樊麗儉 馮振宇

(長安大學(xué)理學(xué)院陜西,西安 710064)

對(duì)物理教材中兩個(gè)概念的討論

樊麗儉 馮振宇

(長安大學(xué)理學(xué)院陜西,西安 710064)

通過對(duì)某些教材中涉及有關(guān)功與勢(shì)能計(jì)算的表述之討論,指出教材的編寫須嚴(yán)謹(jǐn)而深刻.

教材;功;勢(shì)能

在我國大學(xué)現(xiàn)行的物理教學(xué)實(shí)踐中,一般來說,都會(huì)選定一本公開出版發(fā)行的物理教材作為該門課的教科書.《新華詞典》對(duì)教材與教科書有如下解釋[1]:

教材根據(jù)各種教學(xué)要求而編寫或選定的教科書、講義、講授提綱、參考資料等的統(tǒng)稱.

教科書根據(jù)各門學(xué)科教學(xué)要求編寫的供教學(xué)使用的正式課本.……是教師講授和學(xué)生學(xué)習(xí)的基本依據(jù).

本文所討論的物理教材實(shí)際上就是上述的教科書.由上述解釋可見,教科書對(duì)于一門課程的教學(xué)是如此重要,因?yàn)樗墙虒W(xué)的“基本依據(jù)”.如果這個(gè)“基本依據(jù)”的某些內(nèi)容在講述上不夠嚴(yán)謹(jǐn),或者在解釋某些結(jié)論時(shí)沒有觸及問題的本質(zhì),可想而知這會(huì)對(duì)教學(xué)特別是對(duì)初學(xué)者造成多么大的影響,本文將通過兩個(gè)例子來說明這個(gè)問題.

1 關(guān)于力矩的功

一個(gè)物體受力的作用而引起的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化,不僅決定于力的大小和方向,而且與物體在力的作用下經(jīng)過的路程有關(guān).功就表示了力在一段路程上的積累效應(yīng).因此當(dāng)提到功這個(gè)物理量時(shí),嚴(yán)格地說應(yīng)該稱為力做的功.

作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的一個(gè)大小不變的力做的功,等于該力對(duì)于轉(zhuǎn)軸的矩乘以剛體轉(zhuǎn)過的角位移.不少教材[2～22]在介紹作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力做的功其計(jì)算公式時(shí),都用了“力矩的功”這樣一個(gè)提法,這顯然是不妥當(dāng)?shù)?盡管文獻(xiàn)[2]和[8]在給出計(jì)算公式后專門用一段話作了說明,指出這里所說的力矩的功本質(zhì)上仍然是力做的功,但作為供學(xué)生和教師使用的正式教科書,這種處理方法是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?首先,教材與專著的區(qū)別之一是教材中所涉及的內(nèi)容應(yīng)該是成熟的并被嚴(yán)格規(guī)范了的理論與實(shí)踐成果,對(duì)于經(jīng)典力學(xué)的內(nèi)容尤其如此.因此,在物理教材的編寫中,更應(yīng)注重其用詞用語的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性.盡管“力矩的功”這樣的說法經(jīng)常出現(xiàn)在一些工程技術(shù)人員的口頭表達(dá)中,但作為教材,是不宜把這種不嚴(yán)格的口頭語言寫入教材的.其次,不少教材在用了“力矩的功”這樣一個(gè)提法后,在敘述或解釋所得到的計(jì)算公式時(shí)還用了“作用于剛體上的力矩”這樣的說法,甚至還出現(xiàn)了“力矩做功”、“力矩可以使剛體轉(zhuǎn)動(dòng),在此過程中,力矩對(duì)剛體做了功”、“剛體在外力矩作用下發(fā)生角位移時(shí),力矩也要對(duì)剛體做功”以及“力矩的功與力的功一樣,也是過程量,反映了力矩在空間上的累積效應(yīng)”等這樣一些不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎?這樣做會(huì)給初學(xué)者帶來概念上的混亂.因?yàn)榱夭皇且粋€(gè)作用量,它只是力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量,作用于物體的只能是力和力偶這兩個(gè)獨(dú)立的力學(xué)要素.如果在教材中用了上述不規(guī)范的提法,就會(huì)使初學(xué)者混淆力矩和力偶在概念上的區(qū)別,誤導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生力矩是作用量的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

