郜 冶,劉平安,楊 丹

(哈爾濱工程大學航天工程系,哈爾濱150001)

0 引 言

早在上世紀六十年代美國對某衛(wèi)星第三級旋轉(zhuǎn)發(fā)動機飛行的測量中[1],已了解到角加速度引起的章動現(xiàn)象,由于當時發(fā)動機尺寸較小,并未出現(xiàn)章動搖擺的劇烈增長情況。八十年代,在美國Star-48旋轉(zhuǎn)固體火箭發(fā)動機[2-3]搭載衛(wèi)星的過程中,發(fā)現(xiàn)了嚴重的飛行器不規(guī)則圓錐運動,即章動現(xiàn)象,這一現(xiàn)象足以導致發(fā)射任務失敗。后來,我國在小衛(wèi)星發(fā)射的過程中遇到同樣的問題。從出現(xiàn)章動角度放大的PAM(Payload Assist Module)-D系列飛行器的測試結(jié)果[2](見圖1)中可以發(fā)現(xiàn),飛行器的不規(guī)則進動與固體火箭發(fā)動機的工作情況有關,圖中可以看到,從發(fā)動機點火至工作57秒,飛行器均處于小角度脈動狀態(tài),側(cè)向角速度不超過3 Deg/s。隨后章動角速度在75秒開始大幅度增長,在88秒燃燒結(jié)束時達到最大值,并突然停止增大。許多學者[4-8]開始從很多方面對這一現(xiàn)象進行細致全面的分析研究。大部分研究者認為,由于噴氣阻尼(Jet damping)的作用,在初始條件下產(chǎn)生的使飛行器發(fā)生搖擺的側(cè)向力或側(cè)向角速度會隨時間被逐漸耗散,直至減小為零,這樣發(fā)動機的運動會逐漸趨于穩(wěn)定。

圖1 PAM-D的遙測結(jié)果Fig.1 Pitch rate citefrom PAM-Dflights

經(jīng)典的噴氣阻尼定義是由 Rosser、Newton、Gross[4]首先給出的,但在當時(1947年)這一理論就存在一些尚未解決的問題,如小型戰(zhàn)術火箭的飛行試驗觀測與理論計算結(jié)果相矛盾的情況,這些問題一直沒有得到解決,而傳統(tǒng)的噴氣阻尼理論仍然被廣泛使用[1,7-8]。大部分參考這一理論的分析都是建立在“準穩(wěn)態(tài)”流動假設基礎上的,并假設流場內(nèi)的流動是平行于對稱軸的,然而用于分析飛行器發(fā)生章動不穩(wěn)定性的最大誤差來源于第一種假設,準穩(wěn)態(tài)近似的假設,即假設不存在非穩(wěn)態(tài)擾動力矩作用,而此時即使是在章動不穩(wěn)定條件下,擾動力矩的作用仍然為零。本文的主要目的就是分析在某些特定條件下,存在非穩(wěn)態(tài)力矩作用的情況下,是否會使各種非穩(wěn)態(tài)力矩的相互作用效果超過噴氣阻尼作用,而產(chǎn)生章動不穩(wěn)定性運動。

1 數(shù)學模型

氣動力矩作用是由飛行器系統(tǒng)內(nèi)燃氣流的相對運動引起的,因此這里對由氣流相對運動產(chǎn)生的力矩進行分析,則有[2]:

將氣流速度與旋轉(zhuǎn)角速度分解為平均流與波動(非穩(wěn)態(tài))項和的形式,即:

式中 U表示速度矢量的平均值,Ω為飛行器角速度矢量的穩(wěn)態(tài)部分,u′、ω′為非穩(wěn)態(tài)的速度和角速度矢量,與平均量相比,u′、ω′可假設為小量。這一假設可通過實際飛行測量的數(shù)據(jù)得到證明,飛行器的旋轉(zhuǎn)角速度為5.26 rad/s,而章動角速度的最大值約為0.5 rad/s,可見章動不穩(wěn)定性的最大幅值小于飛行器自旋角速度的10%。

