鄭友勝，楊劍影，湯蒂蓮，周海迎

（1北京大學(xué)，北京 100871；2洪都航空工業(yè)集團，南昌 330024；3東華理工大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，江西撫州 344000；4東華理工大學(xué)長江學(xué)院，南昌 330013）

0 引言

有控段彈道優(yōu)化設(shè)計是研究遠程制導(dǎo)炮彈的關(guān)鍵技術(shù)之一，文中對某尾翼低速滾轉(zhuǎn)炮彈進行深入研究。為了提高炮彈射程，炮彈需要一定的攻角抬頭飛行。另外，為了提高彈丸的命中概率，炮彈需要以一定的著速和著角攻擊目標(biāo)，文中將有控段分為三部分，分別為滑翔段、增速段和過重補償段。

1 制導(dǎo)炮彈的彈道模型

由于彈丸在滑翔中受影響的因素是相當(dāng)復(fù)雜的，為了能夠看出問題的本質(zhì)，得出問題的主要規(guī)律，文中作了如下假設(shè)：

1）彈丸是軸對稱的；

2）氣象條件是標(biāo)準(zhǔn)的，無風(fēng)雨；

3）彈丸在縱向平面內(nèi)飛行；

4）彈丸在飛行過程中是瞬時平衡的。

對彈丸進行控制時的初始狀態(tài)為：水平距離為xc0，高度為Hc0，速度為vc0，彈道傾角θc0，建立簡化后的彈道模型如下：

式中：v、θ、x、y、?、α分別為彈丸的速度、彈道傾角、飛行距離、飛行高度、俯仰角和攻角；ωx4、ωz4分別為彈丸在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下的滾轉(zhuǎn)角速度和俯仰角速度。

滑翔段，主要研究炮彈的射程與攻角的關(guān)系，因而只需要式（1）中的前4個等式。控制方程可以進一步簡化為：

其中：控制量為彈丸的攻角用u表示，umin≤u≤umax，umax、umin分別為實際允許最大的滑翔攻角和最小的滑翔攻角，X為彈體阻力，Y為彈體升力。其表達分別為X＝ρv2Scx0（1＋ku2）／2，Y ＝ρv2Sc′yu／2，其中cx為零升阻力系數(shù)，c′y為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)，k為誘導(dǎo)阻力系數(shù)。

將升力和重力的表達式代入式（2）中，經(jīng)整理后可得彈丸滑翔段的控制模型為：

2 有控段彈道優(yōu)化設(shè)計

有控段是指彈丸飛至最高點附近滿足滑翔條件鴨舵打開后，通過鴨舵控制彈丸按一定規(guī)律飛行直至命中目標(biāo)的過程。有控段的主要任務(wù)是控制鴨舵使彈丸按預(yù)先優(yōu)化好的方案飛行，同時要考慮彈丸的靜穩(wěn)定性以及受到的外界干擾等因素，另外在滑翔段進行重力補償，在末段進行過重補償?shù)却胧?/p>

2.1 滑翔段彈道優(yōu)化設(shè)計

制導(dǎo)炮彈滑翔段的飛行過程如下：當(dāng)制導(dǎo)炮彈飛到彈道頂點附近時，并假定此時滾轉(zhuǎn)控制良好，也就是制導(dǎo)炮彈在彈道頂點轉(zhuǎn)速穩(wěn)定并處于良好的滑翔狀態(tài)，此時在彈道頂點附近通過操縱鴨舵進行滑翔控制，通過改變縱向控制力和力矩來改變滑翔增程彈的攻角，從而改變彈丸受到的氣動力，來達到滑翔控制的目的［2］。

文獻［3－5］都是用二次規(guī)劃法結(jié)合多重打靶法求解控制受限的優(yōu)化問題，兩種方法都能較好的求解此類問題，但是用該方法求解時計算量大，非常耗時，文中對此進行了研究，將此算法進行了改進，改進后的算法比原算法效率高好幾倍，且易于編程實現(xiàn)，很適合工程應(yīng)用，圖1為改進后的程序框圖。