鑒于上述討論,筆者在此提出如下兩點(diǎn)建議:

第一,大多數(shù)物理教科書在涉及動(dòng)能定理這一章中介紹功的計(jì)算時(shí)常常只介紹重力、彈性力、萬有引力以及摩擦力做功的計(jì)算,而把介紹作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功這個(gè)內(nèi)容放在了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)這一章里,但恰恰是這樣的內(nèi)容編排最容易引起初學(xué)者在概念上的誤解.從這個(gè)意義上說,現(xiàn)行物理教科書這樣的內(nèi)容編排是弊大于利的.因?yàn)槿绻堰@個(gè)內(nèi)容放在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)這一章里講,再加上教材使用了不規(guī)范的提法,作為初學(xué)者,即使學(xué)生可以對(duì)此進(jìn)行正確的計(jì)算,但從概念上說,其計(jì)算結(jié)果往往會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生這是力矩做功的錯(cuò)誤概念.因此建議把這個(gè)內(nèi)容放到動(dòng)能定理這一章中,將其與重力等其他各類力的做功一起討論,并強(qiáng)調(diào)這是作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力做的功,而不是力矩的功,但這個(gè)功的大小等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與剛體角位移的乘積.這樣做不僅可以有效地避免學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的理解,而且可以進(jìn)一步把質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力、剛體的內(nèi)力以及約束反力的功的計(jì)算納入討論范疇,從而進(jìn)一步強(qiáng)化力做功的概念.

第二,幾乎所有的物理教材都不討論力偶做功的內(nèi)容,但在一些問題中又涉及力偶做功的計(jì)算,筆者認(rèn)為這是一個(gè)需要解決的涉及基本概念的重要問題.力偶是由兩個(gè)等值、反向、平行的力所組成的力系.但從理論上講,力偶一經(jīng)定義,它就與力在地位上是對(duì)應(yīng)與平等的,它就成為了一個(gè)獨(dú)立于力之外的另一個(gè)可以作用于剛體的力學(xué)要素.同理,盡管從初始計(jì)算上講是通過計(jì)算組成力偶的兩個(gè)力做的功來推導(dǎo)力偶做功計(jì)算公式(其結(jié)論是:力偶做功的大小等于度量該力偶作用效果的力偶矩和剛體轉(zhuǎn)過的角位移的乘積),因?yàn)檫@個(gè)推導(dǎo)必須從力偶的原始定義出發(fā),但力偶做功的計(jì)算公式一經(jīng)推出,就應(yīng)該與力做功的計(jì)算公式在地位上是對(duì)應(yīng)和平等的.因此,只討論力的功,而不討論力偶的功,這在理論上是矛盾的,在邏輯上是有瑕疵的.因?yàn)檫@就相當(dāng)于否定了力偶是獨(dú)立于力之外的另一個(gè)作用于剛體上的力學(xué)要素這個(gè)基本概念,甚至從某種意義上說,是否定了在力學(xué)中引入或定義力偶這個(gè)概念的必要性和重要性,否定了力偶這個(gè)概念存在的意義.因此,在教材中是否討論力偶做功并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的內(nèi)容增刪問題,而是涉及力學(xué)自身在理論體系與概念構(gòu)建上是否嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的問題.基于上述討論,建議在教材編寫與課堂教學(xué)中添加力偶做功的內(nèi)容.

2 關(guān)于勢(shì)能的計(jì)算

這里所說的勢(shì)能計(jì)算,主要是指在一個(gè)物體系統(tǒng)中既有重力勢(shì)能又有彈性力勢(shì)能的情況下,如何選擇勢(shì)能零點(diǎn)而使勢(shì)能計(jì)算方便、簡(jiǎn)潔的問題.這對(duì)初學(xué)者來說是一個(gè)難點(diǎn).最典型的例子就是一個(gè)單自由度的彈簧振子在運(yùn)動(dòng)過程中任意位置時(shí)的勢(shì)能計(jì)算,如圖1(a)所示,物塊質(zhì)量為 m,彈簧的彈性系數(shù)為k,l為彈簧的原長,δst為靜平衡時(shí)彈簧的靜伸長.為了說明問題方便,將其勢(shì)能計(jì)算過程詳細(xì)羅列如下.取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)及重力勢(shì)能和彈性力勢(shì)能的零點(diǎn),則物塊在任意位置時(shí)的勢(shì)能為