將式(2)代入式(1)中,并將平均項與波動項分解,可得到表1中所示的飛行器與內(nèi)部氣流相互作用的力矩。Group1表示在燃燒室內(nèi)產(chǎn)生的二次流動引起的穩(wěn)態(tài)力矩,例如,結(jié)合哥氏力的容積積分和角動量對流的軸向、徑向面積積分,產(chǎn)生的與燃氣流動相重疊的軸向渦流作用。Group2表示飛行器角運動的非穩(wěn)態(tài)作用與發(fā)動機燃燒室內(nèi)的穩(wěn)態(tài)流動之間的相互作用。這一容積積分項中包含了哥氏加速度(2ω′×U),它正是產(chǎn)生經(jīng)典的噴氣阻尼作用的源項。若噴氣阻尼力矩項與產(chǎn)生章動不穩(wěn)定性的擾動力矩具有相同的量級,但方向相反,那么就會使飛行器產(chǎn)生實際飛行中觀測到的側(cè)向角運動被逐漸放大的情況。Group3、Group4表示燃燒室內(nèi)氣流速度的非穩(wěn)態(tài)部分與穩(wěn)態(tài)平均流動以及飛行器平均自旋運動之間的相互作用,而燃氣流的非穩(wěn)態(tài)流動項是由發(fā)動機燃燒室壁面的非穩(wěn)態(tài)剛體角運動激發(fā)出來的。這些相互作用力矩的一階形式由哥氏力和加速度項的體積積分表示,以及對流作用的面積積分。用于描述擾動角動量對流作用的面積積分項具有重要的影響,它是由平均氣流流動流出發(fā)動機噴管出口產(chǎn)生的。Group5中的高階項沒有進行展開,他們是由 u′、ω′構成的二階非線性項作用,因此與一階項相比可忽略不計。

1.1 噴氣阻尼作用

噴氣阻尼力矩由Group2中的哥氏力積分作用項表示,有:

以圖2所示的飛行器系統(tǒng)為模型,用于求解噴氣阻尼力矩作用的大小。

圖2 發(fā)動機燃燒室及噴管幾何構形Fig.2 Motor chamber and nozzle geometry

圖2 所示的飛行器模型中,發(fā)動機內(nèi)裝藥為柱形,燃燒方式為端面與內(nèi)管同時燃燒,并假設發(fā)動機的流量是以線性方式增大的,則噴氣阻尼力矩可表示為[2]:

其中:Lcg為噴管出口相對于飛行器質(zhì)心的距離m;Ln為噴管長度,m;2b為發(fā)動機燃燒室的長度,m。

表1 飛行器與內(nèi)部氣流相互作用產(chǎn)生的作用于飛行器上的力矩Table 1 Moment on spacecraft due to interaction with internal flow field

這里:Group 1為穩(wěn)態(tài)流動作用;Group 2為噴氣阻尼力矩;Group 3為非穩(wěn)態(tài)流動作用;Group 4為角動量的非穩(wěn)態(tài)對流作用;Group 5為非線性作用項(高階小量)。U是包括軸向渦流分量在內(nèi)的平均流速度矢量,Ω是沿發(fā)動機對稱軸方向的飛行器主自旋角速度矢量。u′是由于燃燒室的章動運動產(chǎn)生的非穩(wěn)態(tài)的氣流速度波動,ω′是章動角速度,即側(cè)向角速度。r是相對于飛行器質(zhì)心的發(fā)動機燃燒室或者噴管內(nèi)任意一點的位置矢量,n為控制容積表面的單位面積矢量。系統(tǒng)的控制容積包括飛行器負載和固體火箭發(fā)動機部分,燃氣流由噴管尾部噴出控制容積系統(tǒng)。

KJ為噴氣阻尼系數(shù),表示MJ相對于角速度波動矢量ω′的比值,則有:

由上式可知,KJ為負值。按照Rosser的定義噴氣阻尼力矩的結(jié)果可表示為K J=-˙m(L2cg),也就是說經(jīng)典的噴氣阻尼理論在某種程度上夸大了噴氣阻尼力矩的作用。

由式(4)可知,噴氣阻尼力矩與角速度矢量振蕩的方向剛好相反,也就是說噴氣阻尼力矩的作用效果是阻止飛行器的側(cè)向角運動。隨著發(fā)動機裝藥的燃燒,系統(tǒng)質(zhì)心向前移動,燃燒室長度增加,噴氣阻尼系數(shù)KJ的大小也隨之增大。

Flandro[2]指出,旋轉(zhuǎn)發(fā)動機內(nèi)存在由燃燒室頭部延伸至噴管的軸向渦核流動。這一現(xiàn)象在很多旋轉(zhuǎn)固體火箭發(fā)動機中均被忽略掉。發(fā)動機內(nèi)氣流經(jīng)由噴管加速以及推進劑表面燃燒氣流注入產(chǎn)生了渦核的延伸,最終形成了渦核流動,渦核的延伸不僅會影響噴管流動,還會使燃燒室壓力以及推進劑的燃燒速度與之發(fā)生響應,而產(chǎn)生波動現(xiàn)象。

1.2 非穩(wěn)態(tài)流動作用

表1中Group3、Group4是杉燒產(chǎn)物中與時間相關的氣流速度振蕩與燃燒室旋轉(zhuǎn)和平均流動之間的相互作用產(chǎn)生的飛行器內(nèi)部作用力矩。旋轉(zhuǎn)發(fā)動機內(nèi)的平均流動是比較復雜的,且由于軸向渦核流動的存在,使得這些非穩(wěn)態(tài)力矩作用更加復雜,難以確定。

Group3的第一項是與噴氣阻尼項近似的由哥氏加速度產(chǎn)生的作用,第二項為燃燒室內(nèi)角動量的時間變化率。Group4為流出燃燒室的平均流和波動速度的對流,噴管出口處的這兩項積分結(jié)合起來表示側(cè)向非穩(wěn)態(tài)角動量的對流作用,并且產(chǎn)生了一個重要的作用于飛行器上的擾動力矩。

Group4第二項的反作用力矩可表示為:

上式在噴管出口的積分表示由平均流動帶走的系統(tǒng)角動量隨時間變化的通量,這一通量是由速度振蕩u′引起的,而 u′是燃燒室內(nèi)氣流響應飛行器非穩(wěn)態(tài)角運動,即剛體擺動產(chǎn)生的,且飛行器同時還存在自旋運動。

表示容積d V中氣流角動量的振蕩分量。

圖3所示為平均流流經(jīng)燃燒室并流出噴管的延伸情況,其中 U為平均流速度,u′為速度波動,垂直于 U。圖中給出了氣流角動量分量d H隨時間的變化,由于系統(tǒng)角動量守恒,因此隨著氣流接近系統(tǒng)軸線,角動量的大小逐漸增大。氣流速度波動產(chǎn)生的側(cè)向角動量分量反作用于飛行器,產(chǎn)生了擾動力矩作用。如圖中所示,若力矩項 M H平行于角速度分量ω′,且其大小與噴氣阻尼力矩M J相當,則章動不穩(wěn)定性就會隨時間而增大。

圖3 氣流側(cè)向轉(zhuǎn)動慣量微團的延伸Fig.3 Stretching of the lateral angular momentum of particle

上文對旋轉(zhuǎn)火箭內(nèi)的氣流流動進行了分析,并得到非穩(wěn)態(tài)作用項的存在,表1中Group3、Group4產(chǎn)生的作用于飛行器上的反作用力矩,使得飛行器發(fā)生章動不穩(wěn)定性,那么要得到這些非穩(wěn)態(tài)項對飛行器運動以及章動不穩(wěn)定性的影響程度,就需要得到這些非穩(wěn)態(tài)作用的具體形式。Group3、Group4中的各項都與非穩(wěn)態(tài)速度 u′有關,因此Flandro在研究中利用慣性波理論對u′進行了傅里葉展開,并將結(jié)果代入到非穩(wěn)態(tài)作用項中,得到了氣流擾動力矩項的矢量表達方式:

這里下標表示Group3、Group4中的各項,如M31表示Group3的第一項,其中有:

其中系數(shù)K1、K2為傅里葉展開的系數(shù)合并項,其表達方式十分復雜,用于描述非穩(wěn)態(tài)渦流特性,K 1、K 2的單位為s-1。

由式(9)可知氣流擾動力矩MH與章動角速度波動成比例,MH的物理意義是氣流相對于飛行器擺動的線性響應,飛行器與火箭發(fā)動機內(nèi)的燃氣流組成了一個封閉的循環(huán)系統(tǒng),即自激振蕩系統(tǒng)。

圖4所示為M H相對于M J和角速度振蕩分量ω′的方位角,MH的幅值和相角φ相對于ω′可表示為K1、K2的函數(shù) :

這里 ωT為側(cè)向加速度,即角速度的振蕩分量 ω′。

圖4 擾動力矩相對于章動角速度的方位角Fig.4 Orientation of disturbing moment relative to nutation angular velocity

將前文對氣動力矩項的分析引入到描述飛行器系統(tǒng)姿態(tài)運動的歐拉方程中,就可以得到非穩(wěn)態(tài)力矩項對飛行器整體姿態(tài)運動的影響程度,由于K 1、K2的表示涉及較多的復雜參數(shù),因此這里僅將K1、K2作為恒值代入,則有[9]:

將式(12)和(13)合并后有:

則隨裝藥的燃燒,側(cè)向角速度 ωT可表示為:

令:

則有:

這里將噴氣阻尼作用與非穩(wěn)態(tài)氣流作用的積分函數(shù)分別用D1(t)、D2(t)表示,這兩個函數(shù)共同作用決定了側(cè)向角速度的幅值,這里將D1(t)、D2(t)簡稱為幅值函數(shù)。

飛行器章動角度:

體章動角度:

2 算例與結(jié)果分析

下面就采用式(15)的系統(tǒng)模型,對兩種不同飛行器算例進行發(fā)動機工作條件下的系統(tǒng)姿態(tài)運動的計算。

2.1 柱形燃燒室發(fā)動機算例

首先對簡化的柱形燃燒室及裝藥變化的飛行器參數(shù)系統(tǒng)進行歐拉方程的求解,令飛行器的初始側(cè)向角速度為ωT0=1.0deg/s(約為0.0174533 rad/s),且K1為恒值,計算中所關心的是章動幅度的變化,對章動頻率的影響假設為恒值,即K2=2.5(下同),此時系統(tǒng)章動周期約為1.7 s。

圖5 K 1=0.275時柱形燃燒室發(fā)動機飛行器的章動角度Fig.5 Nutation angle of the spacecraftwith cylindrical chamber when K1=0.275

圖5 -6為K1=0.275時系統(tǒng)章動幅度隨時間的變化,章動角度在K1為恒值時,在發(fā)動機工作初始已經(jīng)開始增長,在接近40 s時達到最高值0.0982 rad(約為5.62702 deg)。側(cè)向角速度的變化與章動角度相同,最大值達到約0.25301 rad/s(約14.4964 deg/s)。由飛行器幅值函數(shù)的相對值之間的變化,圖7中可以看出,產(chǎn)生章動增長的原因是在40 s之前,非穩(wěn)態(tài)氣流作用力矩的增長速度超過了噴氣阻尼力矩的增長速度,使得此時非穩(wěn)態(tài)項占主導地位,但隨著裝藥的燃燒,發(fā)動機流量逐漸增大,飛行器質(zhì)心前移,使得噴氣阻尼力矩的增大速度逐漸超過了非穩(wěn)態(tài)氣流作用力矩,因此章動幅度又逐漸減小,在發(fā)動機工作結(jié)束時減小為零。