由于二次規(guī)劃法采用最速下降法和一維搜索法尋找目標(biāo)函數(shù)。算法中拉格朗日乘子的選取以及優(yōu)化算法的收斂速度等因素，都會影響算法的計算時間。而改進后的算法，采用直接搜索的方法，不需要判斷梯度的方向，也不受是否收斂影響，因而大大加快了計算速度。

圖1 改進后的攻角優(yōu)化程序框圖

彈丸滑翔起點的選擇至關(guān)重要，選擇滑翔起點時，一定要滿足Ymax＞G cosθ條件，否則會導(dǎo)致舵滿偏，從而無法實現(xiàn)預(yù)定的滑翔彈道［5］。圖2給出了從最高點以后，升力和重力G cosθ分量隨時間的變化關(guān)系，在8.13s時，最大升力開始大于重力的鉛垂面的分量，此時的彈道傾角為－13.87°。另外，在滿足啟控條件的前提下，啟控點的選取對射程有一定的影響，表1給出了不同啟控點與彈丸射程的關(guān)系，啟控點1、2、3高度依次降低，其射程也依次減小，主要是由于隨著彈丸高度下降的同時，彈道傾角的絕對值在增大，因而速度v在水平方向的速度也在減小，沿重力方向的速度在增大，因而其滑翔時間相對也在減小，鑒于以上幾個因素，導(dǎo)致滑翔段射程在依次減小。

圖2 最大升力和重力分量隨時間的變化曲線

表1 不同啟控點與最大射程一覽表

從上面的分析可知，在滿足啟控條件下，啟控點離彈道頂點越近越好，為了防止舵滿偏，需留一定的余量，文中選擇Ymax＝1.05G cosθ處為彈丸的啟控點。對于這樣的啟控點有兩個，考慮到尾翼打開、火箭助推和鴨舵打開等對炮彈飛行的干擾，文中選擇彈道頂點之后的那個點為啟控點。

2.2 加速段彈道優(yōu)化設(shè)計

彈丸滑翔飛行時，速度是在不斷減小，考慮到彈丸在攻擊目標(biāo)時需要一定的速度，因此在彈丸飛行至一定高度時改成逐漸減小攻角的策略來增大彈丸的速度。之所以能夠通過減小攻角的方法來增大彈丸的飛行速度，可以根據(jù)彈丸飛行動力學(xué)方程進行分析，隨著攻角的減小其升力在不斷減小，從而引起˙θ不斷減小直到＜0后，攻角再減小時彈道傾角θ 在增大，而隨之也在增大直到＞0后，隨著攻角的減小飛行速度就會增大。

增速段設(shè)計攻角隨時間的變化關(guān)系為：

2.3 末制導(dǎo)段彈道優(yōu)化設(shè)計

為了使彈丸能以大著角 （≥45°）攻擊目標(biāo)，以提高炮彈的毀傷概率，可以采取一定的補償措施，文中采用過重補償。過重補償是指加在制導(dǎo)指令上的重力補償指令超過重力的影響，此時彈道在初始段向上抬起，同時在閉環(huán)比例導(dǎo)引律的作用下使彈道向回拉，從而使彈道末段傾角增大［7］。

文中采用比例導(dǎo)引律，對彈丸末段進行制導(dǎo)。比例導(dǎo)引法的彈丸與目標(biāo)的相對運動關(guān)系如圖3所示。

根據(jù)比例導(dǎo)引規(guī)律，建立彈丸和目標(biāo)的相對運動方程組［1］為：式中第三項為導(dǎo)引關(guān)系方程，gb為導(dǎo)引頭附加進動角速度。

圖3 比例導(dǎo)引彈丸與目標(biāo)的相對運動關(guān)系

比例導(dǎo)引是彈丸在攻擊目標(biāo)的導(dǎo)引過程中，彈丸速度矢量的旋轉(zhuǎn)角速度與目標(biāo)線的旋轉(zhuǎn)角速度成比例的一種導(dǎo)引方法。比例導(dǎo)引的實質(zhì)是通過設(shè)計的導(dǎo)引律產(chǎn)生控制指令，控制速度方向的變化，從而抑制視線的轉(zhuǎn)動，導(dǎo)引彈丸飛向目標(biāo)，并使彈丸接近目標(biāo)的法向過載最小。但是，采取一般的導(dǎo)引方法，彈丸不能以大攻角攻擊目標(biāo)，不能滿足某些戰(zhàn)術(shù)需要。為了使彈丸能以大攻角攻擊目標(biāo)，需要改變原有的導(dǎo)引律，因而在式（5）的第三項加入了過重補償項gb。