圖1

考慮到靜平衡時(shí)受力如圖1(b)所示,此時(shí) Fks的大小為

由物塊平衡可得

代入式(1)得

由此可以得出結(jié)論:當(dāng)選擇靜平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)時(shí),則系統(tǒng)在任意位置時(shí)的勢(shì)能就等于彈簧相當(dāng)于以靜平衡位置為原長到該位置的變形(伸長或壓縮)所產(chǎn)生的彈性力的勢(shì)能.

有了上述結(jié)論,在計(jì)算類似問題的勢(shì)能時(shí)就會(huì)帶來很大的方便,但是,如何解釋得到這個(gè)結(jié)論的原因,上述結(jié)論能否推廣、怎樣推廣,現(xiàn)行教材對(duì)此問題的討論是有缺失的.

現(xiàn)行教材一般不明示得到上述結(jié)論的過程及原因,更不討論上述結(jié)論的推廣條件,而是在遇到具體問題時(shí)直接應(yīng)用上述結(jié)論,這就給初學(xué)者在這個(gè)問題上帶來了很大的困惑與困難.實(shí)際上從式(1)、(3)可以看出,之所以可以得到式(4)這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)果,其原因主要是物塊的重力與彈簧的靜伸長所產(chǎn)生的彈性力在位移 x上做的功大小相等,正負(fù)相抵所致.但是,能否從大小相等,正負(fù)功相抵這樣一個(gè)表象或原因出發(fā)去挖掘問題更本質(zhì)的內(nèi)涵,進(jìn)而可以對(duì)問題從概念上有更深層次的理解,在計(jì)算上不必通過功的繁瑣計(jì)算就可以得出最終簡(jiǎn)潔的結(jié)果并給出其推廣條件呢?筆者認(rèn)為是完全可以做到的,也是必要的.

為此,先分析物塊在任意位置 x處的受力,如圖1(c)所示,此時(shí) Fk的大小為

由式(3)及圖1(b)可知,重力 mg和彈簧靜伸長的彈性力Fks構(gòu)成了一個(gè)平衡力系,由力學(xué)中的加減平衡力系公理可知,對(duì)于任意一個(gè)剛體,對(duì)其加上或減去一個(gè)平衡力系不影響原力系對(duì)剛體的作用效果,據(jù)此對(duì)圖1(c)的物塊減去 mg與 Fks組成的平衡力系,其受力情況如圖1(d)所示,此時(shí) F′k的大小為

也就是說,當(dāng)從圖1(c)中的物塊上去掉一個(gè)平衡力系后,該物塊在任意位置所受的力就相當(dāng)于一個(gè)無重物塊受一個(gè)從坐標(biāo)原點(diǎn)為原長(即彈簧的靜伸長處)算起的彈簧伸長所產(chǎn)生的彈性力的作用,如果這時(shí)把該坐標(biāo)原點(diǎn)選為該彈性力勢(shì)能的零點(diǎn),則可以立即得到式(4)的結(jié)果.

圖2

由此可見,如果用加減平衡力系公理來解釋式(4)的結(jié)果,或者說用該公理來指導(dǎo)勢(shì)能的計(jì)算,不僅從概念上很清晰,而且它觸及了問題的本質(zhì),從而使勢(shì)能計(jì)算不必再通過繁瑣計(jì)算而獲取結(jié)果,更重要的是,用減去一個(gè)平衡力系的方法來指導(dǎo)在任意位置的振動(dòng)系統(tǒng)的勢(shì)能計(jì)算,不僅可以將式(4)的結(jié)果推廣到重力勢(shì)能與彈性力勢(shì)能其勢(shì)能零點(diǎn)在同一點(diǎn)上的情況,而且還可以推廣到重力勢(shì)能與彈性力勢(shì)能其勢(shì)能零點(diǎn)不在同一點(diǎn)的情況;既可以用到彈簧振子上,又可以推廣到其他振動(dòng)系統(tǒng)上;既可以用到單自由度的情況,又可以推廣到多自由度的情況,并且概念清晰,計(jì)算簡(jiǎn)單.例如對(duì)于圖2(a)所示兩個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng),分別選 x1、x2為廣義坐標(biāo),選兩個(gè)物塊的靜平衡位置 O1、O2為坐標(biāo) x1、x2的原點(diǎn),則利用加減平衡力系公理可以將其受力簡(jiǎn)化為圖2(b)所示的情況,分別以兩個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)為物塊1、彈簧1的勢(shì)能零點(diǎn)和物塊2、彈簧2的勢(shì)能零點(diǎn),因此很容易求得其勢(shì)能表達(dá)式為

