(shí)際上f(ξt)最終可歸為負(fù)指數(shù)函數(shù)和誤差函數(shù)兩種形式。

因?yàn)棣闻ct之乘積應(yīng)是一個(gè)無量綱的數(shù)值，故關(guān)于ξ的選取應(yīng)考慮兩個(gè)因素，首先其量綱應(yīng)為1/s；其次為了引入空間位置變化的影響， ξ中應(yīng)包含坐標(biāo)變量x。

擴(kuò)散率D的量綱為cm2/s， 電場 E的量綱為V/cm，遷移率μ的量綱為cm2/V?s；故對(duì)于指數(shù)函數(shù)可以取

而對(duì)于誤差函數(shù)erf()，可以取

3 模型計(jì)算與參數(shù)擬合

將式(11)代回式(2)，可以寫出

其中

注意到在MATLAB中當(dāng)f(ξt)為誤差函數(shù)時(shí)，I1和I2兩項(xiàng)積分不易做符號(hào)計(jì)算，故本文中選用負(fù)指數(shù)函數(shù)，即取式(15)，這時(shí)可以利用MATLAB的int()命令計(jì)算出式(19)所示的三個(gè)定積分的值，進(jìn)一步整理后可得，

其中

另外，類似于在PN結(jié)IV特性曲線中的引入理想因子的做法[4-5]，在式(20)中引入三個(gè)參數(shù)α、β和γ，即

以此來描述實(shí)際測試數(shù)據(jù)與理論模型之間的偏離程度。已知測試數(shù)據(jù)后， 這三個(gè)參數(shù)容易通過調(diào)用MATLAB的最小二乘曲線擬合命令lsqcurvefit()求出[6]。

若假設(shè)OLED器件內(nèi)的電場為常量，則電場E與施加的偏置電壓V及長度L之間有如下關(guān)系

將式(24)代入式(23)，可以得到ΔV(t)與不同偏壓之間的關(guān)系。

4 恒流離子源條件下模型的有限差分矩陣計(jì)算

在實(shí)際使用過程中， OLED電極材料中的離子可能會(huì)發(fā)生遷移，形成一個(gè)恒流離子源，與這種情況對(duì)應(yīng)的條件是

另設(shè)初始條件仍為式(3)。在這兩個(gè)條件下，利用數(shù)學(xué)物理方法理論中介紹的各種技巧，很難求解式(1)；用試湊法也不易找到同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的解析表達(dá)式。下面介紹基于有限差分的數(shù)值算法。

如圖1所示，在x軸方向以Δx為間距，將求解區(qū)域等間距劃分為M個(gè)區(qū)域，計(jì)有(M+1)個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中邊界節(jié)點(diǎn)2個(gè)。設(shè)n為時(shí)間坐標(biāo)，將時(shí)間坐標(biāo)上的計(jì)算區(qū)域劃分為T個(gè)等份，共有(T+1)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，兩個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)之間的間隔Δt稱為時(shí)間步長。引入時(shí)間量后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)記為Ψ(mΔx， nΔt)，省略各步長項(xiàng)后可寫為Ψ(m， n)，或者進(jìn)一步簡記為Ψ(n)(m)。

圖1 順序排列的等間距網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)

差分法的基本思想是在各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)函數(shù)做泰勒級(jí)數(shù)展開并取近似，用差商代替導(dǎo)數(shù)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性方程組形式的差分方程，通過求解線性方程組得到微分方程的近似解。差分有不同的格式。設(shè)已知(m， n)的值。在(m， n+1)處，時(shí)間導(dǎo)數(shù)用向后差分近似，空間導(dǎo)數(shù)用中心差分近似，可得古典隱格式的差分格式。古典隱格式是絕對(duì)穩(wěn)定的[7]。

具體到這里的離子濃度函數(shù)C(x， t)，在(m，n+1)處，其對(duì)坐標(biāo)x的偏導(dǎo)數(shù)可以用(n+1)時(shí)刻的中心差分近似為

C(x， t)對(duì)時(shí)間坐標(biāo)t的一階偏導(dǎo)數(shù)可以用(n+1)時(shí)刻的向后差分近似為

將式(26)～(28)代入式(1)，可以得到古典隱格式的差分方程

其中

對(duì)整個(gè)OLED器件結(jié)構(gòu)離散化，即從m=2 開始直到m=M +1，逐點(diǎn)寫出式(29)；當(dāng)進(jìn)行到最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)標(biāo)號(hào)為(M +2)的節(jié)點(diǎn)，這時(shí)后退一格。整理后可得下列形式的矩陣方程

式中，Γ是一個(gè)M×M階的三對(duì)角線矩陣，定義為在MATLAB中可用spdiags()命令生成Γ矩陣[8]。

C(n+1)和C(n)均為M×1階矩陣，分別定義如下C(n)為初始值或前一時(shí)刻離子濃度值及恒流離子源的數(shù)值構(gòu)成的已知量， 其中對(duì)式(25)取向前差分，即

C(n+1)為待求未知量，構(gòu)造出Γ矩陣和C(n)矩陣后， 利用 MATLAB的矩陣左除命令即可求出C(n+1)的值；因?yàn)橛?jì)算得到的C(n+1)本身為離散值，這時(shí)利用MATLAB的樣條插值積分命令如fnint()等[6，9]，即可 計(jì) 算出(n+1)時(shí) 刻 的ΔV(t)值， 即式(2)；再將C(n+1)作為已知量代入第n+2 個(gè)時(shí)間步長計(jì)算C(n+2)的值，如此循環(huán)往復(fù)直至達(dá)到所設(shè)定的時(shí)間步長時(shí)為止。最后利用MATLAB提供的多項(xiàng)式擬合命令polyfit()，對(duì)各時(shí)刻得到的ΔV(t)值做擬合，可以獲得驅(qū)動(dòng)電壓的變化量ΔV與時(shí)間t之間的多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)式。

5 結(jié)束語

影響OLED器件壽命的主要因素有材料的物理化學(xué)穩(wěn)定性、器件結(jié)構(gòu)的合理性、密封膜層的有效性、有害離子的遷移性等，多數(shù)情況下這些因素相互影響和制約，使得對(duì)于器件性能衰退機(jī)制的全面理解錯(cuò)綜復(fù)雜。 OLED器件壽命衰退機(jī)制的探討可以粗略地分為兩條路徑，一條是實(shí)驗(yàn)研究與分析，另一條是模型的理論計(jì)算與仿真。本文介紹的方法具有一定的普適性，可以有效地解決OLED衰退模型的計(jì)算問題；通過擬合，還可以進(jìn)一步建立模型與測試數(shù)據(jù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將理論模型與工藝或?qū)嶒?yàn)有機(jī)地聯(lián)系起來。

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