圖6 K 1=0.275時側(cè)向角速度Fig.6 Lateral angular velocity when K 1=0.275

圖7 K 1=0.275時幅值函數(shù)的作用效果Fig.7 Effects of the amplitudefunctions when K 1=0.275

由飛行器的實際觀測數(shù)據(jù)已經(jīng)得知,飛行器的章動增長并不是在發(fā)動機工作初始就開始的,而是在發(fā)動機工作中期逐漸開始的,因此K 1并不僅僅為恒值,這里先假設K1為時間的函數(shù),并將K1為時間的一階、二階函數(shù)代入歐拉模型方程進行計算。

圖8-9為K1=0.0053t時章動幅度的變化,這里K 1的取值標準為使章動角度的波動范圍在0.1 rad以內(nèi),以便對不同形式的K1值進行比較。由圖中可知,當K 1為時間的一階函數(shù)時,章動角度在發(fā)動機工作初始增長緩慢,最高值仍約為0.1 rad,而其達到最高值的時間相對于K1=0.275時后移,此時側(cè)向章動角速度的極值也向后移動,且所達到的最高值與K 1=0.275時接近。章動角度與側(cè)向角速度的這種對應關系是由系統(tǒng)參數(shù)所決定的。

圖8 K 1=0.0053t時柱形燃燒室發(fā)動機飛行器的章動角度Fig.8 Nutation angle of the spacecraftwith cylindrical chamber when K1=0.0053t

圖9 K 1=0.0053t時側(cè)向角速度Fig.9 Lateral angular velocity when K 1=0.0053t

由圖10的幅值函數(shù)曲線可知,K1為時間的一階函數(shù)條件下,非穩(wěn)態(tài)氣流作用力矩初始的增長幅度較慢,而后逐漸增大,但在發(fā)動機工作臨近結(jié)束時,噴氣阻尼力矩的增長速度較快,因此章動幅度又開始減弱。

圖10 K 1=0.0053t時幅值函數(shù)的作用效果Fig.10 Effects of the amplitude functions when K1=0.0053t

圖11 -12所示為K1取時間的二階函數(shù)時,系統(tǒng)章動幅度的變化,可知當K 1=8.0×10-5t2時,章動角度在發(fā)動機工作前半段有小幅度減弱,而后在發(fā)動機工作40 s-50 s開始大幅度增長,到了約70 s時達到最高點,最后又迅速減小,在發(fā)動機停止工作時其幅值仍較大。側(cè)向角速度的變化也是如此,這一變化過程與實際當中飛行器的姿態(tài)運動情況十分相似,只是實際情況中在發(fā)動機工作末期章動角度并沒有減小,且在發(fā)動機工作結(jié)束后,仍保持一定的章動幅度。

通過對K1分別為恒值和時間的一階、二階函數(shù)的情況下的計算可知,隨著K1值的增大,章動角度的最高幅度也增大,且時間后移,K1的不同取值形式?jīng)Q定了非穩(wěn)態(tài)作用力矩的變化趨勢,且當K1為時間的二階函數(shù)時與實際運動的章動不穩(wěn)定性情況最接近。

Flandro[2]利用慣性波動理論對非穩(wěn)態(tài)項進行傅里葉展開,并利用飛行器參數(shù)對WESTAR-V飛行器的非穩(wěn)態(tài)擾動力矩項進行了求解,得到 δK1的取值范圍為0～1.0×10-4,δ為力矩比例參數(shù),可表示為:

δ的量級約為2.0×10-4,那么K1的取值范圍約為0.5,這與本文中對K1的取值范圍量級相同,可見本文對K1的取值是合理的。由此證明了在某些飛行器參數(shù)條件下,發(fā)動機內(nèi)部氣流流動產(chǎn)生了非穩(wěn)態(tài)氣流作用力矩,這一擾動力矩與噴氣阻尼力矩同量級,該力矩就是產(chǎn)生飛行器章動不穩(wěn)定性的源項。