再例如對(duì)于圖2(c)所示的單自由度振動(dòng)系統(tǒng),將圓輪、物塊的重力勢(shì)能零點(diǎn)分別選在各自靜平衡所在的O和O2點(diǎn),將彈簧的彈性力的勢(shì)能零點(diǎn)選在O1點(diǎn),并假設(shè)鉸鏈 O為理想約束,則以同樣的方法處理,可以求得其在任意位置的勢(shì)能為

或

而對(duì)于圖2(d)所示的單自由度系統(tǒng),如果靜平衡時(shí)OA桿水平,則利用加減平衡力系公理,并假設(shè)鉸鏈O為理想約束,則 OA桿在任意位置的勢(shì)能為

從上述討論可以看出,當(dāng)應(yīng)用加減平衡力系公理之后,實(shí)際上是把計(jì)算重力勢(shì)能與彈性力勢(shì)能之和的問題變成了僅僅只需要計(jì)算彈性力勢(shì)能的問題,從而避開了初學(xué)者在選擇重力勢(shì)能零點(diǎn)與彈性力零點(diǎn)時(shí)所出現(xiàn)的對(duì)這兩個(gè)勢(shì)能零點(diǎn)是否應(yīng)該重合或不重合的困惑,這樣做不僅概念清楚,對(duì)問題的解釋更科學(xué),更觸及本質(zhì),而且計(jì)算簡(jiǎn)單.

還需要指出的是,并不是所有需要考慮重力勢(shì)能與彈性力勢(shì)能的振動(dòng)系統(tǒng)都可以應(yīng)用加減平衡力系公理來簡(jiǎn)化勢(shì)能的計(jì)算.例如圖3所示的振動(dòng)系統(tǒng),如果該系統(tǒng)的靜平衡位置如圖所示,且其彈簧在靜平衡時(shí)為原長(或有靜變形δst),則該系統(tǒng)在計(jì)算其在任意位置的勢(shì)能時(shí)就需要同時(shí)計(jì)算重力勢(shì)能與彈性力勢(shì)能,就是用了加減平衡力系公理也不能簡(jiǎn)化勢(shì)能的計(jì)算.這是因?yàn)閼?yīng)用加減平衡力系公理能否簡(jiǎn)化勢(shì)能計(jì)算取決于是否同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:一是在靜平衡時(shí)系統(tǒng)所受平衡力系中是否存在由彈簧靜變形而產(chǎn)生的彈性力;二是在靜平衡時(shí)彈簧的靜變形是否是由振動(dòng)

圖3

從上述討論可以看出,一些在計(jì)算上并不復(fù)雜的問題,卻涉及一些很基本、很重要的概念問題.這些問題往往會(huì)影響到初學(xué)者對(duì)一些結(jié)論的理解與應(yīng)用,因此在教材和教學(xué)中應(yīng)該對(duì)這些問題有所表述,因?yàn)椴荒芷谕麑W(xué)生在初次學(xué)習(xí)中就能領(lǐng)會(huì)到那些教師經(jīng)過多年教學(xué)實(shí)踐才悟到的概念真諦.

總之,教材的編寫是一項(xiàng)要求非常嚴(yán)謹(jǐn)、非?？茖W(xué)、非常規(guī)范的工作,對(duì)理論的講述,結(jié)論的解釋,物理概念定義,問題的提法,基本量的計(jì)算都應(yīng)該精益求精,慎之又慎,使之真正成為教師講授與學(xué)生學(xué)習(xí)的基本依據(jù).

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2008-08-28)