萬冬梅，洪 巖

（1.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 商丘 476000；2.華北水利水電學(xué)院，河南 鄭州 450003）

0 引言

在保險精算中， 經(jīng)典的風(fēng)險模型及其推廣模型對描述、刻畫單一風(fēng)險經(jīng)營具有重要的作用。經(jīng)典風(fēng)險模型的索賠過程由poisson 過程構(gòu)成，并且保費是固定不變的。 然而，在工作中，可變保費情形更加真實。隨著風(fēng)險經(jīng)營的規(guī)模擴大，不同的顧客群將要求不同的保險合同， 保險公司會不斷面臨推出新險種的壓力。 考慮到經(jīng)典模型在刻畫險種多樣性上的局限性，提出一類雙險種的風(fēng)險模型，其索賠過程由復(fù)合poisson 與Cox 過程共同構(gòu)成。 此前，已有很多作者將Cox 過程理論應(yīng)用于風(fēng)險論中[1～4]。

1 雙險種風(fēng)險模型

1.1 條件假設(shè)

（1）假設(shè)其中一個險種保費到達過程{M1(t);t≥0}是強度為λ1的泊松過程，且M1(0)=0，每次保費收入為常數(shù)c；另一險種保費到達過程{M2(t);t≥0}是強度為λ2的泊松過程，且M2(0)=0，但每次收到的保險費不再為常數(shù)研究，而是一系列相互獨立的隨機變量，記為{Yi}1∞，其分布函數(shù)為F1(x)，且二階矩存在。

（2）假設(shè)一個險種理賠過程{N1(t);t≥0}是強度為μ1的泊松過程,N1(0)=0，理賠額是相互獨立的隨機變量，記為{Xi(1)}1∞，分布函數(shù)為F2(x)，且二階矩存在；另一險種理賠過程{N2(t);t≥0} 是強度為μ2的泊松過程，N2(0)=0，理賠額是相互獨立的隨機變量，記為{Xi(2)}1∞，分布函數(shù)為F3(x)，且二階矩存在。

（3） 設(shè)以上所涉及的4 個泊松過程和3 個隨機變量序列是相互獨立的，并且設(shè)始準備金為μ。

1.2 建立模型

在3 個假定條件約束下，盈余過程{U1(t);t≥0}為：

過程{S1(t)t≥0}表示保險公司在時刻t 的盈余部分。

設(shè)T=inf{t:t＞0 且U（t）＜0}表示保險公司破產(chǎn)發(fā)生的時刻（當T=∞時，因為對任意t＞0 均有U（t）＜0，即保險公司破產(chǎn)不會發(fā)生）。這里沒有考慮保險業(yè)務(wù)涉及的除了保費和理賠以外的其他影響盈余資本因素，如附加費和保單所有人的分紅等問題。

由以上分析得出保險公司的最終破產(chǎn)概率為：

2 估計破產(chǎn)概率

用類似經(jīng)典風(fēng)險理論的方法推導(dǎo)出這一風(fēng)險模型下最終破產(chǎn)概率的一般表達方式和Luindberg 不等式。

2.1 一般表達式的推導(dǎo)

雙險種風(fēng)險模型的一般表達式為： 對于盈余過程{S(t)；t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得：E[e-rS(t)]=etg(r)，并且g(r)=λ1(e-rc-1)+λ2[MY(-r)-1]+μ1[MX1(r)-1]+μ2[MX2(r)-1]。

該式的證明過程為：

其中：MY=(-r)=E(e-rY),MX1(r)=E(e-rX(1))，MX2(r)=E(e-rX(2)).

令：g(r)=λ1(e-rc-1)+λ2[MY(-r)-1]+μ1[MX1(r)-1]+μ2[MX2(r)-1]。

得：E[e-rS(t)]=etan(r)。

2.2 不等式的推導(dǎo)

對于風(fēng)險模型{U(t);t≥0}，最終破產(chǎn)概率為：

（R 為調(diào)節(jié)系數(shù)，是方程g(r)=0 當r＞0 時的唯一正解）。

該式的證明過程為：對于任意的t＞0，r＞0，有

當R=g 時，g(R)=0,故E[e-Ru(x)]=e-Ru，將其代入(1)得：

當T≤t 時,令U(t)=U(T)+[U(t)-U(T)]=

因為E[e-RU(t)｜T≤t]Pr(T≤t)=E[e-RU(t)｜T≤t｜]Pr(T≤t).

當t→∞時，limE[e-RU(t)｜T≤t｜]Pr(T≤t)=E[e-RU(t)｜T＜∞｜]Pr(T＜∞).

下證當t→∞時，式(2)右端第二項為零。

因為：E[U(t)]=u+(cλ1+λ2p1-μ1p1(1)-μ2p1(2))·t

Var[U(t)]=u+(c2λ1+λ2p2-μ1p2(1)-μ2p2(2))·t

記α=cλ1+λ2p1-μ1p1(1)-μ2p1(2)，β2=c2λ1+λ2p2-μ1p2(1)-μ2p2(2).

考慮，q(t)=u+αt-βt，因α＞0，在t 充分大時，q(t)=u+αt-βt＞0。

因此，E[e-RU(t)｜T＞t｜]=

E[e-RU(t)｜T＞t,0≤U(t)≤q(t)]Pr[0≤U(t)≤q(t)]+

E[e-RU(t)｜T＞t,U(t)＞q(t)]Pr[U(t)＞q(t)]≤

Pr[0≤U(t)≤q(t)]+exp[-Rq(t)].

由契比雪夫不等式得：0≤Pr[0≤U(t)≤q(t)]≤

當t→∞時，0≤E[e-RU(t)｜T＞t]≤t +exp[-Rq(t)]→0.

所以，e-Ru=φ(u).E[e-RU(t)｜t＞∞],

3 結(jié)語

在雙險種的條件約束下，根據(jù)給定的初始狀態(tài)，求出了滿足破產(chǎn)概率的方程。根據(jù)建立的風(fēng)險模型，推導(dǎo)出了破產(chǎn)概率的兩種表達式。在風(fēng)險控制中，破產(chǎn)概率表達式用于風(fēng)險定量分析， 可以起到有效防控風(fēng)險的作用。

[1] 蔣志明，王漢興. 一類多險種風(fēng)險過程的破產(chǎn)概率[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2000（01）：9-16.

[2] 黃曉鐘， 彭勤文. 一類多險種的風(fēng)險模型及其破產(chǎn)概率[J]. 寧夏大學(xué)學(xué)報，2005（04）：306-310.

[3] 鐘朝陽. 一推廣后的雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題[J]. 科技信息，2009（08）：367-369.

[4] 徐懷. 保費收入是復(fù)合泊松過程風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[M]. 合肥工業(yè)大學(xué)，2004.