圖11 K1=8.0×10-5 t 2時柱形燃燒室發(fā)動機飛行器的章動角度Fig.11 Nutation angle of the spacecraftwith cylindrical chamber when K1=8.0×10-5 t2

圖12 K1=8.0×10-5 t 2時側(cè)向角速度Fig.12 Lateral angular velocity when K 1=8.0×10-5 t2

實際情況中發(fā)生章動不穩(wěn)定性的飛行器,在發(fā)動機工作前半段章動幅度幾乎沒有波動,到了約40 s-50 s開始增長,在發(fā)動機工作結(jié)束時增長停止,且維持不變。飛行器最大章動角度約0.27 rad(約15.46986 deg/s),側(cè)向角速度最高為 25 deg/s(約0.43633 rad/s)。前半段的無波動并不代表擾動力矩的作用為零,只能是擾動力矩的作用還未超過噴氣阻尼力矩,而在發(fā)動機工作接近結(jié)束時,擾動力矩已經(jīng)增大到超過了噴氣阻尼力矩,從而產(chǎn)生了章動幅度達到了最高值。這一現(xiàn)象與前面對渦核延伸的假設相互吻合,渦核流動是由氣流逐漸注入產(chǎn)生的,且在發(fā)動機工作結(jié)束段,發(fā)動機燃燒室內(nèi)空間增大的條件下,渦核流動的作用空間也不斷增大,就使得擾動力矩持續(xù)增強,而同時噴氣阻尼作用力矩是與發(fā)動機內(nèi)尺寸變化不相關的。

2.2 STAR 48發(fā)動機算例

STAR 48發(fā)動機飛行器同樣令其初始側(cè)向角速度為1 deg/s,K2取恒值,即K2=0.5,得到的頻率尺度與算例1接近,章動周期約為2.0 s。

圖13為K1=0.20時側(cè)向角速度的變化,由圖中可知,側(cè)向角速度在發(fā)動機工作初始已經(jīng)開始增長,這與算例1在K1取恒值時的情況相同,在發(fā)動機工作40 s-50 s時章動角度有小幅度減弱,在發(fā)動機工作結(jié)束段又開始增加,這主要是由于產(chǎn)生STAR 48發(fā)動機噴氣阻尼力矩的飛行器參數(shù)決定的,且由圖14中幅值函數(shù)的相對值也可以看出,噴氣阻尼函數(shù)的變化范圍比算例1小約1倍,且此時噴氣阻尼力矩的增長速度變化很小,與K 1為恒值的擾動力矩項幾乎為對稱關系,從而使得章動角度隨之發(fā)生小幅波動。

圖13 K 1=0.20時STAR 48發(fā)動機飛行器的側(cè)向角速度Fig.13 Lateral angular velocity of the spacecraft with STAR 48 when K 1=0.20

圖15 為K1=2.75×10-3t時章動角速度的變化,由于非穩(wěn)態(tài)作用力矩的增長速度有所減慢,章動幅度初始有緩慢減小,隨后在t=50-60 s開始逐漸增大,直至燃燒結(jié)束。此時章動角度增大到約0.1 rad,側(cè)向角速度只增加到0.11921 rad/s(約6.83023 deg/s),也就是說由于飛行器轉(zhuǎn)動慣量的分布不同,產(chǎn)生與算例1相同的側(cè)向角速度,會得到更大的章動角度。

經(jīng)過對比可以發(fā)現(xiàn),STAR 48發(fā)動機的非穩(wěn)態(tài)力矩作用為時間的一階函數(shù)時,產(chǎn)生的章動不穩(wěn)定性與實際較接近。

