莊常陵

(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 湖北 襄樊 441053)

狀態(tài)預(yù)報(bào)值服從污染正態(tài)的抗差估計(jì)

莊常陵

(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 湖北 襄樊 441053)

利用等價(jià)權(quán)原理，討論了狀態(tài)預(yù)報(bào)值服從污染正態(tài)分布的抗差估計(jì)，并利用影響函數(shù)，說(shuō)明所給出的估計(jì)的確能減免粗差干擾，并針對(duì)估值的計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行了討論.

抗差估計(jì)；污染正態(tài)分布；影響函數(shù)

離散時(shí)間狀態(tài)系統(tǒng)可以同時(shí)用狀態(tài)方程:

和觀測(cè)方程:

來(lái)描述. 假設(shè)狀態(tài)輸入噪聲{Wk}與觀測(cè)噪聲{Δk}均為期望為0的“白噪聲”序列，{Wk}、{Δk}和系統(tǒng)的初態(tài)互不相關(guān)，{Wk}、{Δk}均為服從正態(tài)分布的隨機(jī)序列. 則Kalman給出的最優(yōu)估計(jì)x?k的遞推公式[1]:

或

然而，實(shí)踐證明嚴(yán)格服從某一特定分布的觀測(cè)數(shù)據(jù)是不存在的. 如果狀態(tài)輸入噪聲向量和觀測(cè)噪聲中含異常噪聲而不服從正態(tài)分布，即狀態(tài)預(yù)報(bào)值和狀態(tài)觀測(cè)值Lk受到異常干擾時(shí)，Kalman給出的估值不但不是系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估值，甚至?xí)x真值，造成難以預(yù)料的影響. 文獻(xiàn)[2]討論狀態(tài)觀測(cè)值Lk服從污染正態(tài)分布，但狀態(tài)預(yù)報(bào)值服從正態(tài)分布的抗差估計(jì)，下面將討論狀態(tài)觀測(cè)值Lk服從正態(tài)分布，但狀態(tài)預(yù)報(bào)值服從污染正態(tài)分布的抗差估計(jì).

1 參數(shù)估計(jì)

狀態(tài)觀測(cè)值Lk服從正態(tài)分布，但狀態(tài)預(yù)報(bào)值服從污染正態(tài)分布，即

其中，Φx為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Hxk為干擾分布， εxk為污染率.

式中，kP為觀測(cè)值的權(quán)陣

式(1)求級(jí)值，并令 β′(?) =η(?)得

式(2)中， [η( δ x?k)]為列向量，其形式可選為常見(jiàn)的φ函數(shù)形式[1]. 取等價(jià)權(quán)元素為:

迭代解式為:

另一種解法是將準(zhǔn)則(1)式改成:

(6)式分別對(duì)Vk，求導(dǎo)并令為零，得:

2 估值的抗差分析

將式(2)表示成泛函形式

同理，觀測(cè)值Lkj對(duì)x?k的影響函數(shù)可寫為:

從Lkj對(duì)x?k的影響函數(shù)(10)式可以看出，因?yàn)榧僭O(shè)觀測(cè)值Lk未受粗差污染，所以對(duì)觀測(cè)值未施加控制.

3 估值的驗(yàn)后協(xié)方差陣

式(5)兩端同時(shí)減去參數(shù)的真值xk再乘以相應(yīng)的轉(zhuǎn)置后取數(shù)學(xué)期望，得驗(yàn)后協(xié)方差:

4 關(guān)于計(jì)算問(wèn)題的討論

LS—M 估計(jì)的計(jì)算與一般估計(jì)相似，但計(jì)算時(shí)采用不同的解式其計(jì)算量和迭代收斂速度是不相同.一般情況下，當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)少于狀態(tài)未知參數(shù)個(gè)數(shù)即nm時(shí)，可采用式(5)求估計(jì)值. 式(4)還可寫成:

[1] 陳希孺, 趙林城. 線性模型中的M方法[M]. 上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1996.

[2] 莊常陵. 觀測(cè)值服從污染正態(tài)分布的抗差估計(jì)[J]. 襄樊學(xué)院學(xué)報(bào), 2008(2): 14-17.

[3] 莊常陵. 混合型正態(tài)分布的抗差最小二乘估計(jì)[J]. 襄樊學(xué)院學(xué)報(bào), 2007(2): 5-8.

[4] 周江文, 黃幼才, 楊元喜, 等. 抗差最小二乘法[M]. 武漢: 華中理工大學(xué)出版社, 1997.

（責(zé)任編輯：饒 超）

Robust Filtering Whose Status Prediction Value Obeys Polluted Normal Distribution

ZHUANG Chang-ling
(School of Mathematical & Computer Sciences, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

With equivalent weight principle, the robust filtering whose status prediction value obeys polluted normal distribution is discussed. With the help of influence function, it holds that the filter given can indeed derate disturbance of gross error. At last, the calculating issues of estimate value are also discussed.

Robust filtering; Polluted normal distribution; Influence function

O21

A

1009-2854(2010)02-0005-03

2009-12-29

湖北省教育廳科研項(xiàng)目(B200725002)

莊常陵(1968— ), 女, 江蘇常州人, 襄樊學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院副教授.