3 仿真算例

假設(shè)彈丸的質(zhì)量為m＝60kg，彈丸飛到彈道頂點時的高度為Hc0＝15825.6 m，彈丸飛到彈道頂點時的速度為vc0＝328.95 m／s。彈丸在有控段的約束條件為：攻角0°≤α≤9°，著速vf≥120 m／s，著角θf≥45°。經(jīng)過計算后，文中取彈丸在飛行到距地面3k m是結(jié)束滑翔飛行轉(zhuǎn)入增速段，在距地面800 m時進行末制導(dǎo)，在進行末制導(dǎo)時假設(shè)目標(biāo)是靜止的。

圖4 有控段速度隨時間變化曲線

圖5 有控段彈道曲線

圖6 滑翔段彈攻角隨時間的變化曲線

圖7 末制導(dǎo)段過載隨時間變化曲線

圖8 末制導(dǎo)段彈道傾角隨時間變化曲線

圖9 末制導(dǎo)段彈目相對距離隨時間變化曲線

圖4和圖5分別為有控段速度隨時間變化曲線和彈道曲線，由圖4可知從啟控點開始經(jīng)過226s時，速度減小到一個極值，隨后速度又開始逐漸增大，由圖5可知彈丸在飛行到末段時彈道傾角逐漸增大。圖7～圖9分別為末制導(dǎo)段彈丸的過載、彈道傾角和彈目相對距離隨時間變化的曲線。由圖8可知，加入過重補償后，彈道開始有所抬升，之后由于導(dǎo)引律和重力的作用，又將彈道下拉，從而實現(xiàn)彈丸的大著角攻擊目標(biāo)，由圖9可知，彈丸的脫靶量僅為0.3 m，具有較高的命中精度。這里的脫靶量是指在制導(dǎo)炮彈最接近目標(biāo)時導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對距離。

為了顯示文中所給算法的有效性，下面用另一種方法對升阻比取極大值的方法來設(shè)計彈丸有控段彈道。

由彈丸升力和阻力得：

由式（6）可知，對于文中的簡化模型，攻角取α＝8.1°時，對應(yīng)的升阻比最大，所得彈道曲線如圖10所示。

表2給出了在有控段分別采取分段攻角優(yōu)化法和升阻比最大法進行滑翔時仿真所得的相關(guān)數(shù)據(jù)，由表中列出的相關(guān)數(shù)據(jù)分析可知，采取攻角優(yōu)化法時所得的結(jié)果無論是射程、著角、著速和飛行時間的性能都優(yōu)于升阻比最大時的結(jié)果。

圖10 α＝8.1°滑翔時有控段彈道曲線

表2 兩種增程方法比較

4 結(jié)論

有控段彈道優(yōu)化是制導(dǎo)炮彈研究的關(guān)鍵技術(shù)之一，序列二次規(guī)劃法是求解彈道優(yōu)化問題的最有效方法之一，但是用序列二次規(guī)劃求解時，計算繁雜且非常耗時，因此文中對該方法進行了改進，將有控段分成3個階段進行設(shè)計。數(shù)值仿真結(jié)果表明，采用改進方法進行設(shè)計時，彈丸能以一定的速度和大著角攻擊目標(biāo)，并與升阻比最大法設(shè)計的彈道進行了比較，仿真結(jié)果表明文中所設(shè)計的方法得到的彈丸各項性能指標(biāo)要優(yōu)于升阻比最大法。文中所給的彈道優(yōu)化方法一定程度上提高了制導(dǎo)炮彈的性能，對遠程制導(dǎo)炮彈的彈道設(shè)計具有一定的參考價值。

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