圖14 K1=0.20時幅值函數(shù)的作用效果Fig.14 Effects of the amplitude functionswhen K 1=0.20

隨著燃燒的進行,燃燒室內(nèi)的流動空間逐漸增大,燃氣流流出燃燒室的路徑變長,那么氣流在燃燒室內(nèi)的停留時間便會增長,加上氣流的不斷注入,使得渦核流動的強度不斷增加,擾動力矩也逐漸增強。在發(fā)動機工作即將結(jié)束時,擾動力矩的增長速度迅速增大,逐漸超過了噴氣阻尼力矩。我們可以認為,若發(fā)動機在擾動力矩沒有迅速增大之前就停止工作,那么章動幅度就不會增大到使飛行器失穩(wěn)的程度。

圖15 K 1=2.75×10-3 t時STAR 48發(fā)動機飛行器的側(cè)向角速度Fig.15 Lateral angular velocity of the spacecraft with STAR 48when K 1=2.75×10-3 t

由此可知,在以往對某些同類型自旋穩(wěn)定飛行器的測試中,未發(fā)現(xiàn)章動角度增大的現(xiàn)象發(fā)生,并不能說明這些系統(tǒng)就是穩(wěn)定的,而是由于各參數(shù)的綜合作用,使得在發(fā)動機工作結(jié)束時,章動不穩(wěn)定性還沒有被放大到致使系統(tǒng)不穩(wěn)定的程度。

4 結(jié) 論

本文在飛行器運動方程的基礎上,引入Flandro的非穩(wěn)態(tài)氣流作用力矩模型,對實際的飛行器參數(shù)進行了計算,結(jié)果顯示非穩(wěn)態(tài)氣流產(chǎn)生的側(cè)向擾動力矩是飛行器發(fā)生非穩(wěn)態(tài)圓錐運動的主要因素。當擾動力矩的作用逐漸超過了噴氣阻尼力矩時,就會出現(xiàn)章動現(xiàn)象。當發(fā)動機在擾動力矩沒有迅速增大之前就停止工作,那么章動幅度就不會增大到使飛行器失穩(wěn)的程度。但是發(fā)動機內(nèi)流場的氣流作用是十分復雜的,要得到氣流非穩(wěn)態(tài)作用的產(chǎn)生機理,就需要對發(fā)動機三維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)流場進行深入研究。

[1] Rott N,Pottsepp L.Simplified calculation of jet-damping effects[J].AIAA Journal,1964,2(4):764-766.

[2] Flandro GA,VanMoorhem WK,Shoethill R,et al.Fluid mechanics of spinning rockets[R].AFRPL TR-86-072,AD-A177350,1987:9-35.

[3] Yam Y,Mingori D L,Halsmer DM.Stability of a spinning axisymmetric rocket with dissipative internal mass motion[J].Journal of Guidance Control and Dynamics,1997,20(2):306-312.

[4] Rosser J B,Newton RRand GrossG L.Mathematical theory of rocket flight[M].New York:McGraw-Hill Book Company,Inc,1947:20.

[5] 郜冶,楊丹,熊永亮.旋轉(zhuǎn)飛行器固體火箭發(fā)動機引起的章動不穩(wěn)定性分析[J].宇航學報,2008,29(1):270-275.[GAO Ye,YANG Dan,XIONG Yong-liang.Coning instability analysis of spinning solid rocket motor[J].Journal of Astronautics,2008,29(1):270-275.]

[6] 楊丹,郜冶,熊永亮.旋轉(zhuǎn)固體火箭發(fā)動機隨質(zhì)量變化的姿態(tài)運動分析[J].推進技術,2008,29(1):8-12.[YANG Dan,GAO Ye,XIONG Yong-liang.Preliminary analysis of spinning solid rocketmotor dynamicsstability[J].Journal of Propulsion Technology,2008,29(1):8-12.]

[7] Breuer D W,Southerland W R.Jet-damping effects:theory and experiment[J].Journal of Spacecraft and Rocket,1965,2(4):638-639.

[8] Thomson WT,Reiter GS.Jet damping of a solid rocket:theory and flight results[J].AIAA Journal,1965,3(3):413-417.

[9] Janssens F.Jet damping and nutation growth during the burn of a solid rocket motor such as PAM-D[J].ESA Journal,1988,12:273-288.